第五章 二次函数 单元测试 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版2024九年级上二次函数单元卷，覆盖定义、图像性质及应用，通过奖杯设计、弹珠游戏等情境融合数学眼光与模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|二次函数定义、对称轴、开口方向等基础|第6题奖杯设计体现几何直观，第11题结合方程根考查抽象能力| |填空题|5|图像与x轴交点、顶点坐标、几何综合|第17题线段与抛物线交点考查空间观念| |解答题|5|函数应用、几何与函数综合、利润最值|21题养殖利润问题培养模型意识，22题平行四边形与抛物线结合发展推理能力|

北师大版（2024）九年级上 第五章 二次函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．下列函数，一定属于二次函数的是（　　） A．y=（x-1）2+2 B．y=ax2+2x+3 C．y=2x+3 D． 2．抛物线y=（x-3）2的对称轴是直线（　　） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4 3．下列抛物线的开口方向向下的是（　　） A．y=x2-6x B．y=x2-4x+5 C．y=-3x2+1 D． 4．如图，抛物线对称轴为直线x=1，与x轴交于点A（-1，0），则另一交点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（-3，0） C．（1，0） D．（2，0） 5．二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx=0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y=+5的一部分，则杯口的口径AC为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），下列说法正确的是（　　） A．x1+x2=1 B．b2＜4ac C．a-b+c＞0 D．ab＜0 8．已知二次函数y=-x2+2x+m+1（m为常数），当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为（　　） A．9 B．4 C．1 D．-3 9．已知抛物线y=mx2-4mx+m2（m为常数，且m≠0），当x＞3时，y随x的增大而减小，当-2≤x≤1时，y的最大值为4，则m的值为（　　） A．-3 B．-1 C．3 D．-1或-3 10．在同一坐标系中，二次函数y=ax2-bx与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 11．一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根m,n,抛物线y=ax2+bx+c上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），下列条件中，一定能判断y1=y2的是（　　） A．x1=m+2，x2=n+2 B．x1=m-2，x2=n-2 C．x1=m+2，x2=n-2 D．x1=2m,x2=2n 12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x=-1，其与x轴的一个交点为A（1，0），与y轴的交点C在点（0，-2），（0，-3）之间（不含端点），有下列结论： ①abc＞0； ②2a+b+c＞0； ③； ④若方程ax2+（b-1）x+c-1=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），则-3＜x1＜1＜x2； ⑤抛物线上有M（m-2，y1），N（m+1，y2），当y1＞y2时则m的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共5小题） 13．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ______． 14．抛物线的顶点坐标为______． 15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为CD延长线上一点，连接BE交AC于点F．连接DF．若DE=3，则DF的长为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2-（4m+1）x+8（m＞0）交y轴于点A，点B的坐标为（5，0），过点B作x轴的垂线交抛物线于点C，连接AC，OC，若∠ACO=45°，则m的值为______． 17．如图所示，线段AB与x轴平行，点B在点A右侧，AB=2，点A是直线y=x+2上的点，设点A的横坐标为m.若线段AB与抛物线y=-x2+2x+2有且仅有一个公共点，则m的取值范围为______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，抛物线y=-x2+3x+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）求点A、B、C坐标； （2）若直线y=kx+b经过B、C两点，直接写出不等式-x2+3x+4＞kx+b的解集． 19．在平面直角坐标系中，定义两个函数y1=（x-a）（x-b），． （1）如果函数y1的图象经过点（0，3），函数y2的图象经过点（1，5），求a2+b2的值； （2）如果1＜a＜b＜4，判断函数y2的图象与x轴的交点情况； （3）若点P（-1，c）在y1上，点Q（a,c）在y2上，求ab的最小值． 20．某班级一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平面上）．同学受游戏启发，将弹珠抽象为一个点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形DEFG为箱子的截面示意图）．某同学将弹珠从A（1，0）处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为1m）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为2m,已知DE=1m,，DA=4.7m. （1）求抛物线L的解析式和顶点坐标； （2）该同学抛出的弹珠能否投入箱子？请通过计算说明． 21．某养殖户饲养了A，B两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养A种肉羊获得的利润y1（万元）与投资金额x（万元）成一次函数关系，饲养B种肉羊获得的利润y2（万元）与投资金额x（万元）成二次函数关系．已知函数y1，y2图象的交点为O（0，0），A（6，2.4），函数y2的图象与x轴正半轴交于点B（10，0），如图所示． （1）求函数y1，y2的解析式． （2）观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． （3）该养殖户计划明年投资10万元饲养A，B这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 22．如图，抛物线y=x2-2x-6与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是AB的中点，平行四边形CDEF的顶点D，E均在抛物线上． （1）直接写出点C的坐标； （2）如图（1），若点D的横坐标是-2，点E在第三象限，平行四边形CDEF的面积是13，求点F的坐标； （3）如图（2），若点F在抛物线上，连接DF，求证：直线DF过一定点． 北师大版（2024）九年级上 第五章 二次函数 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、A 2、C 3、C 4、A 5、B 6、C 7、D 8、B 9、B 10、A 11、C 12、B  二．填空题（共5小题） 13、0或1； 14、（4，3）； 15、； 16、； 17、-3≤m≤1且m≠0；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）令y=0，则-x2+3x+4=0， x2-3x-4=0， （x-4）（x+1）=0， 解得x=4或x=-1， ∴点A坐标为（-1，0），点B坐标为（4，0）， 令x=0，则y=4， ∴点C坐标为（0，4）； （2）由图象可得，0＜x＜4时，抛物线在直线上方， ∴-x2+3x+4＞kx+b的解集为0＜x＜4． 19、解：（1）把（0，3），（1，5）分别代入中， 得ab=3，a+b=4，∴a2+b2=（a+b）2-2ab=10， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab=42-2×3=10； （2）由题意得Δ=a2-4b, ∵1＜a＜b＜4， ∴a2＜b2＜42，b2＜4b, ∴a2＜4b, 即Δ=a2-4b＜0， ∴y2的图象与x轴没有交点； （3）把P（-1，c），Q（a,c）分别代入中，得： 由题意得（-1-a）（-1-b）=c,a2+a2+b=c, （-1-a）（-1-b）=c,a2+a2+b=c, ∴ab+a+b+1=2a2+b, 即ab=2a2-a-1， 设y=2a2-a-1， 图象开口向上， ∴在对称轴处取得最小值， 把代入y=2a2-a-1中得， ， ∴y=2a2-a-1的最小值为， ∵ab=2a2-a-1， ∴当时，ab的最小值为． 20、解：（1）由抛物线可知，当x=0时，， 又当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为2m,由图可知另一点坐标为， 把点A（1，0），代入得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为（-1，2）； （2）∵A（1，0）， ∴OA=1m, ∵DA=4.7m, ∴DO=3.7m,即点D（-3.7，0）， ∵DE=1m,， ∴OE=2.7m, ∴点，， 当时，， 解得：， ∵， ∴该同学抛出的弹珠能投入箱子． 21、解：（1）设函数y1的解析式为：y1=kx（k≠0）；函数经过点A（6，2.4）， ∴2.4=6k, ∴k=0.4， ∴y1=0.4x； 设函数y2的解析式为：，由条件可得： ∴， 解得：， ∴． （2）由函数图象可知；当投资金额小于6万元时，饲养B种肉羊的利润较大；当投资金额等于6万元时，饲养A种肉羊，B种肉羊的利润一样；当投资金额大于6万元时，饲养A种肉羊的利润较大． （3）设养殖户明年饲养A，B两种肉羊获得的总利润为w万元，其中饲养A种肉羊的投资金额为m万元，饲养B种肉羊的投资金额为（10-m）万元，根据题意可得： ∴， 整理得：w=-0.1m2+1.4m, 配方可得：w=-0.1（m-7）2+4.9； ∴当m=7时，w最大=4.9；此时10-m=3； ∴当A种肉羊的投资金额为7万元，B种肉羊的投资金额为3万元，可使得总利润最大，最大利润为4.9万元． 22、解：（1）∵抛物线y=x2-2x-6与x轴分别相交于A，B两点， ∴0=x2-2x-6， ∴x1=1+，x2=1-， ∵点A在点B的左侧， ∴点B（1+，0），点A（1-，0）， ∵C是AB的中点， ∴点C坐标为（1，0）； （2）∵点D在抛物线y=x2-2x-6上， ∴y=（-2）2-2×（-2）-6=2， ∴点D（-2，2）， 设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0）， 把C（1，0），D（-2，2）代入得： ，解得：， ∴直线CD的解析式为， 如图（1），过点E作EG⊥x轴交直线CD于点G，连接CE， 设点E（a,a2-2a-6），则点G， ∴EG==， ∵平行四边形CDEF的面积是13， ∴， ∵， ∴， 解得：a=-1或（舍去）， ∴点E（-1，-3）， ∵点D（-2，2）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点C（1，0）， ∴点E（-1，-3）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点F（2，-5）； （3）设直线DF的解析式为y=mx+n, 联立得：， 整理得：x2-（2+m）x-n-6=0， ∴xD+xF=2+m, ∵四边形CDEF为平行四边形， ∴xC-xD=xF-xE，yC-yD=yF-yE， ∴xE=xF+xD-xC=2+m-1=m+1， yE=yF+yD-yC=mxF+n+mxD+n=m（xF+xD）+2n=m（2+m）+2n, ∵点E在抛物线上， ∴m（2+m）+2n=（m+1）2-2（m+1）-6， 解得：n=， ∴直线DF的解析式为y=mx-m-=m（x-1）-， ∴直线DF过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $