第二十六章二次函数同步训练2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦二次函数单元复习，通过基础-综合-拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数定义、图像平移、顶点性质|直接设问巩固概念，如选择1（定义）、填空11（最值）| |综合|图像与坐标轴交点、实际问题建模|结合图像分析培养几何直观，如选择6（不等式解集）、解答19（矩形面积）| |拓展|动态几何、综合应用|通过动点问题发展推理能力，如选择10（面积函数图像）、解答21（四边形面积最值）|

第二十六章二次函数同步训练2026-2027学年 人教版九年级上册 一、选择题 1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．抛物线向上平移4个单位长度后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．函数的最小值是3 C．开口向上，顶点坐标 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 4．抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 5.两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 6.如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 7．在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 8．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 9．如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（    ）米． A．3米 B．4米 C．9米 D．10米 【答案】C 10．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 二、填空题 11．抛物线的最小值为 ． 【答案】 12．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 13．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 14．根据下列表格对应值：可求得关于的方程的解是 ． x 0 0.5 1 2 1 2 【答案】或 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 【答案】5 16．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 【答案】1.6 三、解答题 17.抛物线与y轴交于点)． (1)求的值及抛物线与轴的交点坐标； (2)直接写出：当取什么值时，抛物线在轴下方？ 【答案】（1）解：将点(0，3)代入得，， 则二次函数的解析式为， 令得：， 解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为，； （2）∵，抛物线与x轴的交点坐标为，； ∴抛物线开口向下， ∴当或时，抛物线在x轴下方． 18.二次函数的图象如图所示，其中图象与x轴交于点A和点B． （1）求此二次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】 【小问1详解】 解：由已知，函数图象经过， 将点A，B坐标代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 由已知，二次函数图象与x轴的交点横坐标分别为， 不等式的解集为或． 19.为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，某中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜，苗圃园其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16，另外三边由36长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）解：根据题意，垂直于墙的边，则， ∴矩形的面积， 又∵， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵， ∴当时，有最大值，且符合题意， 答：当时，y有最大值，最大值是160． 20.某店销售一种环保建筑涂料，当每桶售价为300元时，月销售量为60桶，该店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当该涂料每桶售价每下降5元时，月销售量就会增加10桶，每售出1桶涂料共需支付厂家及其他费用200元． （1）当每桶售价是280元时，求此时该店的月销售量为多少桶？ （2）求每桶降价多少元时，该店能获得最大月利润？最大月利润为多少元？ 【答案】 【小问1详解】 解：设当每桶售价是280元时，该店的月销售量桶． 【小问2详解】 解：设每桶降价x元，月销售利润为y，则售价利润为元，销售量为桶， 由题意可得：，整理得， ∵， ∴每桶降价35元时，该店能获得最大月利润，且最大月利润为8450元． 21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【答案】（1）将B、C两点的坐标代入，得 ， 解得． ∴二次函数的解析式为． （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；． 设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E． 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；． 连接PP′，则PE⊥CO于E， ． ∵C（0，-3）， ∴CO=3， 又∵OE=EC， ∴OE=EC=． ∴y=−； ∴x2-2x-3=−， 解得（不合题意，舍去）． ∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）． （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得： ． ∴直线BC的解析式为y=x-3， 则Q点的坐标为（x，x-3）； 当0=x2-2x-3， 解得：x1=-1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ． =AB•OC+QP•BF+QP•OF． =×4×3+ (−x2+3x)×3． =− (x−)2+． 当x＝时，四边形ABPC的面积最大． 此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章二次函数同步训练2026-2027学年 人教版九年级上册 一、选择题 1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线向上平移4个单位长度后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3.对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．函数的最小值是3 C．开口向上，顶点坐标 D．当时，y随x的增大而减小 4．抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 5.两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 6.如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 7．在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 8．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9．如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（    ）米． A．3米 B．4米 C．9米 D．10米 10．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B． C．D． 二、填空题 11．抛物线的最小值为 ． 12．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为 ． 13．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 14．根据下列表格对应值：可求得关于的方程的解是 ． x 0 0.5 1 2 1 2 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 16．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 三、解答题 17.抛物线与y轴交于点)． (1)求的值及抛物线与轴的交点坐标； (2)直接写出：当取什么值时，抛物线在轴下方？ 18.二次函数的图象如图所示，其中图象与x轴交于点A和点B． （1）求此二次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 19.为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，某中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜，苗圃园其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16，另外三边由36长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 20.某店销售一种环保建筑涂料，当每桶售价为300元时，月销售量为60桶，该店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当该涂料每桶售价每下降5元时，月销售量就会增加10桶，每售出1桶涂料共需支付厂家及其他费用200元． （1）当每桶售价是280元时，求此时该店的月销售量为多少桶？ （2）求每桶降价多少元时，该店能获得最大月利润？最大月利润为多少元？ 21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 学科网（北京）股份有限公司 $