第三章《图形的相似》单元测试卷- 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 《图形的相似》单元卷，覆盖相似三角形判定与性质、位似变换等核心知识，通过杠杆原理（第8题）、测量古塔（第20题）等生活情境及动态探究题（第23题），适配单元复习，培养几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似判定基础|第5题辨析相似条件，强化推理意识| |填空题|6/18|相似性质、位似坐标|第15题结合凸透镜成像，体现数学眼光| |解答题|8/72|证明（17题）、实际应用（20题）、动态探究（23题）|第24题坐标系与相似综合，提升综合思维|

第三章《图形的相似》单元浏试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.对于线段a和b,若a:b=2:3,则下列式子一定正确的是（) a+b 5 B.b-a=1 C.b2 a-b=-1 A.2a=3b D.b3 2.下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是() A.a=4,b=5,c=6,d=10 B.a=2,b=3,c=4,d=6 C.a=2,b=V5,c=2V5,d=10 D.a=0.8,b=3,c=l,d=10 3.如图在△ABC中，DE∥BC,AD:DB=3:2,AE=6,则EC的长为() D A.2 B.3 C.4 D.6 AC_3 4.如图，AB与CD交于O,且AC∥BD,BD4,则AAOC与△BOD的周长之比为() A、 D B 16 2v3 A.9 B.3 C.3 D.4 5.如图，已知∠BAD=∠CAE,那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽aADE的是 AB AC A.AD AE B.∠B=∠D AB BC C.AD DE D.∠ACB=∠E 6.已知△ABC∽△DEF,且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为() A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1 7.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按2：1的相似比将 △OBF缩小得到△OEF,点EF的对应点分别为E,F”.若B(42 ,则点E的坐标为 11 22 B.(1-2) C.(2-) D.(4,-2) 8.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理： 通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如 图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示， 动力臂OA=150cm,阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是() B A 甲 乙 A.80cm B.60cm C.50cm D.45cm 9.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2,E为线段AB上任意一动点，以CE 为斜边作等腰Rt△CDE,连接AD,下列说法：①∠BCE=∠ACD;②AC⊥ED;③△ADCOPABEC: ④AD‖BC;⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为2.正确的结论是() A.①②④ B.①③⑤ C.①③④ D.①③④⑤ 10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2Cm,D为BC的中点，若动点E以 1Cm/s的速度从A点出发，沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE,当以B、D、 厂为顶点的三角形与△MBC, 相似时，的值为（) B D A.2或3.4B.3.5或3.2 C.2或3.5 D.3.2或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.如图，四边形ABCD和EFGH相似，则∠D= H D E 118° 78°83 B G 12.如图，已知△MBC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.AD=2,AB=5,AE=4, 则EC= A E B 13.若△ABCAAB'C',且面积比为4：25，则其对应边上的高的比为 14,如图，线段B两个播点的坐标分别为160，B(82),以原点O为位似中心，在第一象 限内将线段AB缩小为原来的2后得到线段CD,则端点D的坐标为一· 15.如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛通过凸透镜MN所成的虚像，已知蜡烛AB的高度 是5cm,蜡烛与凸透镜MN的水平距离OB=6cm,该凸透镜的焦距OF=8cm，,且AE∥OB,则 CD cm 的长是 M A不 D FB O N 16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点E,F分别在边AC,BC上，连接EF, 把aCEF沿着EF折叠，点C的对应点D落在AB边上.若△BDF是以BF为腰的等腰三角形，则 CF= B D 三、解答题（共8小题，共72分) 17.(6分)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上，DE AC,EFAB (I)求证：△BDE∽△EFC. AF 1 (2)若FC=2,BC=6,求BE的长. 18.(6分)如图，在△ABC中，点D,E、F分别在AB、BCAC边上，DEI‖AC,EFI‖AB. B (I)求证：△BDE∽△EFC; AF 2 (2)若FC=3,且BC=20,求线段BE的长. 19.(8分)如图，在△ABC中，∠BAC=110°，点D,E在边BC上(D在E的左边)，且 AD=AE,∠DAE=40° B D (I)求证：△ABDACBA; (2)若AB=V3,BC=4,求BD的长. 20.(8分)某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔 的高度，测量过程见表. 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 图1 图2 步骤1：把长为2m的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点 A和标杆顶端点C确定的直线交水平面BD于点Q,测得 OD=3m 测量步骤 步骤2：将标杆沿着水平面BD的方向平移到点F处，塔 尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面BD于点P, 测得PF=4m,FD=17.5m. 数学运算 根据表格信息，求塔的高度AB. 21.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知△01B的三个顶点坐标分别是D0,0),4(3,0), B(2,2) V 2 -8-7-65432101245x 3 (1)把△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到aOAB,请画出△OAB; (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧把△OAB放大为原来的2倍后得到△OAB,请画出 △OA,B2 (3)求△0A,B的面积. 22.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，连接DE,F为线段DE上一 点，且∠AFD=∠C. D E (1)求证：△ADF∽△DEC, (2)若AB=8,AD=6N3,AF=4V5,求DE的长. 23.(12分)在R1aABC中，∠C=90°，AC=20cm,BC=15cm.现有动点P从点A出发，沿AC向 点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动.如果点P的速度是4cm/秒， 点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运 动的时间为t秒，求： ±0 (I)用含t的代数式表示RIACPO的面积S; (2)当1=3秒时，这时，P,Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B,直线 与x轴、y轴分别交于点C点八，B与C0相交于点B线段OM、OC的长是一元二次方 CD 程-18x+72=0的两根(04>0C),BE-5,0B01. y D (1)求点A、C的坐标； (2)求直线CD的解析式； (3)在x轴上是否存在点P,使以点C、B、P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出 点P的坐标；如不存在，请说明理由. 参考答案 一、选择题 1.D 解：a:b=2:3, ∴.设a=2k,b=3k(k>0), A选项：2a=4k,3b=9k,4≠9k,错误； B选项：b-a=k,k不一定为1，错误； a+b2k+3k_55 C选项：b=3k=32,错误； a-b 2k-3k 1 D选项：b=3站=3，正确，符合题意. 2.B 解：A、a=4,b=5,c=6,d=10 :0=4c-63 “b5,d105, 43 一丰 ·55, 六这组线段不成比例，故本选项错误。 B、a=2,b=3,c=4,d=6 0-2c-42 “b3,d63, …bd, 六这组线段成比例，故本选项正确。 C、a=2,b=V5,c=2W5,d=10, ÷9=2-25c255 b5=5,d105, 25,5 55, 小这组线段不成比例，故本选项错误· D、a=0.8,b=3,c=1,d=10 .0=0.8=4c1 b315,d10, 41 。。 1510, 这组线段不成比例，故本选项D错误. 3.C 解：.DE∥BC,AD:DB=3:2, ∴.AD:DB=AE:EC=3:2, 又AE=6, .6:EC=3:2, ∴.EC=4. 4.D 解：AC∥BD, .∴.△AOCr△BOD, AC 3 :BD4, 3 ∴△40C与△B0D的周长之比等于4. 5.C 解：∠BAD=∠CAE, :2AD+∠DAC=∠CAE+∠DAC即ZBAC=∠DAE AB AC A、添加AD=AE,根据两边对应成比例及夹角相等，则。ABC△ADE: B、添加∠B=∠D,根据两角对应相等，则△ABCAADE; AB BC C、添加ADDE,虽然两边对应成比例，但∠BAC和∠DAE不是它们的夹角，则AABC和 △ADE不一定相似； D、添加∠ACB=∠E,根据两角对应相等，则△ABC∽aADE; 故选：C. 6.C 解：：△ABC∽△DEF,相似比为1：3，相似三角形面积比为相似比的平方， ∴.△ABC与△DEF的面积比为I:9. 7.C 解：：以原点0为位似中心，将△0EF按2：1的相似比缩小得到△0EF,E(4,2) 六点E倚查标是4分2（引，即 8.B 解：AC⊥AB,BD⊥AB ∴.∠OAC=∠OBD=90° 又：∠AOC=∠BOD, ∴.△AOCn△BOD 6% 04=150cm,OB=50cm,BD=20cm :4C=150 2050, ..AC=60cm 9.D 解：，△ABC、△DCE都是等腰直角三角形， .AB=AC=BC=2 CD=DE=YCE 2 ∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45° ①，∠ACB=∠DCE=45°， ∴.∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE, 即∠ECB=∠DCA,故①正确； ②.∠BAC=90°， .AC⊥AB, 若AC⊥ED,则ABIIDE或AB与DE重合， 当AB∥DE时AB和DE无交点，这和E为AB上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； CD AC ③：ECBC2,LECB=∠DCA, ∴.△ADCOABEC,故③正确； ④.'△ADC∽aBEC, ∴.∠DAC=∠B, 又，∠B=∠ACB, .∠DAC=∠BCA, .AD/BC,故④正确； ⑤.△ABC为等腰直角三角形且BC=2, ∴.△ABC的面积为定值， S稀形ABD=SABc+S4D, ∴.当△ACD的面积最大时，梯形ABCD的面积最大， 如图，过点A作AH⊥BC于点H,则AH为等腰直角△ABC斜边上的中线， D B H AH=号BC=1 1 2 .ADl/BC, ∴.△ACD中AD边上的高为定值（即为1）， 当△ACD的面积最大时AD最长， ,△ADCP△BEC, AD√2 .BE 2, 当AD最长时，BE也最长， ,E为线段AB上任意一动点， .当E、A重合时BE最长， AD-BE-1 此时BE=AB=V2,则 2 5(DC) 2, 3 即四边形ABCD的面积最大值为2，故⑤正确； 综上，正确的结论是①③④⑤」 10.C 解：：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm, .AB =2BC=4(cm) :BC=2cm,D为BC的中点，动点E以lcm6的速度从1点出发， ÷BD=号BC=1(cm,BE=AB-AE=4-(cm), 若∠BED=90°， :∠ABC=60° 2 .∠BDE=30° 2 (m) :BE=BD= 1 AE-4B-BE-4-7 3.5 ∴t=3.5 若∠BDE=90°时， .∠ABC=60 ∴.∠BED=30° .BE=2BD=2(cm) .∴.AE=AB-BE=4-2=2 .l=2 综上可得：t的值为2或3.5. 故选：C. 二、填空题 11.81° 解：，四边形ABCD和EFGH相似， .∴.∠A=∠E=118°， 在四边形ABCD中，∠D=360°-78°-83°-118°=81°， .∠D=81°. 12.6 解：DE∥BC, AD AE AB AC, .AD=2 AB=5 AE=4 24 5 AC, .∴.AC=10 ∴.EC=AC-AE=6 13.2:5 解：△ABCAAB'C',且面积比为4：25， .相似比为2：5， .对应边上的高的比为2：5. 14.(4) 解：以原点O为位似中心，在第一象限内将线段4B缩小为原来的2后得到线段CD 1 点D与点B是对应点，且位似比为2 1 ·点D的横、纵坐标分别为点B横、纵坐标的2 .B(8,2) 六点D的横坐标为8×24，纵坐标为2×1 1 2 .D(4,1) 15.20 解：由题意得，AE=OB=6cm,ABI‖lCD, .AE∥OB, ∴.aCAE∽aCOF（点F为点0右边的那个点，下面的点F一样)， CA AE 63 .C00F84, OA 1 ·0C4; ABII CD ∴.△OAB∽△OCD. .AB OA 1 ·CDOC4, 又.AB=5cm, ∴.CD=20cm, 故答案为：20. 4V10-8 16.2或3 解：由折叠可得FC=FD, ①当Bm-FD时，则CF=BF=BC-2: ②当BF=BD 时， 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4, AB=AC2+BC2=5 如图，延长BC至G,使得CG=1, ∠ACB=90°， .∠ACG=180°-∠ACB=90°， 在RtAACG中，AG=VCG2+AC=VP+3?=V0 ..BG=BC+CG=AB=5 BF_BG=1 BD BA BF BD BG BA .·∠B=∠B .△BFD∽△BGA DF BF AG BG, 设CF=x,则DF=CF=x,BF=4-x, =4x 105, 4v10-8 解得=3； 4V10-8 综上所述，CF=2或3. 三、解答题 17.(1) 证明：，DE‖AC,EFI‖AB .∴.∠C=∠DEB,∠B=∠CEF, ∴.△BDEn△EFC; AF 1 (2)解：：FC=2,EFI‖AB, BE AF 1 ·ECFC2, :B贴=BC, .BC=6, :BE=,×6=2 3 18.(1)证明：DEIAC,EF‖AB, ∴.∠B=∠CEF,LBED=∠C, 在△BDE和△EFC中， I∠B=∠CEF ∠BED=∠C, ∴.△BDEn△EFC: AF 2 (2)解：：Fc3, CF 3 .4C5, .EFI‖AB ∴.△EFC∽△BAC, EC CF 3 ·BCAC5, .BC=20, EC 3 .205, .∴.EC=12, ∴.BE=BC-EC=20-12=8. 19.(1)证明：AD=AE,∠DAE=40°， ÷∠ADE=180,40°=70° 2 .∠ADB=180°-70°=110° 又∠BAC=110°， ∴.∠ADB=∠BAC 又·∠ABD=∠CBA, .△ABD~△CBA (2)解：.△ABDACBA, AB BD 3 BD .CB=BA,即43， BD-2. 20.解：设AB=xm,BD=m, EF=2m PF=4m PB=PF+FD+BD=4+17.5+y=(21.5+y)m .EF IAB .∴△EFP∽△ABP EF PF AB PB, .24 x21.5+y, .CD=2m Do=3m OB-OD+DB-(3y)m CDI‖AB ∴.△CDQ∽△ABQ CD DO AB BO, .23 …x3+y, 34 3+y21.5+y, 解得y=52.5(检验成立)， 2_3 x3+52.5, 解得x=37(检验成立). 答：塔的高度AB为37米. 21.(1)如图，△0AB即为所求 (2)如图，△OA,B,即为所求 4 B 8-76543-2-O2345x B2 1 (3)△04，B,的面积为2×6×4=12 22.(1) 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, .∠ADF=∠DEC, .∠AFD=∠C, ∴.△ADF∽△DEC; (2)解：四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=8 .'△ADF∽△DEC, AD ED 63 ED ÷AFDC,即4W58,解得：DE=12. 23.(1)解：由题意得AP=4,CQ=2t, 则CP=20-4t, :RaCr0的面积为S=CPxC0-×20-40x2=2-4r0≤1≤， 2 2 (2)解：由题意得AP=4,C2=2t, 则CP=20-4t, 当1=3秒时，CP=20-41=8cm,C9=21=6cm 在RaCP0中，由勾股定理得PP=VCP+CO=V⑧+6=I0cm, (3)解：由题意得AP=4,CQ=2t 则CP=20-4t, .AC=20cm,BC=15cm CP CO .①当RIACPORIACAB时，CA=CB, 20-4t_2t 即2015’ 解得1=3秒； CP_CO ②当RiACPO∽RIACBA时，CB=CA, 20-4t_2t 即1520’ 40 解得1=1ⅱ秒. =3秒或智砂时，以友C、pQ为顶点的三角形与AC相仅 24.(1)解：(1)解方程-18x+72=0,即K-12(x-6=0 即x-12=0或x-6=0, 解得：x=12,x2=6 又0A>0C, ∴.0A=120C=6 4的坐标是20)，C的坐标是60)， (2)解：0n-0A 3 0B=16,则B的坐标是@16) AB=VOA+0B2=V122+162=20 .BE=5 ∴.AE=AB-BE=15 过点E作EF⊥x轴于点F. 则△AEF∽△AB0O, AFEFAE OA OB AB ..AF_EF 15 1216-20, .AF=9EF=12 则or=12-9=3.则点E的坐标是612) 设直线CD的解析式是'=+bk≠0) C(6,0),E(3,12) 「-6k+b=0 解得： b=8 3k+b=12 则直线CD的解析式是y=3 x+8 B (3)解：当x=0时，y=8, 即OD=8, CD=V0C2+0D2=V62+82=10 :0F=3,0C=6 ..CF=OC+OF=9 ,EF=12 .CE=VCF2+EF2=V92+122=15 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是0)，则PC=p+6. CD OC ①当△CODn△CEP时，CPCE, 106 即p+615’ 解得：p=19 则点P的坐标是90)， OC CD ②当△CODn△CPE时，CPCE, 610 则p+615, 解得：p=3, 则点P的坐标是8) 综上可知，点P的坐标是9,0)和包，0) 和