专题03 二次函数实际应用八大题型突破 训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用八大场景，以题型分类构建知识逻辑，通过典例强化建模能力与最值求解，培养数学眼光与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |投球问题|4题|运动轨迹抛物线，含最高点与落地点分析|围绕二次函数解析式建立与最值求解，体现实际问题数学化的逻辑链条| |喷泉问题|4题|水柱抛物线模型，涉及喷头高度与射程计算| |拱桥问题|4题|桥梁/大棚抛物线结构，求限高与最大高度| |面积问题|4题|矩形/容器面积最值，含墙长限制与栅栏围建| |每每问题|4题|销量与价格关系，通过降价/涨价求利润最大| |利润问题|4题|成本、售价、销量关联，构建利润函数模型| |图形运动问题|4题|动点与面积/距离关系，含矩形/三角形动态变化| |其他问题|5题|烟花轨迹、龙舟模型等跨场景应用，拓展建模维度|

专题03 二次函数实际应用八大题型突破 【题型01 ：投球问题】 【题型02 ：喷泉问题】 【题型03 ：拱桥问题】 【题型04：面积问题】 【题型05：每每问题】 【题型06：利润问题】 【题型07：图形运动问题】 【题型08：其他问题】 【题型01 ：投球问题】 1．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 2．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 3．如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． (1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． (2)若实心球落地点为，求的长． 4．仿生跳跃机器人起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O处起跳，最高点距离地面，距起跳点的水平距离为．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，纵截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触（抛物线经过点C或点D视为无接触），则视为顺利越过障碍物．已知，，，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求机器人跳跃的高度与距离起跳点的水平距离之间的函数关系式． (2)判断机器人能否顺利越过障碍物，若能，请说明理由；若不能，计算机器人水平向右至少移动多少才能顺利越过障碍物． (3)如图，E，F是x轴上的点，且，．若机器人从点处起跳（其他条件不变），当它顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，F）时，请直接写出p的取值范围． 【题型02 ：喷泉问题】 5．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 6．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 7．根据以下素材，探索完成任务． 修改设计方案使喷泉造型更加美观 素材1 某公司办公楼前欲设计一个圆形喷水池，最初的设计方案如图1所示，在喷水池的中心O处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线落下，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分． 素材2 如图2，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得高度为3米的P处有一个喷水孔．为使喷泉造型更加美观，对方案进行修改：使图1中喷泉喷出水流形成以为对称轴的两个对称的抛物线．当喷出的水流最高为4米时，水流与的水平距离为2米． 问题解决： (1)任务1：求y轴右侧抛物线的表达式． (2)任务2：安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变），当水管的高度增加米时，水流离喷水池中心O的最远水平距离为多少米？ 8．洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，根据现场测量结果，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． (1)把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． 【题型03 ：拱桥问题】 9．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 10．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 11．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 12．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： (1)求关于的函数表达式； (2)求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； (3)公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 【题型04：面积问题】 13．为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块矩形的劳动基地，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形中垂直于墙的边的长为，矩形的面积为（如图）． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若矩形的面积为，求的值； (3)当为何值时，矩形的面积最大？最大为多少？ 14．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 15．小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 16．综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： (1)设该劳动基地两边增加相同的宽度，请直接写出新劳动基地的面积与的函数关系式． (2)在（1）的条件下，当新劳动基地的面积为时，求和的长． (3)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【题型05：每每问题】 17．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 18．为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． (1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； (2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 19．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，销售单价定为25元时，月销售量为1050件；当销售单价每上涨1元，月销售量就减少50件．设销售单价为x（元），月销售量为y（件），月获利（月获利=月销售额月进价）为w（元）． (1)试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)试写出w与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；并求当销售单价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？ 20．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种畅销的红灯笼，灯笼每对的进价为35元/对，经市场调查发现，灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设灯笼每对涨价元，小明一天卖灯笼获得利润元． (1)求出与之间的函数解析式； (2)灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【题型06：利润问题】 21．某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． (1)直接写出与x之间的函数关系式. (2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 22．某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 23．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 24．元宵前夕，某饰品厂设计了一款成本元/件的装饰品，准备投放市场试销．经过市场调研后发现，该饰品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的关系可近似的看作一次函数：，（利润销售总价成本总价）． (1)如果该厂想要每天获得元的利润，那么销售单价应定为多少元/件？ (2)当销售单价定为多少时，该厂销售此装饰品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)现饰品厂决定做促销活动：每卖出一件产品，送价值元的配套展示盒一个．当装饰品销售定价不低于元且不高于元时每日销售利润的最小值为元，则______． 【题型07：图形运动问题】 25．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 26．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 27．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 28．如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 【题型08：其他问题】 29．春节期间小明买了一款合格的烟花“窜天猴”，为了安全燃放，他把烟花放置在一根固定在地面且与地面垂直（垂足为O）的竹竿上点燃，燃放点A处的高度为，烟花“窜天猴”点燃后的飞行轨迹为抛物线的一部分，到达最高点时，水平距离为，竖直高度为．以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求“窜天猴”点燃后的飞行轨迹所在抛物线的函数表达式． (2)若“窜天猴”的落地点为C，求的长． 30．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图1所示），该模型由“龙头”“船身”、“龙尾”三部分组成．船身外轮廓近似呈抛物线形，如图2所示，船身最左端O与最右端A关于该抛物线的对称轴对称，且它们之间的距离，船身最低点到的距离为．以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为了便于摆放，在龙舟的B、C两点设置支撑点，在其下方分别安装平衡木，B、C两点均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称，若这两点间的距离为，求点C到的距离． 31．在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分分的成绩蝉联奥运会女子米跳台的冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线，如图所示，建立平面直角坐标系，已知为米，为米，跳水曲线在离起跳点水平距离为米时达到距水面最大垂直高度米． (1)当时： ①求这条抛物线的解析式； ②求运动员落水点与点的距离； (2)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点，）入水时才能达到训练要求，请直接写出的取值范围． 32．排队购餐是学校生活中常见的现象．某校数学兴趣小组开展以“就餐排队人数与开放窗口之间的关系”为题的综合实践活动． 【问题背景】小组某天经调查发现：该校食堂每个用餐服务窗口每分钟可服务人（每人限购份，购餐后立即不再排队），食堂用餐人数（人）与开放窗口时间（分钟）满足关系式，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到餐后立即离开．进餐厅排队用餐，任意时刻都满足：排队人数=用餐总人数-已买到餐人数，食堂开放服务窗口，就有同学买餐，空场时间忽略不计． 【构建模型】 （1）食堂先开放个服务窗口． ①直接写出排队人数（人）与开放窗口时间（分）间的函数关系式；（不需要写出的范围） ②求第几分钟不再有同学排队买餐． 【模型运用】 （2）根据学校活动安排，需要在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少，若开放服务窗口为个，直接写出的取值范围． 33．跨学科主题学习活动中，小邕同学对“弹珠在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究．小邕先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到水平木板点处开始，用仪器测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：），滚动距离（单位：）的数据． 【收集数据】 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点，连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似的表示与的函数关系． （1）求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； 【应用模型】 （2）求黑球在水平木板上滚动的最大距离； （3）若黑球到达木板点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数实际应用八大题型突破 【题型01 ：投球问题】 【题型02 ：喷泉问题】 【题型03 ：拱桥问题】 【题型04：面积问题】 【题型05：每每问题】 【题型06：利润问题】 【题型07：图形运动问题】 【题型08：其他问题】 【题型01 ：投球问题】 1．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动 ，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 2．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 3．如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． (1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． (2)若实心球落地点为，求的长． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图：； 抛物线解析式为： (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，射线方向为轴正半轴，射线方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式； （2）当时，求得的值，即的长． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． ∴设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：当时，， 解得：（舍去），， 即的长为． 4．仿生跳跃机器人起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O处起跳，最高点距离地面，距起跳点的水平距离为．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，纵截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触（抛物线经过点C或点D视为无接触），则视为顺利越过障碍物．已知，，，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求机器人跳跃的高度与距离起跳点的水平距离之间的函数关系式． (2)判断机器人能否顺利越过障碍物，若能，请说明理由；若不能，计算机器人水平向右至少移动多少才能顺利越过障碍物． (3)如图，E，F是x轴上的点，且，．若机器人从点处起跳（其他条件不变），当它顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，F）时，请直接写出p的取值范围． 【答案】(1) (2)解：． 将代入，得． ， 机器人不能顺利越过障碍物． 设机器人水平向右移动，则此时机器人运动轨迹的函数关系式为． 将代入，得， 解得，． ， 机器人水平向右至少移动才能顺利越过障碍物． (3) 【分析】（1）根据图象可知，机器人运动路线的最高点为，设出函数表达式的顶点式，再将点代入函数表达式求解即可． （2）由于，把代入函数表达式求出函数值，与的高度比较即可判断机器人不能顺利越过障碍物．设机器人水平向右移动，则此时机器人运动轨迹的函数关系式为，将点代入求解； （3）机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为，把点代入，求得机器人要越过障碍物，需满足．再分别将点，代入，综合p的取值即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，机器人运动路线的最高点为， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线过原点， ∴，解得， ∴机器人跳跃形成的抛物线的函数表达式为． （2）略 （3）解：∵机器人从点处起跳， ∴机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为， ∵当机器人恰好越过障碍物，此时抛物线过点， ∴，解得， ∴机器人要越过障碍物，需满足， ∵，， ∴，， 当机器人落在E点时，将代入可得，， 解得， 当机器人落在F点时，将代入可得，， 解得， 综上，当机器人顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点）时，的取值范围为． 【题型02 ：喷泉问题】 5．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 6．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 7．根据以下素材，探索完成任务． 修改设计方案使喷泉造型更加美观 素材1 某公司办公楼前欲设计一个圆形喷水池，最初的设计方案如图1所示，在喷水池的中心O处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线落下，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分． 素材2 如图2，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得高度为3米的P处有一个喷水孔．为使喷泉造型更加美观，对方案进行修改：使图1中喷泉喷出水流形成以为对称轴的两个对称的抛物线．当喷出的水流最高为4米时，水流与的水平距离为2米． 问题解决： (1)任务1：求y轴右侧抛物线的表达式． (2)任务2：安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变），当水管的高度增加米时，水流离喷水池中心O的最远水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)水流离喷水池中心O的最远水平距离为6.4米． 【分析】（1）根据题意设顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）设移动后的抛物线为，将点代入求出的值，再求出时的自变量取值，即可得解． 【详解】（1）解：任务1：当时，y的最大值为4，即y轴右侧抛物线的顶点坐标为， 设y轴右侧抛物线的表达式为， 当时，， ， 解得 ∴y轴右侧抛物线的表达式为； （2）解：任务2：∵抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设移动后的抛物线为， ∵此时点P的坐标为， ∴， 解得, , 当时，， 解得： （不合题意，舍去）， ∴水流离喷水池中心O的最远水平距离为6.4米． 8．洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，根据现场测量结果，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． (1)把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． 【答案】(1)；洒水车喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； （3）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为； （2）解：的对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为； （3）解：由题意可得，当点与点B重合时，最小， ∵点的坐标为， ∴， ∴的最小值为， ∵ 当点在抛物线上时，最大， ， 点的纵坐标为， 当时，解得或（舍去）， ， ∴的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为． 【题型03 ：拱桥问题】 9．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 【答案】防护栏支柱的长度为． 【分析】建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式，再将点的横坐标代入解析式，即可得出点的纵坐标，则可得出答案． 【详解】解：以防护栏的最高点为原点，以的中垂线为轴，建立如图所示坐标系，由题意可知：点坐标为， 设抛物线的解析式为：，将点坐标代入得： ， 抛物线的解析式为：， 由题意可得点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 防护栏支柱的长度为． 10．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 11．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)， (2)机动车道一的限高高度为 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 12．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： (1)求关于的函数表达式； (2)求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； (3)公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 【答案】(1)； (2)落水点到喷头立柱的水平距离为米； (3)不能，喷头至少向上调整高度米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程． (1)用待定系数法求出二次函数的解析式； (2)当时，可得一元二次方程：，解方程求出或，因为落水点在右侧，所以； (3)根据船的宽度和高度可知，如果船安全通过则当时，实际上当时，所以船不能安全通过． 【详解】（1）解：从数据表可知，抛物线对称轴，顶点为， 设解析式为， 图象经过， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，可得：， 整理得：， 解得：或， 喷头在，落水点在右侧， ， 落水点到喷头立柱的水平距离为米； （3）解：设船宽米，对称轴， 船边位置为与， 船顶高米，安全距离不小于米， ， 将代入， 可得：， ， 船不能安全通过， ， 喷头至少向上调整高度米． 【题型04：面积问题】 13．为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块矩形的劳动基地，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形中垂直于墙的边的长为，矩形的面积为（如图）． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若矩形的面积为，求的值； (3)当为何值时，矩形的面积最大？最大为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，矩形的面积最大，最大为 【分析】（）根据矩形的面积公式列出函数表达式，再根据题意求出的取值范围即可； （）把代入（）所得的函数表达式解答即可求解； （）利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且二次函数图象上的点离对称轴的距离越近函数值越大， ∵， ∴当，的值最大，， 答：当时，矩形的面积最大，最大为． 14．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2) 自行车车棚面积最大可达到， 说明： ， ，对称轴为直线，而， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到. 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的面积表示出，结合题目条件求出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 且墙长为，在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位， ∴， 解得； 故答案为：  ；； （2）略 15．小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 【答案】(1)裁掉的正方形的边长为； (2)裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键． （1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为，则题意可列出方程，可求得答案； （2）由条件可求得x的取值范围，用x表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示： 设裁掉的正方形的边长为，由题意可得： ， 解得：或（舍去）． 答：裁掉的正方形的边长为； （2）解：设总费用为y元， 则 ． 又∵， ∴． ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，最小值为． 答：裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 16．综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： (1)设该劳动基地两边增加相同的宽度，请直接写出新劳动基地的面积与的函数关系式． (2)在（1）的条件下，当新劳动基地的面积为时，求和的长． (3)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 当时，扩建后的劳动基地的面积不能为，理由如下： 假设扩建后的劳动基地的面积可以为，设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，扩建后的劳动基地的面积不能为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）求出新劳动基地的长和宽，根据矩形的面积公式求出面积与的函数关系式即可； （2）当时，得一元二次方程，求解即可； （3）假设扩建后的劳动基地的面积可以为，设，则，根据扩建后的劳动基地的面积为，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将其正值代入中，可求出，由该值大于52，即可得出假设不成立，即当时，扩建后的劳动基地的面积不能为． 【详解】（1）解：设将原劳动基地的长增加，则扩建后的劳动基地的长为，宽为， 所以，； （2）解：当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 所以，． （3）略 【题型05：每每问题】 17．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 18．为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． (1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； (2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元 (2)当时，每天的利润最大，最大利润为1000元 【分析】（1）设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元； （2）解：由题意得，， ，对称轴为直线，且为整数， 当时，最大 答：当时，每天的利润最大，最大利润为1000元． 19．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，销售单价定为25元时，月销售量为1050件；当销售单价每上涨1元，月销售量就减少50件．设销售单价为x（元），月销售量为y（件），月获利（月获利=月销售额月进价）为w（元）． (1)试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)试写出w与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；并求当销售单价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？ 【答案】(1) (2)，当销售单价为33元时，月获利最大，最大月获利为8450元 【分析】（1）根据月销售量销售单价上涨钱数，即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据月利润=单件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数关系式，配方后再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：． ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为8450． ∴当销售单价为33元时，月获利最大，最大月获利为8450元． 20．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种畅销的红灯笼，灯笼每对的进价为35元/对，经市场调查发现，灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设灯笼每对涨价元，小明一天卖灯笼获得利润元． (1)求出与之间的函数解析式； (2)灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； （2）由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，每对灯笼的利润为元 每天的销售量为对， 因为销售单价不高于65元 所以， 得， 又因为涨价金额, ∴； 所以， （2）解： ∵， ∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值. 对称轴为， 因为自变量的取值范围是， 所以，当时，W取得最大值 此时销售单价为（元）， 将代入解析式得（元） 答：灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【题型06：利润问题】 21．某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． (1)直接写出与x之间的函数关系式. (2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据利润(售价-进价) 售量，代入数据化简即可得与x之间的函数关系式. （2）根据（1）的解析式，进一步配方后，结合二次函数性质即可得此抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据的取值范围即可得出时， 元，即可得答案. 【详解】（1）解：根据题意得： ， ∴与x之间的函数关系式为. （2）解: 根据题意得：，解得：， 由（1）得：， 配方得：， ， ∴此抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时， ， ∴销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，的最大值为2160元. 22．某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 23．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 【答案】(1) (2)每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为19440元 【分析】（1）根据图表可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设， 把代入得， 解得：， ∴客房每天的出租数量y（间）与每间房日租金x（元）的函数关系式为， ∵每天房间的出租率不低于， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间． 则， 即． ∵，且， ∴． 当时，的最大值为． 这时每间客房的日租金为（元）． 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高为元． 24．元宵前夕，某饰品厂设计了一款成本元/件的装饰品，准备投放市场试销．经过市场调研后发现，该饰品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的关系可近似的看作一次函数：，（利润销售总价成本总价）． (1)如果该厂想要每天获得元的利润，那么销售单价应定为多少元/件？ (2)当销售单价定为多少时，该厂销售此装饰品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)现饰品厂决定做促销活动：每卖出一件产品，送价值元的配套展示盒一个．当装饰品销售定价不低于元且不高于元时每日销售利润的最小值为元，则______． 【答案】(1)元/件或元/件 (2)当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）根据每天获得元的利润，可列方程，解方程即可求出销售单价； （2）设每天的销售利润为元，，根据二次函数的性质要知当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元； （3）当或时，销售利润均为元，销售单价为时的销量小于销售单价为元时的销量，当时，需要赠送的展示盒多，所以当时销售利润最小，列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 答：当销售单价为元/件或元/件时，每天获得元的利润； （2）解：设每天的销售利润为元， 根据题意可得：， 整理得：， 当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元； （3）解：根据题意可得：当或时， 可得：， 一次函数中， 随的增大而减小， 当时，最大，即最小， 根据题意可得：， 解得：． 【题型07：图形运动问题】 25．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 26．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）过点作轴于，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质和点的坐标的特征解答即可； （2）利用平移的概念，即可解答； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况分别求得重叠部分的面积的函数关系式，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图， 点， ， ，， ， 点的坐标为． 点， ， 四边形为正方形， ，，， 点坐标为； 故答案为：；； （2）解：当点与点A重合时，； （3）解：当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：， ， 当时，正方形与重叠部分为五边形，如图， 是等腰直角三角形，，， ， 四边形为正方形， ， 正方形的边长为2，， ，， ，， ，， ． 当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：， ， ， 综上，． 27．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 28．如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)，补全图象如图所示：   (3) 【分析】本题是二次函数与几何综合题，考查了动点函数图象，二次函数的性质，三角形的面积，熟练掌握全二次函数的性质是解题的关键． （1）根据时，从点正好运动到点，即可求出点运动的速度，根据时，求出的长； （2）分别求出当时及当时，函数的关系式，并补全图象即可； （2）分2种情况及，结合，利用图象法求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， ， 根据题意得， ， ， ； （2）当时，， ， 当时，， ， ， （3）在二次函数中，当时， ， 解得，，（舍去）， 在一次函数中，当时， ， 解得， 在时，的面积为的值不小于； 【题型08：其他问题】 29．春节期间小明买了一款合格的烟花“窜天猴”，为了安全燃放，他把烟花放置在一根固定在地面且与地面垂直（垂足为O）的竹竿上点燃，燃放点A处的高度为，烟花“窜天猴”点燃后的飞行轨迹为抛物线的一部分，到达最高点时，水平距离为，竖直高度为．以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求“窜天猴”点燃后的飞行轨迹所在抛物线的函数表达式． (2)若“窜天猴”的落地点为C，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意得该抛物线的顶点坐标和点，设其顶点式为，把点代入求得的值即可得到该抛物线的函数表达式； （2）在抛物线表达式中令，求出的值，结合实际即可得到的长． 【详解】（1）解：燃放点A处的高度为，到达最高点时，水平距离为，竖直高度为， 该抛物线的顶点坐标为和点A的坐标为， 设其顶点式为， 把代入后得， 化简得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 化简得，即， 或， 解得或， 点C的横坐标， 点C的坐标为， ． 30．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图1所示），该模型由“龙头”“船身”、“龙尾”三部分组成．船身外轮廓近似呈抛物线形，如图2所示，船身最左端O与最右端A关于该抛物线的对称轴对称，且它们之间的距离，船身最低点到的距离为．以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为了便于摆放，在龙舟的B、C两点设置支撑点，在其下方分别安装平衡木，B、C两点均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称，若这两点间的距离为，求点C到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到抛物线的顶点坐标为，再设顶点式求解即可； （2）先根据抛物线的对称性求出点的横坐标为6，再代入抛物线的表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 将代入中，得， 解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，即点的横坐标为6， 当时，， 点到的距离为． 31．在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分分的成绩蝉联奥运会女子米跳台的冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线，如图所示，建立平面直角坐标系，已知为米，为米，跳水曲线在离起跳点水平距离为米时达到距水面最大垂直高度米． (1)当时： ①求这条抛物线的解析式； ②求运动员落水点与点的距离； (2)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点，）入水时才能达到训练要求，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②米 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）①根据题意，得到点坐标和抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出时，的值，进而求出运动员落水点与点的距离即可； （2）设抛物线的解析式为：，将代入得到，再把点，两点分别代入求出的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线顶点坐标为，， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； ②当时，， 解得：（舍去）； 设运动员落水点为点， ∴， ∵， ∴米； ∴运动员落水点与点A的距离为米； （2）解：设抛物线的解析式为：，把，代入，得： ， ∴， ∴， 当抛物线过点时，，解得：； 当抛物线过点时，，解得：； ∴． 32．排队购餐是学校生活中常见的现象．某校数学兴趣小组开展以“就餐排队人数与开放窗口之间的关系”为题的综合实践活动． 【问题背景】小组某天经调查发现：该校食堂每个用餐服务窗口每分钟可服务人（每人限购份，购餐后立即不再排队），食堂用餐人数（人）与开放窗口时间（分钟）满足关系式，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到餐后立即离开．进餐厅排队用餐，任意时刻都满足：排队人数=用餐总人数-已买到餐人数，食堂开放服务窗口，就有同学买餐，空场时间忽略不计． 【构建模型】 （1）食堂先开放个服务窗口． ①直接写出排队人数（人）与开放窗口时间（分）间的函数关系式；（不需要写出的范围） ②求第几分钟不再有同学排队买餐． 【模型运用】 （2）根据学校活动安排，需要在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少，若开放服务窗口为个，直接写出的取值范围． 【答案】 (1)① (1)② (2) (为正整数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图像与性质． (1)①食堂开放个服务窗口分钟时，排队人数与的函数关系式为； ②当时，可得方程，解方程可得第分钟时不再有人排队； (2)开放服务窗口为个时，可得：，因为在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少，可知抛物线的对称轴为，解不等式可得的取值范围． 【详解】(1)①解：食堂开放个服务窗口分钟， 食堂就餐人数为， 已买到餐的人数为人， ； ②解：当时， 可得：， ∴， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：第分钟不再有同学排队就餐； (2)解：开放服务窗口为个，则第分钟时已买到餐的人数为人， 排队人数为， 整理得：， 需要在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少， ， 解得：(为正整数)． 33．跨学科主题学习活动中，小邕同学对“弹珠在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究．小邕先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到水平木板点处开始，用仪器测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：），滚动距离（单位：）的数据． 【收集数据】 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点，连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似的表示与的函数关系． （1）求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； 【应用模型】 （2）求黑球在水平木板上滚动的最大距离； （3）若黑球到达木板点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能； 【分析】本题考查了二次函数的建模及应用，熟练分析函数类型、求解函数解析式并利用方程解决实际问题是解题的关键． （1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数中，有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】（1）根据题意，设二次函数的表达式为经过， 则，解得 ∴与的函数关系式为：； （2）由（1）可得 故当时，黑球在水平木板上滚动的最大距离为； （3）不能；理由，设黑球追上小车的时间为； 则，整理得； ∵，方程无解； ∴黑球不能追上电动小车． 1 学科网（北京）股份有限公司 $