第三章 图形的相似单元测试2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级上图形的相似单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖相似三角形判定与性质、位似图形等核心知识，注重几何直观与推理能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|平行线分线段成比例（1）、位似性质（2）、四边形中相似（3-12）|基础计算与辨析，如菱形中相似比应用（4）| |填空题|5|比例式（13）、菱形与相似（14）、等边三角形相似（15）|结合图形性质的计算，如正方形中比例线段（16）| |解答题|5|相似证明（18）、四边形综合（20-21）、动态几何探究（22）|综合应用与创新，如动态平移中角度关系证明（22），体现推理能力与空间观念|

北师大版（2024）九年级上 第三章 图形的相似 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，DE∥BC，AD：DB=2：3，EC=6，则AE的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 2．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AD：DO的值为（　　） A．4：7 B．7：3 C．4：3 D．16：9 3．如图，▱ABCD中，E是BC上一点，且BE=2CE，连接AE、BD交于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上，且BE=3EC，连接DE，交对角线AC于点F．若DE=10，则DF的长为（　　） A．8 B．6 C．9 D．7 5．如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，在▱ABCD中，E是AD上一点，且AE=2DE，连接AC，BE交于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正方形ABCD中，AB=8，E，F分别是AB，BC边上的点，连结DE，EF，DF，且DE⊥EF，点G是DF的中点，连结EG．若EG=5，则BF的长为（　　） A． B．3 C． D．2 8．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，连接BR分别交AC，DC于点P、Q，则BP：PQ：QR的值为（　　） A．3：1：2 B．5：2：3 C．4：1：3 D．7：2：4 9．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，点E是边CD上一点，连接AE．若，且AE=10，则AC的长度为（　　） A．16 B．18 C．20 D．25 10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若EF=1，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．以下结论中，不正确的是（　　） A．ED⊥CA B．EF=EG C． D． 二．填空题（共5小题） 13．若，则的值为______． 14．在菱形ABCD中，AD=5，AE⊥BC于点E，EC=2，连接BD交AE于点F，则AF的长为______． 15．已知：如图，△ABC为等边三角形，点P、D分别在边BA、BC的延长线上，连接PC、PD，若PC=PD，，则=______． 16．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE交对角线BD于点F，若AB=6，BE=2，则BF=______． 17．（2025秋•南湖区校级月考）如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，点D、G分别是AB、BC上一点，且BD=BG．过点D作DF⊥DG，交AC于点F，交AE于点H．若∠ABC+2∠BAC=180°，，，则△BDG的面积为______． 三．解答题（共5小题） 18．已知如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=∠C，BE是∠ABC的角平分线，交AD于点F． （1）求证：△ABE∽△DBF； （2）求证：AF：DF=CE：AE． 19．如图，已知四边形ABCD对角线AC，BD交于点E，点F是BD上一点，连结AF，且∠BAC=∠FAD=∠CDB． （1）求证：△ABF∽△ACD． （2）若BC=12，AD=27，DF=18，求AC的长． 20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE⊥BD，垂足为点F． （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）当点E为BC中点时，若AB=6，求AC的值． 21．如图，▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O． （1）连接BF、DE，判断四边形DEBF的形状并说明理由； （2）若AE=6，BE=2，△BOF的面积为2，求▱ABCD的面积； （3）若BD⊥AD，∠A=45°，EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，则AB的长为 ______． 22．在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线a∥b,∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°． （1）若∠1=46°，求∠2的度数； （2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，发现∠4-∠1=120°，请你进行证明； （3）缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，请你写出∠5和∠6的数量关系并说明理由． 北师大版（2024）九年级上 第三章 图形的相似 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、B 2、B 3、C 4、A 5、A 6、A 7、D 8、A 9、A 10、A 11、C 12、D  二．填空题（共5小题） 13、3； 14、； 15、2； 16、； 17、；  三．解答题（共5小题） 18、（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， 设∠ABE=∠CBE=α，∠BAD=∠C=β， ∴∠BAC=180°-2α-β，∠ADB=180°-2α-β， ∴∠BAC=∠ADB， 又∵∠ABE=∠CBE， ∴△ABE∽△DBF； （2）∵△ABE∽△DBF， ∴， ∵∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠C， ∴△ABF∽△CBE， ∴， ∴， ∴AF：DF=CE：AE． 19、（1）证明：已知四边形ABCD对角线AC，BD交于点E，∠BAC=∠FAD=∠CDB， ∴∠BAC+∠CAF=∠FAD+∠CAF， ∴∠BAF=∠CAD， ∵∠DAF+∠ADB=∠AFB，∠ADC=∠ADF+∠CDB，且∠FAD=∠CDB， ∴∠AFB=∠ADC， ∴△ABF∽△ACD； （2）解：∵△ABF∽△ACD， ∴， ∴， ∵∠BAC=∠FAD， ∴△BAC∽△FAD， ∴， ∵BC=12，AD=27，DF=18， ∴， ∴AC=18． 20、（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC=∠BCD=90°，∠DBC+∠ABF=90°， ∵AE⊥BD， ∴∠BAE+∠ABF=90°， ∴∠DBC=∠BAE， ∴△ABE∽△BCD； （2）由（1）知△ABE∽△BCD， ∴， ∵AB=CD，E为BC的中点， ∴2BE2=36．则， ∴， 在Rt△ABC中可得：． 21、解：（1）四边形DEBF是平行四边形；理由如下： 由题意知，在▱ABCD中，DF∥EB， ∵BE=DF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）∵四边形DEBF是平行四边形， ∴OE=OF， ∴S△DOE=S△BOF=2， ∴S△DBE=S△EFB=4， ∵AE=6，BE=2， ∴， ∴S△ADB=16， ∴▱ABCD的面积为2S△ADB=32． （3）∵BD⊥AD， ∴∠ADB=90°， ∵∠A=45°， ∴∠DBA=∠A=45°， ∵EF⊥AB， ∴∠G=∠A=45°， ∴△ODG是等腰直角三角形， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴DF⊥OG， ∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴OE=OF，BE=DF， ∴GF=OF=OE=1， ∵△DFG是等腰直角三角形， ∴DF=FG=1， ∴GE=OE+OF+FG=3， ∴AE=GE=3， ∴AB=AE+EB=4， 故答案为：4． 22、（1）解：∵∠1=46°，∠BCA=90°， ∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-46°=44°， ∵a∥b, ∴∠2=∠3=44°， 即∠2的度数为44°； （2）证明：如图，过点B作BD∥a,则∠4+∠ABD=180°， ∵a∥b, ∴b∥BD， ∴∠1=∠DBC， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1， ∴∠4+60°-∠1=180°， ∴∠4-∠1=120°； （3）解：∠5+∠6=120°， 理由：过点C作CP∥a,如图所示： 设∠CAM=x,则∠BAM=∠CAM+∠BAC=30°+x, 又∵a∥b, ∴CP∥b,∠6=∠BAM=30°+x, ∴∠PCA=∠CAM=x, ∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-x, ∵CP∥a, ∴∠5=∠BCP=90°-x, ∴∠5+∠6=90°-x+30°+x=120°． 学科网（北京）股份有限公司 $