17.2用公式法分解因式-第3课时 因式分解的综合应用 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦因式分解的综合应用，涵盖提公因式法、公式法、十字相乘法及分组分解法。通过回顾平方差和完全平方公式分解旧知，自然过渡到需综合方法解决的复杂问题，搭建从单一方法到综合应用的学习支架。 其亮点在于分层递进的例题设计与思维引导，如例1-3从两项到三项逐步深入，结合“一提二套三检查”步骤培养数学思维中的推理意识和运算能力。随堂练习融入实际求值和图形问题，发展数学语言的模型意识和应用意识。学生能掌握方法选择与分解彻底性，教师可依托清晰流程提升教学效果。

第十七章 因式分解 17.2 用公式法分解因式 第3课时 因式分解的综合应用 八年级上 1.综合运用提公因式法和公式法进行因式分解. 2.选择恰当方法进行因式分解，并将多项式分解因式进行到底. 学习目标 回 顾 分解因式： (1) a2－4 (2)a2－4ab＋4b2 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 解：(1)a2－4 ＝(a＋2)(a－2)； (2)a2－4ab＋4b2 ＝(a－2b)2 新课引入 例1 分解因式： (1) x4 －y4； 分析：x4 －y4可以写成(x2)2－(y2)2的形式. 解：x4 －y4 ＝(x2＋y2)(x2－y2) ＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y) 新知学习 例1 分解因式： (2) a3b－ab. 分析：a3b －ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式. 解：a3b －ab ＝ab(a2－1) ＝ab(a＋1)(a－1) 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 新知学习 例2 分解因式： (1) 3ax2＋6axy＋3ay2； (2)－ax2＋2a2x－a3. 分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式. 解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2； (2)－ax2＋2a2x－a3 ＝－a(x2－2ax＋a2) ＝－a(x－a)2. 新知学习 思 考 因式分解的步骤是什么？ 检查因式分解是否彻底. 用公式法，当多项式为两项时，考虑用平方差公式；当多项式为三项时，考虑用完全平方公式. 一提 二套 三检查 若有公因式，则提取公因式. 新知学习 探 究 用尽可能多的方法分解因式：x2＋3x＋ 2 . 方法一：x2 ＋ 3x ＋ 2＝ (x2 ＋ 2x ＋ 1) ＋ x ＋ 1 ＝ (x ＋ 1)2 ＋ (x ＋ 1) ＝ (x ＋ 1)(x ＋ 1 ＋ 1) ＝ (x ＋ 1)(x ＋ 2) 方法二：x2 ＋ 3x ＋ 2＝ x2 ＋ 2x ＋ x ＋ 2 ＝ x (x ＋ 2)＋(x ＋ 2) ＝ (x ＋ 1)(x ＋ 2) 新知学习 x2 ＋ 3x ＋ 2 ＝ (x ＋ 1)(x ＋ 2) 1×2 1＋2 猜 测 x2 ＋ (p ＋ q)x ＋ pq ＝ (x ＋ p)(x ＋ q) 证 明 (x ＋ p)(x ＋ q)＝ x2 ＋ px＋ qx ＋ pq ＝ x2 ＋ (p ＋ q)x ＋ pq 新知学习 归纳总结 十字相乘法： 竖分二次项系数和常数项 交叉相乘 x2 ＋ (p ＋ q)x ＋ pq 1 1 p q × 1·q x2 ＋ (p ＋ q)x ＋ pq ＝ (x ＋ p)(x ＋ q) 1·p ＋ ＝ p ＋ q 积相加 新知学习 例3 把下列多项式分解因式： (1) x2＋7x＋10； (2) x2－2x－8； (3) y2－7y＋12； (4) x2＋7x－18. 解：(1) x2＋7x＋10 ＝ x2 ＋ (2 ＋ 5)x ＋ (2 × 5) ＝ (x ＋ 2)(x ＋ 5)； (2) x2－2x－8 ＝ x2 ＋ [2 ＋ (－4)]x ＋ 2 × (－4) ＝ (x ＋ 2)(x － 4)； (3) y2－7y＋12 ＝ y2 ＋ [(－3) ＋ (－4)]x ＋ [(－3) × (－4)] ＝ (x － 3)(x － 4)； (4) x2＋7x－18 ＝ x2 ＋ [(－2) ＋ 9]x ＋ (－2) × 9 ＝ (x － 2)(x ＋ 9)； 新知学习 1.(2024云南)分解因式: a3－9a＝( ) A. a(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9) C.(a－3)(a＋3) D.a2(a－9) A 2.填空： (1)(2025兰州)因式分解: 2x2＋4x＋2＝ ； (2)分解因式: 2a3－8ab2 ＝ __________________. 2(x＋1)2 2a(a＋2b)(a－2b) 随堂练习 3.分解因式: (1)x3y－xy3 ； (2) m2(n－2)＋25(2－n) ； 解: (1)原式＝xy(x2－y2) ＝xy(x＋y)(x－y)； (2)原式 ＝ m2(n－2)－25(n－2) ＝ (n－2)(m2－25) ＝(n－2) (m＋5)(m－5)； (3)(m2＋1)2－4m2； (4) y2＋2y＋1－x2. (3)原式＝(m2＋1＋2m)(m2＋1－2m) ＝(m＋1)2(m－1)2； (4)原式＝(y＋1)²－x² ＝(y＋1＋x)(y＋1－x). 随堂练习 4.已知xy＝－1，x＋y＝2，求 x3 y ＋ x2y2 ＋x y3的值. 解：x3y＋x2y2＋xy3 ＝xy(x2＋2xy＋y2) ＝xy(x＋y)2 ∵xy＝－1，x＋y＝2， ∴原式 ＝ xy (x＋y)2 ＝ ×(－1)×22 ＝ －2. 随堂练习 解：(1)原式＝(8am－2bm)＋(4an－bn) ＝2m(4a－b)＋n(4a－b) ＝(2m＋n)(4a－b)； 5.将x2－xy＋xz－yz因式分解． 【观察】经过独立思考,合作交流,小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝(x2－xy)＋(xz－yz)＝x(x－y)＋z(x－y)＝(x－y)(x＋z) 解法二：原式＝(x2＋xz)－(xy＋yz)＝x(x＋z)－y(x＋z)＝(x＋z)(x－y） 【类比】(1)请用分组分解法将8am－bn－2bm＋4an因式分解； 随堂练习 (2)如图1，小长方形的长为a，宽为b，用5个图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式a2＋2a＋1＋4b2＋4ab＋4b因式分解，再求值． (2)原式＝a2＋4ab＋4b2＋2a＋4b＋1 ＝(a＋2b)2＋2(a＋2b)＋1 ＝(a＋2b＋1)2， 根据图形中边关系得：2[(a＋3b)＋(a＋b)]＝16，即a＋2b＝4， ∴原式＝(a＋2b＋1)2＝(4＋1)2＝25． 随堂练习 因式分解的 综合应用 方法 步骤 提公因式法: pa＋ pb＋ pc＝p(a＋b＋c) 平方差公式法：a2 － b2 ＝ ( a ＋ b ) ( a － b ) 完全平方差公式法：a2±2ab＋b2＝(a±b) 一提：提公因式； 二套：套公式； 三查：检查多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止 课堂小结 $