3.1.2比例的性质（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.1.2比例的性质 2026年8月2日 3.1.2 比例的性质 同步练习题 3.1.2 比例的性质 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 比例的基本性质 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}(b eq0,d eq0)$$，则 $$ad=bc$$； 反之，若 $$ad=bc(b eq0,d eq0)$$，则 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$。 2. 反比性质 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则 $$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$$（前后项同时颠倒）。 3. 更比性质 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则 $$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$$（内项互换）、$$\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$$（外项互换）。 4. 合比性质 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则 $$\dfrac{a\pm b}{b}=\dfrac{c\pm d}{d}$$。 5. 等比性质（重难点） 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dots=k$$，且 $$b+d+f+\dots eq0$$， 则 $$\dfrac{a+c+e+\dots}{b+d+f+\dots}=k$$。 6. 设k法（通用解题技巧） 遇到连比式，常设 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k$$，则 $$a=kb，c=kd$$，代入代数式求值。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$$，根据比例基本性质可得（） A. $$2a=3b$$ B. $$3a=2b$$ C. $$ab=6$$ D. $$a+b=5$$ 2. 若 $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{5}$$，则下列变形正确的是（） A. $$5x=3y$$ B. $$3x=5y$$ C. $$x=3，y=5$$ D. $$\dfrac{x}{3}=\dfrac{5}{y}$$ 3. 已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，下列变形错误的是（） A. $$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$$ B. $$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$$ C. $$ad=bc$$ D. $$\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{c-d}{d}$$ 4. 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{2}$$，则 $$\dfrac{a+b}{b}$$ 的值为（） A. $$\dfrac{1}{2}$$ B. $$\dfrac{3}{2}$$ C. $$2$$ D. $$3$$ 5. 已知 $$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}$$，则 $$\dfrac{a+b+c}{b}$$ 的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{2}{3}$$，且 $$b+d eq0$$，则 $$\dfrac{a+c}{b+d}=$$（） A. $$\dfrac{2}{3}$$ B. $$\dfrac{3}{2}$$ C. $$\dfrac{4}{6}$$ D. 1 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 若 $$5x=4y$$，则 $$\dfrac{x}{y}=$$________。 2. 比例合比性质：若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则 $$\dfrac{a+b}{b}=$$________。 3. 已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$$，则$$\dfrac{a-b}{b}=$$________。 4. 若$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}$$，则 $$x:y:z=$$________。 5. 等比性质使用前提是所有分母的和________。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）根据比例性质求值： （1）已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{3}$$，求 $$\dfrac{a+b}{a-b}$$； （2）已知 $$3a=7b$$，求 $$\dfrac{a}{b}$$。 2. （14分）利用合比性质求解： 已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5}$$，求： （1）$$\dfrac{a+b}{b}$$ （2）$$\dfrac{a}{a+b}$$ 3. （14分）设k法基础应用： 已知 $$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}$$，求 $$\dfrac{x+y+z}{x+y-z}$$ 的值。 4. （16分）等比性质综合计算： 已知 $$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}$$，且 $$a+b+c=36$$，求 $$a、b、c$$ 的值。 四、拓展应用题（附加10分） 已知 $$\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{c}{a+b}=k$$，求 $$k$$ 的值。（提示：分情况讨论分母和为0、不为0） --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.B 5.A 6.A 二、填空题 1. $$\dfrac{4}{5}$$ 2. $$\dfrac{c+d}{d}$$ 3. $$-\dfrac{1}{4}$$ 4. $$2:3:4$$ 5. 不为0 三、解答题 1. 解： （1）设 $$a=5k，b=3k$$$$\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{5k+3k}{5k-3k}=\dfrac{8k}{2k}=4$$ （2）由 $$3a=7b$$，得 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{7}{3}$$ 2. 解： 由 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5}$$，设 $$a=2k，b=5k$$ （1）$$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{2k+5k}{5k}=\dfrac{7}{5}$$ （2）$$\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{2k}{7k}=\dfrac{2}{7}$$ 3. 解： 设 $$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}=k$$，则 $$x=3k，y=4k，z=5k$$ 原式$$=\dfrac{3k+4k+5k}{3k+4k-5k}=\dfrac{12k}{2k}=6$$ 答：原式值为6。 4. 解： 设 $$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}=k$$ 则 $$a=3k，b=4k，c=5k$$ 代入 $$a+b+c=36$$： $$3k+4k+5k=36$$，$$12k=36$$，解得 $$k=3$$$$a=9，b=12，c=15$$ 答：$$a=9，b=12，c=15$$。 拓展题答案 解：分两种情况讨论 ① 当 $$a+b+c eq0$$ 时，由等比性质： $$k=\dfrac{a+b+c}{(b+c)+(a+c)+(a+b)}=\dfrac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\dfrac{1}{2}$$ ② 当 $$a+b+c=0$$ 时，$$a=-(b+c)$$ 此时 $$k=\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{-(b+c)}{b+c}=-1$$ 综上：$$k=\dfrac{1}{2}$$ 或 $$k=-1$$。 章节易错点总结 1. 比例变形交叉相乘易写反，牢记“外项积=内项积”； 2. 等比性质必须检验分母和不为0，大题必考分类讨论； 3. 连比式求值优先用设k法，不要单独赋值，避免漏解； 4. 合比、分比性质混淆，注意分子加减、分母保持不变。 比例的基本性质： 四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做 ，简称 . 成比例线段 比例线段 如果 ，那么 ad = bc. 如果 ad = bc(a，b，c，d 都不等于 0)，那么 . 2 如图，一个矩形广场的长为 60 m，宽为 40 m，广场内两条纵向小路的宽均为 1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当 x 为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似? 60 40 1.5 x 60 40 解：由题意得，内边缘矩形的长和宽分别为(60－1.5×2)，(40－2x). 1.5 x 如图，两个矩形相似，对应边成比例 解得 x＝1. 当 x＝1 时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似. 知识点1 比例的等比性质 1.[西安期中] 如果，那么 的值为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 5 2.［教材P63“例题”变式］ 已知在和 中， ，则与 的周长之比为__。 返回 举一反三 6 3.已知，若，则 ____。 12 返回 举一反三 7 问题：如图，在矩形ABCD与矩形EFGH 中，已知 (2) 你能求出 的值吗？由此你能得出什么结论？ A B C D E F G H 相似 探究点：等比性质 (1) 这两个图形相似吗？ 已知 a，b，c，d，e，f 六个数，如果 (b + d + f ≠ 0)，那么 成立吗？为什么？ 设 ，则 a = kb，c = kd，e = kf . 所以 【尝试·思考】 探究点：等比性质 9 由此可得到比例的又一性质： 等比性质 探究点：等比性质 10 ∴4(AB + BC + CA) = 3(DE + EF + FD). 即 DE + EF + FD = (AB + BC + CA) . 又∵△ABC 的周长为 18 cm，即 AB + BC + CA = 18 cm. 例1 在 △ABC 与 △DEF 中，已知 ，且 △ABC 的周长为 18 cm，求 △DEF 的周长. 解：∵ ∴ 探究点：等比性质 即△DEF 的周长为 24 cm. ∴DE + EF + FD = (AB + BC + CA) = ×18 = 24 (cm). 例2 若 a，b，c 都是不等于零的数，且 求 k 的值. 得 ，则 k = 2. 当 a + b + c＝0 时，则有 a + b = －c. 此时 . 综上所述，k 的值是 2 或－1. 解：当 a + b + c ≠ 0 时，由 ， 探究点：等比性质 知识点2 比例的合比、分比性质 5.[2025成都中考] 若，则 ___。 4 返回 举一反三 13 6.若，则 __。 返回 举一反三 14 7.若，则 的值为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 15 8.已知,则 的值为__， 的值为__。 返回 举一反三 16 1. 已知 ，则 的值为 . 解：设 ， 则 a = 2k，b = 3k，c = 5k . 1 …… 设元 …… 表示 …… 消元 【练一练】 探究点：等比性质 4.已知，，是的三边长，且。若 的周长 为60，求各边的长。 解：设，则 。 的周长为60， ， ， ，， ， 各边的长分别为20，16，24。 返回 举一反三 18 9.若，且，则 ___, ___, ____。 6 9 12 返回 举一反三 19 10.如图，线段，，， 的端点都 在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比 例线段吗？说明理由，并计算 和 的周长比。 举一反三 20 解：是。理由如下：易得， ， ， ， ， , ， 线段，，， 是成比例线段。 观察题图可知，， ，则 举一反三 21 , 和 的周长比是2。 返回 举一反三 11. 阅读如下解题过程： 因为，所以，， ，所 以 。 举一反三 23 （1）应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①若，则 ___； ②已知，则 的值为_______。 2 2或 （2）已知，，均为非零的实数，且满足 ， 则 的值为_______。 8或 返回 举一反三 24 比例的 性质 如果 那么 ad = bc. 基本 性质 等比 性质 如果 ad = bc (a，b，c，d 都不等于 0)， 那么 课堂小结 谢谢观看 THANKS $