26.4 实际问题与二次函数 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过销售、拱桥、图形三大模块，系统提炼待定系数法、最值求解等方法，构建“问题抽象-模型建立-函数应用”的逻辑链条，培养数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售问题|6题|利润公式、分段函数、二次函数最值|从实际销售数据抽象一次函数关系，结合不等关系确定自变量范围，通过配方或顶点公式求最值| |拱桥问题|6题|坐标系建立、待定系数法求解析式|将拱桥截面抽象为抛物线，以顶点或交点建系，用待定系数法确定解析式，解决高度与宽度问题| |图形问题|5题|矩形面积模型、几何图形与函数结合|根据矩形边长关系建立面积函数，结合墙长等约束条件，利用二次函数性质求最大面积|

26.4 实际问题与二次函数  题型分类解答题专题训练 一、销售问题 1．校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ 2．某商场试销一种商品，成本为每件元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本单价的，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，销售情况如下表： 销售单价x（元） … … 销售量y（件） … … (1)请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式； (2)设商场所获利润为w元，商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？ 3．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 4．近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段、某商家在直播间销售一种进价为每件8元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)当销售单价不低于25元，且每天至少销售40件时，求的最大值． 5．某超市销售一种商品，成本价为元／千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元／千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少元时，总利润恰好为元； (3)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 6．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反映，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米， (1)设大米销售量为千克，售价为每千克元，求与的函数关系式，并写出的取值范围． (2)大米售价定为多少元时利润达到1800元？ (3)设利润为元，大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 二、拱桥问题 7．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 8．一座拋物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶到水面的距离是2m．当水面下降1m后，水面宽度是多少？（结果精确到0.1m） 9．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 10．某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长为米，宽为米，抛物线的最高处距地面为米． (1)请根据题意建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式． (2)若观景拱桥下放置两根长为米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离． 11．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，求此时大孔的水面宽度． 12．如图，河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部，因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少米？（结果保留根号） 三、图形问题 13．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点A，C，与轴交于另一点B，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△BCD的面积； （3）抛物线上是否存在点P，使∠PCB=∠DBC，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 14．某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪．    (1)当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪边的长． (2)怎样围能得到面积最大的草坪？ 15．某单位为响应市“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． （1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）若矩形空地的面积为，求的值； （3）当矩形空地的面积最大时，利用的墙长是多少；并求此时的最大面积． 16．如图，在一面靠墙的空地上用长为24的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．    (1)求S与x的函数表达式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ 17．如图，要建一个矩形仓库，仓库的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入，现在围成仓库的木板长75米，设仓库的宽为x米，面积为y平方米． (1)求y与x的函数关系式； (2)若要建的矩形仓库的面积为690平方米，则仓库的宽为多少米？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元 【分析】本题考查一元一次不等式组、一次函数、二次函数的应用； （1）利用待定系数法求解并写为分段函数的形式即可； （2）甲种水果的质量为a千克()，则购买乙种水果千克，根据题意列关于的一元一次不等式组并求解；按照不同的取值范围，分别根据“总费用甲种水果的售价甲种水果的购买质量乙种水果的售价乙种水果的购买质量”写出关于的函数关系式，根据函数的增减性和的取值范围分别求出当为何值时值最小，求出最小值及对应的值，比较的两个最小值，选择较小的一个即可． 【详解】（1）解：由图像可知，当甲种水果质量千克时，费用保持不变，为元千克， 所以函数关系式为：， 当甲种水果质量千克时，函数图像为直线， 设函数关系式为：， 将，和，分别代入函数关系式得： ， 解得：， ， 当时，与的函数关系式应为： ． （2）解：设甲种水果的质量为千克，则乙种水果的质量为千克， 乙种水果的质量不低于甲种水果质量的倍， ， 解得：， 的范围为：， 当时，， 此时当最小时，最小， 即当时，有最小值元， 当时，， 此时当时，离对称轴最远，最小， 即当时，有最小值元， ， 当时总费用最少，为元，此时千克 故购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元． 2．(1) (2)销售单价定为元时，获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，求一次函数解析式，二次函数的最值，正确理解题意列出对应的函数解析式是解题的关键， （1）设，将，代入，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出自变量的取值范围，再根据利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设，将，代入，得： 解得：， ∴y关于x的函数关系式为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴的左侧， ∴随的增大而增大， ∴时，， 答：销售单价定为元时，获得利润最大，最大利润是元． 3．(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 4．(1) (2)2040元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是解答本题的关键． （1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答； （2）根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着x的增大而减小，问题随之得解． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 又， 解得， ∴； （2）解：∵销售单价不低于25元，且每天至少销售40件时， ∴， 解得：， ， ∵， ∴当时，W随着x的增大而减小， 又， 当时，函数值最大，最大为：． 答：此时W的最大值为2040元． 5．(1) (2) (3), 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程及二次函数在实际生活中的应用． （）将点代入一次函数表达式，即可求解； （）根据总利润(单价成本)销售量，列方程即可解答； （）由题意得：，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数表达式， 将点、代入一次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数的表达式为：； （2）由题意得：， 整理，得， 解得：， ∵， ∴； 答：当销售单价定为元时，总利润恰好为元； （3）由题意得：， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， 当时，取最大值，此时，； 答：销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 6．(1) (2)大米售价定为6元时利润达到1800元 (3)每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用及一元二次方程的应用． （1）通过已知条件建立销售量与售价之间的一次函数关系，利用待定系数法求解，再结合题意确定x的取值范围即可； （2）设大米销售的利润为w，结合题意可得利润w关于售价的二次函数解析式，根据利润达到1800元，列出关于的一元二次方程并解，根据实际情况保留合适的x的值即可； （3）根据利润与售价之间的二次函数关系，再结合二次函数的性质来求解利润的最值问题即可． 【详解】（1）解：由题意知，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克， 当售价为6元时，售出大米900千克， 设y关于x的函数关系式为， 将代入， 可得，解得， ∴y关于x的函数关系式为， ∵以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售， ∴； （2）设大米销售的利润为w， 根据题意得利润的表达式为， 当每天销售该大米的利润达到1800元时， 可得， 解得：，（舍去）， ∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元； （3）设利润为元，， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，w随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，（元）， 即当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 7．(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 8．水面宽度是4.9 m． 【分析】先建立直角坐标系，设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式，由题意水面下降1m后，将y值代入解析式，解出x． 【详解】解：以水面所在的直线为x轴，以这座抛物线型拱桥的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为：y=ax2+k， ∵抛物线过点（0，2）， ∴有y=ax2+2， 又∵抛物线经过点（2，0）， ∴有0=4a+2， 解得a=-， ∴y=-x2+2， 水面下降1m，即-1=-x2+2， 解得x=，或x=-（舍去）， ∴水面宽度为2≈4.9． ∴当水面下降1m后，水面宽度是4.9 m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题时要建立合适的坐标系，学会用待定系数法求出方程的解析式，主要考查抛物线的性质． 9．货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【详解】略 10．(1) (2)这两根立柱之间的水平距离为米 【分析】（1）以所在的直线为轴，点为顶点，以过点且垂直的直线为轴，建立直角坐标系，由题意得，，，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求解即可； （2）根据题意可列式， 求出x的值，由此可求出两根立柱之间的水平距离． 【详解】（1）解：以所在的直线为轴，过点且垂直的直线为轴，建立直角坐标系， 由题意得，，， 设抛物线的解析式为， 代入可得， 解得， ∴． （2）解：依题意可得， 解得， ， 答：这两根立柱之间的水平距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，能够根据图形建立直角坐标系，并根据建立的直角坐标系找出重要点的坐标，是解决本题的关键． 11． 【分析】本题是二次函数的实际应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，一元二次方程，解答时求出函数的解析式是关键． 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据的长度，得出函数值y，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案． 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，M点坐标为，A点坐标为，B点坐标为， 由顶点M的坐标为，可设中间大抛物线的函数式为， ∵点B在此抛物线上， ∴， 解得， ∴函数式为， ∵小孔顶点距水面4.5m, ∴， 将代入解析式得 ， 解得， ∴可得． 答：当水位上涨刚好淹没小孔时，此时大孔的水面宽度为． 12．此时水面宽为． 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用能力．先设解析式，然后构建函数图像，求出解析式，再代入数值进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为：， ∵水面宽时，拱顶离水面， ∴点在此抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当水位上升时，即时，， ∴， ∴此时水面的宽度为：， 即此时水面宽为． 13．（1）；（2）3；（3）存在，P点坐标为或 【分析】（1）将A，C代入二次函数求得b、c的值即可确定二次函数的解析式； （2）连接OD，先求出，再求出，进而即可求解； （3）过点C作CP∥DB交抛物线于点P，利用待定系数法求出直线BD的解析式为：y=-2x+6，进而求出直线C P的解析式，联立方程组，即可求出点P的坐标；连接CP交DB于点M ，使∠PCB=∠DBC，同理可求得另外一个点P坐标． 【详解】（1）解：（1）∵二次函数经过点A，C， ∴根据题意，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）连接OD， ∵D是抛物线的顶点， ∴D（1，4）， 令y=0，代入，得， 解得：， ∴B（3，0）， ∴， ∵， ∴△BCD的面积=-=3； （3）过点C作CP∥DB交抛物线于点P， 设直线DB的解析式为：y=kx+b， 把D（1，4），B（3，0），代入上式得：， 解得：， ∴直线BD的解析式为：y=-2x+6， 设直线C P的解析式为：， 把C（0，3）代入，得， ∴直线C P的解析式为：， 联立方程组，解得或， ∴交点P1； 若点P在第一象限，连接CP交DB于点M ，使∠PCB=∠DBC，则MC=MB， 又∵OB=OC， ∴直线OM垂直平分BC， ∵CD=,BC=,BD=, ∴CD2+ BC2=BD2， ∴∠BCD=90°， ∴OM∥DC， ∴点M是BD的中点，即：M（2，2）， 由待定系数法可得：直线CM：， 联立，，可求交点P2， 综上：存在满足条件的两个点P，坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，勾股定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键． 14．(1)12米 (2)当矩形草坪边的长为16米时，面积最大 【分析】（1）设矩形草坪边的长为，根据面积公式列方程求解； （2）根据矩形面积，得，故知矩形草坪边的长为16米时，面积最大． 【详解】（1）解：设矩形草坪边的长为，则（米），得 ， 解得（舍去）或 ∴矩形草坪边的长为12米． （2）解：矩形的面积 ∵， ∴当时，取得最大值． ∴当矩形草坪边的长为16米时，面积最大． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用；掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（1）；；（2）10；（3）矩形空地的最大面积为时，利用了墙长 【分析】（1）直接利用矩形的面积公式列函数关系式即可； （2）把代入函数解析式，可得一元二次方程，解方程并检验可得答案； （3）先把配方，利用二次函数的性质求解面积的最大值，从而可得答案． 【详解】解：（1）． ∵， ＜ ∴． （2）由题意，， 解得或8． ∵时，不符合题意， ∴的值为10． （3）∵， ∴时，有最大值162， ∴墙长， 即矩形空地的最大面积为时，利用了墙长． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． 16．(1) (2)时，S最大为 【分析】（1）设花圃的宽为，则长为，依题意得，，由，，解得，，然后作答即可； （2）由题意知，，然后根据二次函数的性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽为，则长为， 依题意得，， ∵，， 解得，， ∴； （2）解：由题意知，， ∵， ∴当时，S最大为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，解不等式组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．(1) (2)23米 【分析】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出仓库的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【详解】（1）解：设仓库的宽为x米，则仓库的长为米， 根据题意，仓库的面积， ∵，解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：若要建的矩形仓库的面积为690平方米，则仓库的宽为23米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $