26.4 二次函数的实际应用 专项练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以二次函数建模为核心，系统覆盖图形、拱桥等六大实际应用场景，通过问题链构建"概念-建模-求解"的完整逻辑体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形问题|7题|矩形面积建模、定义域分析|从几何图形抽象二次函数关系，推导最值条件| |拱桥问题|5题|坐标系建立、顶点式应用|通过抛物线特征解决跨度与高度计算| |销售问题|5题|利润函数构建、增减性分析|结合成本销量数据建立二次函数模型| |投球/喷水问题|10题|轨迹方程求解、最高点分析|将物理运动轨迹转化为二次函数问题| |其他问题|5题|跨学科建模、综合应用|拓展至音响、充电站等复杂场景的函数应用|

第二十六章二次函数——二次函数的实际应用 类型一 图形问题 类型二 拱桥问题 类型三 销售问题 类型四 投球问题 类型五 喷水问题 类型六 其他问题 类型一 图形问题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 3．（第五章二次函数☆问题解决活动：怎样围面积最大）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 4．（25-26八年级下·江西·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． 5．（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 6．（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 7．（2026·上海浦东新·模拟预测）某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． (2)请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 类型二 拱桥问题 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 9．（2026·山东潍坊·模拟预测）在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 10．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 11．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 12．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 类型三 销售问题 13．（2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 14．（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 15．（26-27九年级上·北京·课后作业）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 16．（2026·辽宁营口·模拟预测）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 17．（2026·辽宁营口·模拟预测）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 类型四 投球问题 18．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 19．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 20．（26-27九年级上·北京·课后作业）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 21．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 22．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 23．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 类型五 喷水问题 24．（25-26八年级下·福建福州·期末）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 25．（25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 26．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 27．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 28．（2026·山西长治·三模）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 29．（2026·山西长治·三模）某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段的长）． 类型六 其他问题 30．（2026·山东临沂·二模）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 31．（26-27九年级上·北京·单元测试）问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 32．（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 33．（2026·北京朝阳·模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的与的几组数据． 水平距离（单位：） 竖直高度（单位：） 请解决以下问题： (1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)请结合图象分析，当水平距离为________时，运动员在空中达到最高点． (3)运动员水平位置为________时，运动员才能落地． (4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员落地的水平距离如何变化？变化了多少？ 34．（2026·广东深圳·三模）【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选择骑行共享单车至地铁站．为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开展共享单车的投放与调度研究．以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图． 【调研条件】 条件1：早高峰从开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟， ，对应）． 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车（超过将阻塞人行道）． 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍． 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车（调度车装满后将共享单车运往周边小区，随后下一辆调度车立马补到上一辆调度车的位置） 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y（辆）与时间x（分钟）大致满足二次函数关系，记录的数据如下表： x（分钟） 0 3 6 9 12 15 … y（辆） 80 179 260 323 368 395 … 结合上述信息，请完成下述问题：   【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式． (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为______；地铁站口共享单车停放区共享单车的数量w与x的函数关系式为____________； (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章二次函数——二次函数的实际应用 类型一 图形问题 类型二 拱桥问题 类型三 销售问题 类型四 投球问题 类型五 喷水问题 类型六 其他问题 类型一 图形问题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 【答案】② 【分析】设边长为，则边长为，当时，解方程即可判断①；根据开心农场面积为，列出一元二次方程，解方程，即可判断②；设矩形菜园的面积为，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合的取值范围即可判断③． 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 开心农场面积为， 解得， 又∵， ， 满足条件的的长只有一个值，故②正确； 由题意得，设矩形开心农场的面积为， 根据题意得，， ，， 当时，有最大值，最大值为不可能为，故③不正确； 综上所述，正确的是②． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 3．（第五章二次函数☆问题解决活动：怎样围面积最大）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为和 (3)符合 【分析】（1）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ； （2）解：由（1）知，， 当时，有最大值， ∴当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和； （3）解：∵当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和． 由（1）知， 该方案围成面积最大时符合墙长要求． 4．（25-26八年级下·江西·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． 【答案】(1)； (2)6米 【分析】（1）表示出的长，根据长方形的面积公式即可写出函数关系式，根据“篱笆的长为24米，墙的最大可用长度为9米”列出不等式组，求解即可得到x的取值范围； （2）把代入函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的长为24米， ∴（米）， ∴花圃的面积， 即． ∵墙的最大可用长度为9米， ∴，解得 ∴的取值范围是． （2）解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的长度为6米． 5．（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【分析】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 6．（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 7．（2026·上海浦东新·模拟预测）某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． (2)请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 【答案】(1)纸盒的高为 ，容积为 (2)函数关系式为 ，当时，随的增大而减小 【分析】（1）设纸盒的高为，根据长方体的表面积公式以及题干所给的材料利用率计算公式建立方程求解； （2）根据材料利用率计算公式建立二次函数关系式，然后由于长方体的底面正方形边长为，求出的取值范围，再由二次函数的性质求解材料利用率随的变化而变化的情况． 【详解】（1）解：设纸盒的高为， 由题意得，， 解得， 则纸盒的容积为：； （2）解：由题意得，， ∵长方体的底面正方形边长为， ∴ ∴， ，对称轴为直线， ∴当时， 随的增大而减小． 类型二 拱桥问题 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【详解】略 9．（2026·山东潍坊·模拟预测）在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 10．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 11．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)， (2)机动车道一的限高高度为 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 12．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 类型三 销售问题 13．（2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 14．（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 15．（26-27九年级上·北京·课后作业）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 16．（2026·辽宁营口·模拟预测）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【答案】(1)（，且为的整数倍） (2)这天公司获得的总利润最多为元 【分析】（1）根据利润等于每辆车的利润乘以租出的车辆数，列式计算即可； （2）根据二次函数的性质分别求出前天和后天的利润最大值，然后相加即可得出获得的总利润最大值． 【详解】（1）解：根据题意得 （，且为的整数倍）； （2）解：， ， 前天：当时，取得最大值，最大值为， 当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元， 后天：当时，的最大值为， （元）． 答：这天公司获得的总利润最多为元． 17．（2026·辽宁营口·模拟预测）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 类型四 投球问题 18．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 19．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 20．（26-27九年级上·北京·课后作业）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 21．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． 22．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 23．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 类型五 喷水问题 24．（25-26八年级下·福建福州·期末）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①2米；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出直线的函数解析式为；设，则，可求出，据此可得答案；②设第二棵树底横坐标为，同理可得，根据题意可得，，则可推出，再根据求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：设水流的函数解析式为， 由题意得 ∴， ∴水流的函数解析式为； （2）解：①∵米，米， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2， 答：这棵小树可达到的最大高度是2米； ②设第二棵树底横坐标为， 同理可得， ∵两棵树等高，即， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 25．（25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 26．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 27．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 28．（2026·山西长治·三模）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 29．（2026·山西长治·三模）某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 【答案】(1) (2)①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为．利用待定系数法求出．令，则，解方程即可得到答案；②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为．待定系数法求出．令即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4． 故可设顶棚所在抛物线的解析式为． 将，分别代入， 得 解得 顶棚所在抛物线的解析式为． （2）解：①抛物线的顶点坐标为， ． 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得， ． 令，则， 解得， ， （米）． ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ． 令，则， 米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米． 类型六 其他问题 30．（2026·山东临沂·二模）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （2）先得出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （3）先求出点的坐标，则可得抛物线的解析式，再分两种情况：①和②，利用抛物线的增减性求出最小值，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． （2）解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． （3）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． 31．（26-27九年级上·北京·单元测试）问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出新的抛物线的解析式，求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； （2）略 32．（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 【答案】(1)10分钟 (2)①320人 ②可以达到预期效果 理由：， 可以在13分钟内完成全部出餐． 等待排队有名学生，则． 当（分钟）时，（人） ， 每个学生的排队时间不超过5分钟． 此方案可以满足预期效果． 【分析】（1）令，解方程求解即可； （2）①设等待排队有名学生，则，求函数的最值即可． ②设等待排队有名学生，则．求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：用时10分钟，全部学生到达食堂． （2）解：①设等待排队有名学生，则． ∵，抛物线开口向下， ∴当（分钟）时，（人）． ②略 33．（2026·北京朝阳·模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的与的几组数据． 水平距离（单位：） 竖直高度（单位：） 请解决以下问题： (1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)请结合图象分析，当水平距离为________时，运动员在空中达到最高点． (3)运动员水平位置为________时，运动员才能落地． (4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员落地的水平距离如何变化？变化了多少？ 【答案】(1)平面直角坐标系与曲线如图所示： (2) (3) (4)运动员落地的水平距离增加了 【分析】（1）以左下格点作为原点建立平面直角坐标系，再使用描点法画函数图象即可； （2）结合图象进行判断即可； （3）使用待定系数法求出二次函数的解析式，再将代入，求解方程即可； （4）先写出平移后的解析式，再将代入，求解方程并与第（3）问的结论对比即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可知，当水平距离为时，运动员在空中达到最高点； （3）解：由图象可知，该抛物线的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将点代入，得， ∴二次函数的解析式为， 将代入，得， ， 解得或（负值，舍去）， ∴运动员水平位置为时，运动员才能落地； （4）解：由题意可知，新抛物线由抛物线向上平移个单位长度得到， ∴， 将代入，得， ， 解得或（负值，舍去）， ， ∴运动员落地的水平距离增加了． 34．（2026·广东深圳·三模）【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选择骑行共享单车至地铁站．为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开展共享单车的投放与调度研究．以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图． 【调研条件】 条件1：早高峰从开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟， ，对应）． 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车（超过将阻塞人行道）． 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍． 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车（调度车装满后将共享单车运往周边小区，随后下一辆调度车立马补到上一辆调度车的位置） 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y（辆）与时间x（分钟）大致满足二次函数关系，记录的数据如下表： x（分钟） 0 3 6 9 12 15 … y（辆） 80 179 260 323 368 395 … 结合上述信息，请完成下述问题：   【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式． (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为______；地铁站口共享单车停放区共享单车的数量w与x的函数关系式为____________； (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 【答案】(1)函数图象如图所示： 函数解析式为： (2)； (3)2辆 【分析】（1）描点、连线即可作出函数图象；再确定函数关系为二次函数，即可由待定系数法求解解析式； （2）由于每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车，即可得到经过x分钟，已调度的共享单车数量为；再由求解函数解析式； （3）设需要同时安排辆调度车，则，即，由题意得，在范围内，即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：函数图象 由已知可得是的二次函数， ∴设解析式为： 代入点、、 则 解得 ∴函数解析式为； （2）解：由题意得，当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为（辆）， ∴， 即； （3）解：设需要同时安排辆调度车， 则， 即， 由题意得，在范围内，即可， 对于， 对称轴为直线， ∵ ∴， ∴， 即 ∴或 解可得，； 解，此时无解， 为了不浪费资源，故取最小值， ∴需要同时安排辆调度车． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第二十六章二次函数一一二次函数的实际应用 类型一 图形问题 类型二 拱桥问题 类型三销售问题 类型四投球问题 类型五喷水问题 类型六其他问题 类型一图形问题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业)如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD紧靠围 墙，且AD的长不能超过28m,其余三边AB,BC,CD用60m长的铁质栅栏围成.有下列结论： ①AB的长可以为15m; ②当农场ABCD的面积为200m时，满足条件的AB的长只有一个值； ③农场ABCD面积的最大值为450m. 其中，正确的是 (只需填序号). 围墙 U∠/∠∠∠∠∠ 试卷第1页（共25页） 2.(25-26九年级上·陕西安康期中)在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足 够长)，在墙角区域用28m长的篱笆围成一个矩形花园.设AB=xm. B 0. D A (1)若围成花园的面积为192m,求x的值. (2)已知在点O处有一棵树，且与墙体AD的距离为6m,与墙体CD的距离为15m,如果在围建花园时，要 将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 3.(第五章二次函数☆问题解决活动：怎样围面积最大)某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙 的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1.准备皮尺等测量工具；2.调研学校需求 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1.两道墙之间的夹角为直角： 2. 两道墙可用于建菜园的长度都不超过6m: 3.可用的篱笆总长度为10m. 采集数据 墙 墙 图1 试卷第2页（共25页） 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形ABCD.通 过改变AB的长度，使得菜园的面积最大. A 墙 设计方案 篱笆 墙 B 篱笆 C 图2 小组成员经过讨论，确定设AB的长为，菜园的面积为Sn, 确定思路 列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范 围，从而获得菜园面积的最大值。 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S(单位：m)关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽： (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 试卷第3页（共25页） 4.（25-26八年级下·江西·期末)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围 成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃AB边长为x米，面积为y平方米. 9m D B (1)写出y与x的函数关系式 ,并写出x的取值范围 (2)如果要围成面积为36m的花圃，求AB的长度. 5.(2026山东泰安·三模)如图，某酒店后面有一块梯形空地ABCD,其中AB=40m,CD=200m, ∠C=∠D=45°，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场EFGH,其余部分铺设 为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边G和空地的最长边CD重合，E、F分别在边AD、BC上， 设EH=m,矩形停车场EFGH的面积为Sn2. A B E G (1)用含x的式子表示EF的长为m: (2)EH的长x的取值范围是_； (3)求修建的矩形停车场EFGH的面积S的最大值. 试卷第4页（共25页) 6.（26-27九年级·上海·暑假作业)阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为3≥0，所以3+1就有 最小值1，即32+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1 有最大值1，即-3a2+1s1,只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1. 请解决下列问题： (1)当x=时，代数式3(x-2)2-1有最（填“大或“小”）值为一： (2)当x=时，代数式-2x2-4x+3有最（填“大”或小”）值为： (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少 时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 00000000000000008 7.(2026上海浦东新·模拟预测)某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为20c的正 方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）.公司的设计部门提出了两 种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装） 项目要求： ●原材料：边长为20cm的正方形纸板. ·设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接 ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化. ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原 始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率= 最终成品的表面积 x100% 原正方形纸板的面积 (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为72%，已知纸盒的长为12cm、宽为6c,求纸 盒的高以及此时的容积， (2)请你根据给定的边长为20cm的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正 方形.设该款纸盒的高为xcm,试探究该款纸盒的材料利用率y与x之间的函数关系式，并说明材料利用 率y随x的变化而变化的情况， 试卷第5页（共25页） 类型二拱桥问题 8.（26-27九年级上·全国课后作业)某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L称跨度，桥面最高 点到AB的距离CD=h称拱高，如图，已知这座桥的跨度L=20米，拱高h=5米，且设计方案为抛物线型， 题物线的解析式为y三。？+5.现有一艘宽为15米的货船，船舱项部为方形，并高出水面2.2米，此损 船能否顺利通过这座桥？请说明理由 9.(2026山东潍坊·模拟预测)在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟.付峰同 学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明 墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体B处(B处为厚实土墙)，现对 其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.己知大棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体A的水平 距离x(米)之间的关系满足y=-二x2+r+c,现测得A,B两墙体之间的水平距离为12米。 12 y个 图1 图2 (1)直接写出b,c的值： (2)求大棚的最高处到地面的距离： 25 (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的 土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 试卷第6页（共25页） 10.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状， 水面的宽度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m.经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方 案（如图). B x A 10m 方案一 方案二 方案三 (1)你选择的方案是 (填“方案一“方案二”或“方案三”)，则B点坐标是 (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式： (3)因降暴雨水位上升1m,此时水面宽为多少？ 11.(2026辽宁盘锦·模拟预测)根据以下素材，探索完成任务 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图.经 测量，高架桥跨度24m,最高点离地面9m,桥的两端点 M,Q距离地面3m 9m Q 素材1 3m A 24m 图2 图1 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车 N 道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划 设计非机动车道AC宽3m,机动车道CD、DE宽均为 素材2 3.5m.为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限 M 动 动车道 动车道 高标志以警示车辆驾驶员.（限高即图中BC的高度，精 道 绿化带 A C D E 确到0.1m) 图3 试卷第7页（共25页） 问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式： (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1)的条件下，计算确定机动车道一的限高高 度 12.（2026新疆乌鲁木齐·三模)某抛物线型拱桥示意图如图1所示.水面宽AB与桥长CD均为24米，在 距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5米，以桥拱顶点O为原点，桥面所在直线为x轴建 立平面直角坐标系.如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱CG、OH、D1,过相邻支柱顶端的两 根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2米. y G C 图1 图2 (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式： (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图2），求出可以在竖直方向安 装的灯带中最短的灯带长度. 试卷第8页（共25页） 类型三销售问题 13.(2026山东青岛中考真题)某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投 资生产某种产品.投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生 产的产品能全部售出.经调研，投产第一年该产品的总成本y(万元)与产量x(万件)之间近似满足二 次函数关系y=-x+bx+c(13≤x≤24)，部分数据见下表： 产量x(万 15 18 20 件) 总成本y(万 285 336 360 元) (总利润=总销售额一总成本) (1)求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式： (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量x的增大而增大，则的最小值是多少？ 试卷第9页（共25页） 14.(2026黑龙江大庆·中考真题)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，在确保每箱苹果的售价不 低于40元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于55元，经市场调查发现，平均每天销售量y(箱) 与每箱苹果的售价x（元)之间的函数关系如图所示. y/箱A 105 90 4550 元 (1)求平均每天销售量y(箱)与每箱苹果的售价x(元)之间的函数关系式：并写出x的取值范围； (2)求平均每天的销售利润w(元)与每箱苹果的售价x(元)之间的函数关系式：并求出当每箱苹果的售 价为多少元时，可以获得最大利润：最大利润是多少元？ 15.(26-27九年级上·北京·课后作业)某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60 元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克 降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示. /千克 140 120 111111 O1234x/元 (1)求y与x之间的函数关系式： (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 试卷第10页（共25页) 16.(2026辽宁营口·模拟预测)近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车 公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y(辆)与每辆车每天的租金x（元)满足关系式 0x+36(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)，公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共200 y=- 元，设租车公司每天的利润为”元， (1)求P与x的函数关系式.（利润=租金-支出） (2)公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新规定：每辆车每天 的租金不超过800元.请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元？ 17.(2026辽宁营口·模拟预测)某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现： [t+501≤t<60) 在这100天内，①该商品每天的销售价格x(元/件)与时间t(第t天)满足关系式：x= 110(60≤t≤100) ②该商品的日销售量y(件)与时间t(第t天)满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t(第t天) 2 10 20 日销售量y(件) 119 118 110 100 (1)直接写出y与t之间的函数解析式： (2)设销售该商品的日利润为m(元)，请直接写出与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的 日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果. 试卷第11页（共25页) 类型四投球问题 18.（2026·江苏宿迁中考真题)投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分.如图，某人掷铅 4 球时， 铅球距地面的高度y(m)与距投掷点的水平距离x(m)之间的函数表达式为y=a2+x+2(a<0). 本y/m x/m (1)当投掷的距离为8m时，求a的值； (2)当5<x<6时，铅球处于下落状态，求a的取值范围； (3)当2≤x≤4时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为0.4m,求a的值. 19.(25-26九年级上·陕西安康·期中)如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中 的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6，若以点O为 原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1的B处将沙包抛出，其 运动轨迹为抛物线C1:y=a(x-3)+2的一部分，小静恰在点C(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运 动轨迹为抛物线Gy=后+安+c+1的一部分 8 y/m C C B m 图1 图2 (1)求a,c的值 (2)小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小 静的回传沙包，求n的整数值. 试卷第12页（共25页) 20.(26-27九年级上北京·课后作业)发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创 制发石车，攻破袁绍军壁楼，如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩 形ABCD,墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米.以点O为原点，水平方 向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线y=α(x-20)+k. B.C AD 图1 图2 (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）： (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由 21.（25-26九年级上·陕西西安：期中)实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实 心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，己知小军投掷时出手点距地面1.8m(即 OA=1.8m),实心球的落地点在点B处，且球运动至最高点时距地面3.4m,距出手点的水平距离为4m.设 实心球掷出后距地面的竖直高度为y(m),距出手点的水平距离为x(m).以OB所在直线为x轴，OA所在 直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系 y/m B m (1)求图中抛物线的函数解析式： (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离OB)不小于12.4为满分，请判断小军本次投掷实 心球能否得满分. 试卷第13页（共25页） 22.(25-26九年级上·江西景德镇·期末)掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合 所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手 点的水平距离一直在相应地发生变化. 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离 x(单位：米)与相对地面的竖直高度y(单位：米)的数据，部分数据如下表： 水平距离 3 5 6 x/m 竖直高度 2.7 3.15 3.3 3.15 2.7 1.95 y/m 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线 是抛物线的一部分， y/m 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是 米，实心球在空中的最大竖直高度是 米 (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度y(单位：米)与相对出手点的水平距离x(单位：米) 之间的函数关系式： (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平 距离达到或超过7.8米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由. 试卷第14页（共25页） 23.(2026江苏无锡·中考真题)综合与实践一丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶 心，则获得游戏奖励， 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动， 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作 用) 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m,出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m.沙包在距离出手 点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2m.请通过计算说明沙包能否正好命中靶心. .5m 10m (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m, 小红出手高度仍为1.5m,出手点与靶心的水平距离仍为10m.小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的 水平距离为4时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心.求沙包达到最高点时距离地面多少米， 试卷第15页（共25页） 类型五喷水问题 24.(25-26八年级下·福建福州·期末)某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试.喷泉的水流轨迹 可以近似地看成抛物线.广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水 压.将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC=90°，AB=3米，BC=6米，坡面AC上有一棵小树MN (小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，N⊥BC),现在斜坡底C处安装一个喷水管CP, 水流呈抛物线状，恰好落在A处.技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，记录了喷头 开启后喷水管喷出水流到的水平距离x(米)与水流的高度y(米)的变化规律如表： 0 1 3 4 2 3 27 1 27 3 8 2 8 N A M P B C (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式： (2)若调试时，水流恰好经过树顶N点， ①为了美观，小树不能太高.请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在MN右侧（靠近C的一侧）再放置一棵与MN等高的小树DE(D在坡面上，树 干垂直BC),且水流也能刚好经过树顶E.为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底M的横坐标的 取值范围. 试卷第16页（共25页） 25.(25-26八年级下·河南开封·期末)某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了 熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练.如图所示，打开云梯后，消防车喷水口A离地面的高度 为OA,水流落地点为点B,喷出的水流呈抛物线型.以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立 平面直角坐标系.（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知OA=2l,OB=7m,从A处喷出的水流高度y(m) 与水平距离x(m)之间的关系为y=-3x2+bx+c. BC (1)求b,c的值： (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点C在点B正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在C处的水流高度达到36米，则消防 车从O点沿OB方向应至少前进多少米？ 试卷第17页（共25页) 26.(2026广东清远·三模)某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形.测得雕 塑OA的高度为2m,当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m.以点O为原点，OA所 在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）. (1)求水柱所在抛物线的函数表达式： (2)求水柱落地点与雕塑OA的水平距离： B 27.(2026新疆中考真题)政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造， 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷 问题 出抛物线形水柱.现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变， 圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外， 方法 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算， 说明 操作 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管 说明 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 过程 数据 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面08米，喷出的抛物线形水柱 测量 在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高. 建立 0.8 计算，交流展示… 模型 ⊙ 3.5 8 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y=ax+bx+0.8(a≠0)，求a,b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 试卷第18页（共25页） 28.（2026山西长治·三模)综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观.为了解喷泉设计的奥 秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究. 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度OM(水流喷水 孔点O与落地点M之间的水平距离)为4m,最高点距地面3m. 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，OA为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记OB的 长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为3 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道CD在 线段OB上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入CD上方的安全区域矩形CDEF内， 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，OM所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建 立平面直角坐标系. y乙喷泉甲喷泉 D B M衣 图1 图2 图3 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式： (2)若乙组喷泉跨度OB恰好为3m,求喷水管OA的高度： m,求此时安全通道CD的宽度。 21 (3)在(2)的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为 试卷第19页（共25页） 29.(2026·山西长治·三模)某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面AB,CD与 地面垂直，且AB=4米，CD=1米，宽度BC=12米，顶棚最高点到墙面AB的水平距离为4米.左侧 人行道OE=1米，蔬菜种植区EF=9米.以B为原点，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. y/米 y/米 E D D BO B(OE C x/米 图1 图2 (1)求顶棚所在抛物线的解析式. (2)如图2，喷灌喷头G安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛 物线形，且G为水流所在抛物线的顶点 ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点E,H处.求EH的长 ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点F处，左端落在保温墙面AB上的点M处，故需要在保 温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段OM的长）」 试卷第20页（共25页) 类型六其他问题 30.(2026山东临沂·二模)【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分.这类 音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关，某学习小组计划研究这类音 响的几何特征 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点C是音响的最 低点，即抛物线的顶点；扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称.经测量，发现这些抛物 线形音响均满足：顶点C到线段AB的距离为h(单位：cm),扩音口宽度AB为2h(单位：C) 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标为 (,n),利用抛物线表达式y=a(x-m)+n(其中a,m,n为常数，a>0)对a值进行了探究与求解. VA 7777777 7777777 图1 图2 (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为10cm,以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图2所示 的平面直角坐标系，求a的值： (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即α和h之间存在数 量关系，请你帮小组求出a和h的数量关系： (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点A的坐标为(0,8)，h>4,且当0≤x≤8时， 音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时α的值. 试卷第21页（共25页） 31.(26-27九年级上·北京·单元测试)问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”，如图1，是一个新能源超级充电 站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究， 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，OA是安装充电桩的墙面，AB是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看 作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图2所示的 平面直角坐标系.已知OA=2.5,点B为AB所在抛物线的最高点，其坐标为(4,3.5) (1)求AB所在抛物线的函数表达式. 问题解决 如图2，点C是AB上干粉灭火器的安装点，CD是长度为41cm的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点.己 知千粉喷射点D距离地面3m时，对地面的保护半径为2.对空间的保护截面可近似地看作项点为D的 抛物线与x轴组成的封闭区域.安装点C可根据需要在AB所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的 抛物线形状相同。 (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为3时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点1,1)？请说明理由. C D 图1 图2 试卷第22页（共25页） 32.(25-26九年级浙江温州学业考试模拟)某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长， 决定进行优化调整.经调研，发现放学后累计到达食堂的人数y（人)随时间t(分)的变化情况满足函 数：y=-5t2+100t. (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟.原方案和 调整后方案如下表， 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到 预期效果。 试卷第23页（共25页） 33.(2026北京朝阳·模拟预测)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.比赛过程分为助滑阶段，起跳后的 空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问 题.为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距 离x(单位：m)近似满足二次函数关系.下表记录了某运动员起跳后的x与y的几组数据 水平距离x 20 30 40 50 60 (单位：m) 竖直高度y 48 50 48 42 32 (单位：m) 请解决以下问题： (1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接： (2)请结合图象分析，当水平距离为 时，运动员在空中达到最高点， (3)运动员水平位置为 时，运动员才能落地 (4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员 落地的水平距离如何变化？变化了多少？ 试卷第24页（共25页) 34.(2026广东深圳·三模)【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选 择骑行共享单车至地铁站.为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开 展共享单车的投放与调度研究. 以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图 共 人 480 行 400 共享单 道 共享单车停放区 道 车放 20 动 行 28 调度车 车停放区 禁停区 200 0 120 地铁站 40 36912151821242730x 【调研条件】 条件1：早高峰从8：30开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟，0≤x≤30，x=0对应8：30）. 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车（超过将阻塞人行道)， 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、 ④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车（调度车装 满后将共享单车运往周边小区，随后下一辆调度车立马补到上一辆调度车的位置) 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y(辆)与时间x(分钟)大致满足二次函数关系，记 录的数据如下表： x(分钟) 0 3 6 9 12 15 y(辆) 80 179 260 323 368 395 结合上述信息，请完成下述问题： 【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式， (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为 ；地铁站口共享单车停放区共享单车 的数量w与x的函数关系式为 (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 试卷第25页（共25页）