上册 第3章 追梦基础训练卷（2）-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

铺路卷 相恋之旅 河南专版·BS·九年级数学上 ∞ 炒为期中、期末铺路为中考、未来铺路 第三章追梦基础训练乵 相似三角形的性质 图形的位 测试时间：100分钟 测试分数：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 6 8 9 10 答案 1.在下面各图中，不添加任何辅助线，若每个图所给出的两个三角 地 形都是相似的，则位似图形的个数是( 腳 n A.1 B.2 C.3 D.4 湖 q 2.已知△ABC∽△DEF, E2,若△ABC的周长是6，则△DFF的 AB 3 周长是( A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，已知平行四边形ABCD,点E在DC上，DE:EC=2:1,连接AE T 交BD于点F,则△DEF与△BAF的周长之比为() A.4:9 B.13 C.1:2 D.2:3 第3题图 第5题图 第6题图 爵 AB 3 郡 4.已知△MBC△AB"C,AB手，则△MBC与△M'BC的面积之 比为( 4 B. 3 16 016 9 5.如图，在平面直角坐标系x0y中，以原点0为位似中心，将线段 摇 MB放大得到线段CD,若CD=2MB,点A的坐标为(2，-1)，则 点A的对应点C的坐标为( A.() 8（-3, C.(-2,1) D.（-1,2) 6.如图，△ABC与△DEF位似，点0是位似中心，且OD=2AD,若 BC=6,则EF=() A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放 在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗 杆底端在同一直线上)，直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶 端。已知小颖的眼睛离地面的高度CD为1.8m,同时量得小颖 与镜子的水平距离DF为1.6m,镜子与旗杆的水平距离BF为 9.6m,则旗杆高度AB为( A.6.4m B.8 m C.9.6m D.10.8m Y B D: 0146 第7题图 第8题图 8.如图，在平面直角坐标系中，已知点0(0,0)，A(6,0),B(0,8), 以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE, 则位似中心的坐标和飞的值分别为( A.(0,0),2 B.(2,2),2 C.(2,2),2 D.(1,1),2 9.跨学科试题·物理阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动 整个地球。”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和 力臂长度，用较小的力就能撬动重物。这一原理在生活中随处 可见。如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时， 另一端就会撬动石头。如图乙所示，动力臂OA=150cm,阻力 臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是( A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.45 cm 第9题图 第10题图 10.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度 AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE 与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF =20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树 高AB是() A.4m B.5.5m C.6 m D.16m 二、填空题（每小题3分，共15分）》 11.已知△ABC∽△DEF,面积比为1：4，AC的对应边为DF,AC= 2,则DF的长为 12.生活情境·草地某公园平面图上有一块三角形草地，三边长分 别为4cm、5cm、6cm。已知这块三角形草地最长边的实际长 度为18m,则最短边的实际长度是 mo 13.生活情境·长尾夹长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的 种文具。某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时 的示意图，经测量知AE=AF=1cm,EB=FD=2cm,EF=0.8cm, 则在图2闭合状态下点B,D之间的距离是 cmo B D 图1 图2 第13题图 第14题图 14.如图，0是△ABC内任意一点，D,E,F分别为A0,B0,C0上的 点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O。若AD= A0,则△ABC与△DEF的位似比为 1 15.文化情境·数学文化《九章 算术》是中国古代第一部数 学专著，是《算经十书》中 最重要的一种，成于公元一 世纪左右。在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西 七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门 几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD,东边城墙 AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E,南门点F分别是 AB,AD的中点，EG⊥AB于E,FH⊥AD于F。EG=15里，HG经 过点A,则FH为 里。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中。 (1)画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位 长度后的△AB,C10 (2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到 △A2BC2,请在网格中画出△A2BC20 (3)直接写出△CC,C2的面积，及A1、A2的坐标。 11. 17.(9分)如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D,∠BCE=∠ACD。 (1)求证：△ABC∽△DEC; (2)若SAARC:SADEG=4:9,BC=6,求EC的长。 D 18.(9分)如图，△ABC与△DEF位似，EB的延长线与FC的延长 线交于点O,点A和点D在线段OE上。 (1)△ABC与△DEF的位似中心为点 (2)若△ABC与△DEF的位似比为，AC=3,求DF的长。 (3)若∠0=20°，∠E=40°，求∠BCF的度数。 0 THE ROAD TO DREAM 19.文化情境·数学文化(9分)“准、绳、规、矩”是我国古代使用的 测量工具。一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如 图1)，它的两条边分别是a,b,中国古代的天文和数学著作《周 髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就 是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度。如图2，从“矩”EFG 的一端E处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端B 处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得DE=1.6m,AD= 4m,若“矩”的边EF=1.4m,FG=0.7m,求木杆AB的长。 图1 图2 。12 20.生活情境·停车场(9分)随着生活水平的提高，家用轿车已经 成为很多人出行的交通工具，为此修建了很多停车场。如图， 已知某停车场入口处的栏杆的长臂A0长是12米，短臂B0长 是1.1米，当长臂端点垂直升高A'C=9米时，短臂端点垂直下 降了多少米？（栏杆宽度忽略不计） 21.（10分)如图，口ABCD中，AE:EB=2:3,DE交AC于点F。 (1)求△AEF与△CDF周长之比； (2)如果△CDF的面积为25cm,求四边形ABCD的面积。 D 22.（10分)如图1，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=6, AD=4,动点P沿线段AD从点A向点D运动，过点P作EF∥ BC,EF交AB于E,交AC于F,以EF为边向下作正方 形EFGH。 (1)设AP长为x,利用相似三角形的性质，可用含x的代数式 表示正方形的边长为EF= ;如图2，当x = 时，GH恰好落在边BC上，此时EF长 为 (2)如图3，当GH在△ABC外部，且正方形EFGH与△ABC公 共部分的面积为6时，求点P的位置（即求AP的值）。 H DG 图1 图2 图3 易错 23.新考法·项目式学习(10分)某数学研究性学习小组在老师的 分析 指导下，利用课余时间进行测量活动。 活动 主题 探究晒衣架的相关问题 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架 的侧面示意图，立杆AB,CD相交于点O,B,D两 点置于地面上，现将晒衣架完全张开，根据三角形 的稳定性，扣链EF成一条直线起稳固作用，且EF 脚 模型 ∥BD。 抽象 活 动 过 程 B G 过，点O作OG⊥BD于点G,交EF于点H,经测量 数据 OA 2 信息 与比对，有0C=80cm,0D=120cm,0B号，20B =EB,OH=24cm。 做题 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： 心得 (1)连接AC,求证：AC∥BD; (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到126cm,则挂在 晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明。 熎15.)【解标】假设EF=5k,AB=3k。∠A=∠B3 ∠FEH=90°，.∠AEH+∠BEF=90°，∠BEF+∠EFB= 90°，∴.∠AEH=∠EFB。EH=EF,∴.△HAE≌△EBF (AAS),∴.AE=BF,设AE=BF=x,则EB=3k-x,在 Rt△EFB中。EF2=BE2+BF2,.(5k)2=(3k-x)2+ x2,整理得x2-3x+2k2=0,解得x=k或2k(舍弃)，AE =,BE=-26 16.解，24、26 2c 2d -=k,∴.当a+b+c+d b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c ≠0时，由等比性质可得2a+6+c+dk= 3(a+b+c+d) 3；(2分) 2a=20=-2 当u+h+c+d=0时，b+c+d=-a,k=6c+d-a (5分) 当=时-4号4 (7分) 当k=-2时，k2-3k-4=(-2)2-3×(-2)-4=6。(9分) 17.解：由矩形EMBF~矩形ABCD可得_B (3分)》 AB BC 设AE=x,则AD=BC=2x。又AB=1,1=2,(6分) 解得=2 (负数舍去)，BC=2x=2SEam=BGx4B =√2×1=2 (9分) 1这怎相鼠，理商下0招物治2分 又品光品品%-品△0c △A'D'C',.∠A=LA'。 (6分) 又6-识△Mc△wC。 (9分) 19.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AB ∥CD,.∴.∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC。 (2分) .·∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B,∴.∠AFD=∠C .△ADF∽△DEC。 (5分) (2)解：四边形ABCD是平行四边形，.CD=AB=8, △ADF∽△DEC,.ADC, (7分) .DE=AD.CD_6/3x8 =120 (9分) AF 43 20解，@若△P0g0△408时.8%8，即g,整理 得12-2t=t,解得t=4。 (4分) 126,整理得6 ②若△P0Q一△B0A时，%=，即6-1 -t=2t,解得t=2。 (8分) 0≤t≤6，∴t=4和t=2均符合题意，.当t=4或t=2 时，△POQ与△AOB相似。 (9分) 21.(1)证明：：AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠EAD。 (1分) A0=AE·A把-织△48AAE,4分 (2)解：：△ABD△ADE,.∠ADB=∠AED。 ∠DAE+∠ADE+∠AED=18O°，∠ADB+∠ADE+∠CDE= 180°，.∠CDE=∠DAE,即∠CDE=∠CAD。又 ∠DCE=∠ACD,∴.△DCE∽△ACD, (7分) CDCE3C9 .AC CD AC 3 2,AE=AC-CE=号-2 追梦之旅铺路卷·九年 5 二2 (10分) 22.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，AD∥ BC,∴.∠AMB=∠EAF, (2分) 又EF⊥AM,.∠AFE=90°，.∠B=∠AFE,△ABM ∽△EFA; (5分) (2)解：∠B=90°，AB=12,BM=5,.AM=122+5= 3,4D=2,F是AM的中点，心AF=)AM=6.5, △ABM△EFA,FAEA' BM AM (8分) 即5、13 脚6.5AEAE=169,.DE=AB-AD=4.9。(10分) 23.(1)证明：点D是线段AC的黄金分割点，且AD<CD, 大 AD CD. CD AC' =m0是 (3分) 而∠DAB=∠BAC,.△ABD△ACB,.∠ADB= 案 ∠ABC; (5分) (2)解：△ABD△ACB, CBAC,而AB=CD, BD AB BD CB AC“点D是线段AC的黄金分割点，且AD<CD, CD 2-0=5m=a5-2m (10分) 第三章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查CBD CD CDBBB 1.C2.B 3.D【解析】小：四边形ABCD为平行四边形，DC∥AB,∴ △DFE∽△BFA,AB=DC。DE:EC=2:1,∴.DE:DC=2 3,.DEAB=23,CADFE CABFA=2:3。故选D。 4.C 5.D【解析】过点C作CE⊥x轴，过点A作AF⊥x轴，垂 足分别为E,F,根据位似图形性质可知，△DOC一 △BOA。,DC=2AB,∴.D0=20B,OC=2OA。,:∠OEC =∠OFA=90°，∠C0E=∠AOF,.△C0E△AOF,.CE =24F,0B=20。A7-10F=AF=1cE 1 =2,0E=1。点C在第二象限，C(-1,2)。故选D。 6.C【解析】：△ABC与△DEF位似，点O是位似中心， 且0m2080号E器号.0-6B =4。故选C。 7.D8.B 9.B【解析】.AC⊥AB,BD⊥AB,.AC∥BD,∴.△AOC∽ ABODOA =150cm.OB 50cm,BD= AC150 20cm,2050AC=60cm。故选B。 10.B11.412.12 13.2.4【解析】连接BD,·AE=AF=1cm,EB=FD=2cm, EF=0.8cm,AB=A0=1+2=3(cm）,由题意得，4/ AE EF TAD=子，且∠A=LA,△AEF一△ABD,ABBD BD=2.4cm 15105【解折】由题意可知，AB=B=45里，A=分 级·BS·数学第6页 AD=3.5里，.：四边形ABCD是矩形，EG⊥AB,FH⊥ AD,.∠HFA=∠DAB=∠AEG=90°，.FA∥EG,: LHAF=LG,.△HFA∽△AEC,AE-CE'即45 FH AF 3.5 15FH=1.05里。 16.解：(1)如图，△A,B,C,为所作。 (3分) (2)如图，△A2BC2为所作； (6分) 大卷答案 C..: R: .Q...... (3)△CC,C2的面积为9；A1的坐标为(7,9)；A2的坐标 为(3,5)。 (9分) 【注意】位似中心与位似图形之间的常见位置关系：位似 中心可能位于两个图形的同侧，也可能位于两个图形之 间，还可能位于两个图形的内部或边上，还可以是顶点。 17.(1)证明：.·∠BCE=∠ACD..∠BCE+∠ACE=∠ACD +LACE,∴，∠DCE=∠ACB,又：∠A=LD,∴△ABCM △DEC; (4分) (2)解：△ABC∽△DEC,. CE 9,又 BC=6,.CE=9。 (9分) 18.解：(1)0 (2分) (2):△MBC与△DEP的位似比为？，AC=3, AC DF 1 2DF=2AC=6; (5分) (3)△ABC与△DEF位似，∠E=40°，∠ABC=∠E =40°。：∠0=20°，∴.∠BCF=40°+20°=60°。(9分) 19.解：由题意得：四边形ADEC是矩形，∴.EC=AD=4m,CA =ED=1.6m。 (2分) 又：GF⊥EC,BC⊥EC,.GF∥BC,.∠EGF=∠B, ∠EFG=∠ECB,.∴.△EFG∽△ECB, (5分) GFEF.0.71.4 BC-EC BC=4BC=2m,AB=2+1.6=3.6 (m),答：木杆AB的长为3.6m。 (9分) 20.解：A'C⊥AB,B'D⊥AB,∴.∠OCA'=∠0DB=90°。 ∠COA'=∠DOB',∴.△OCA'∽△ODB'。 (4分) BD_BO,即BD=1 A'C A'O' 9=12B'D=0.825,故短臂端点 垂直下降了0.825米。 (9分) 21.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥ CD,△AEF△CDF,AE:EB=2:3,发=0= △AEF的周长2 △CDF的周长5； (5分) (2:△AEF△CDF,:AE_AE_2.SAMe.2 CFcD5,SACDF5’ (7分) :△CDF的面积为25cm2,.SAMr=10cm2,.SAAc= 35cm2,.S网边形hBcD=2S△McD=70cm2。 (10分) 2解(； (3分) (2)设AP长为x,由题可得EM=PD=4-x,:EF·EM= 6…3(4-=6, (7分) 追梦之旅铺路卷·九年 解得：x=2,即AP=2,∴当AP=2时，AP<AD,点P在 △ABC的内部，满足题意。 （10分) 0C2 23.解：(1)0C=80cm,0D=120cm,0D3,0B OA 2OA-OC,∠A0C=∠BOD,△A0C△BOD, 3,0B0D (3分) ∴.∠A=∠OBD,∴.AC∥BD; (4分) (2)小红的连衣裙会碰到地面， (5分) 理由如下：EF∥BD,.△OEF∽△OBD, OH OE OG OB 20E=EB,0B=30E,0-0B1」 ”0c0B30G=30H= 72cm, (7分) 设点0到AC的距离为h,由(1)可知：△A0C△B0D, h OA 2 0B3,h=30C=48cm,72+48=1正亚 126,.小红的连衣裙会碰到地面。 (10分) 第三章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查CCCC D C D B AD 1.C 2.C【解析DF=12,EF=12-DE。a/%/c,有 器即号阳e0释0E=号选C。 3.C4.C5.D 6.C【解析】四边形ABCD∽四边形A'B'CD,AB AB BC=了，B'C=15,BC=9。故选C。 BC 3 7D【解析正AD=了，A=5,四边形ARCD是平 行四边形，AB=CD,AB/CD,△DEF△ABF,AB DE DF 2 AF了。DE=4,CD=10。故选D。 8.B【解析】小：五边形ABCDE与五边形A'B'CD'E位似， 0A=10cm,0A'=30cm,.0A:0A'=10:30=1:3,.五边 形ABCDE的面积与五边形A'B'CD'E的面积的比为1： 9。:S五边形XBCDE=27cm2,.S五边形Bce=3Cm2。故选B。 9.A【解析】过D作DH⊥AB于H。,:E为此三角形的重 BE 2 心AD=AC=4,BD3。LC=90,AC=8,BC= 2 6,.AB=√AC2+BC2=10。∠AHD=∠ACB=90°， LDAH=LBAC,六△ADH△ABC,招，：DnE 。EF上AB,DH L AB,EF∥DH,&△BE △BDH阳那BF=放选A。 EF BE 10.D【解析】：BC=6,.AB=AD=CD=6,∠A=∠D= 90°。四边形AEFG为正方形，EF=2,∴.AE=EF=AG =2,EF∥AG,∴.BE=4,∴.∠FEB=∠A。:∠EBF= ∠Am△BB△B罗品音M 24 =3,∴.DH=3,在直角三角形CDH中，CH=√CD+D =√32+6=35。故选D。 1∠ABC=LD(答案不唯-)2.}13.} 1 级·BS·数学第7页