第五章 二次函数 单元提优测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本试卷为初中数学二次函数单元提优测试卷，涵盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与综合应用，适配单元复习，可有效检测学生对二次函数定义、图像性质及实际应用的掌握。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/40分|二次函数定义、图像变换、性质比较、数形结合|结合一次函数与二次函数图像辨析，培养几何直观与推理意识| |填空题|6题/24分|二次函数定义、图像与x轴交点、对称轴应用、拱桥问题|通过湖西桥水位问题，体现模型意识与应用意识| |解答题|6题/56分|顶点坐标、平移、实际应用（车棚/投石车）、存在性问题|车棚设计问题发展运算能力与创新意识，投石车情境融合文化传承，存在性问题提升推理能力|

第五章二次函数提优测试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.下列函数中，二次函数有 ( ) ①y=3- x²; ②y= ; ③y=x(3-5x); ④y=(1+2x)(1- A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.将抛物线 向下平移3个单位长度，则得到的抛物线表达式为 ( ) A. B. C. D. 3.已知 (-3,y₁), (0,y₂), (2,y₃)在二次函数 的图像上，则y₁, y₂, y₃的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 4.在同一直角坐标系中，一次函数y= kx+b和二次函数 的图象可能为 ( ) 5.的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ( ) A. B. 且k≠0 C. D. 且k≠0 6. 的图象如图所示，那么关于x的方程 的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.无实数根 7.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB=8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC=1m，则门高OE为 ( ) A.9m B. C.8.7m D.9.3m 8.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(3,2),点B 的坐标是(-1,2),连接AB,若抛物线y= 与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 9. 如图，在等边△ABC中,AB=2，点D从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A—C—B 运动，过点 D 作AB 的垂线，垂足为点 E.设点 D的运动时间为x秒，△ADE的面积为y(当A,D,E三点共线时，不妨设y=0)，则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是 ( ) 10.在平面直角坐标系中，二次函数 2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是 ( ) A.图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时, y<0 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.若函数 3x+1是关于x的二次函数，则k的值为 . 12.函数 的图象与x轴只有一个交点，则k的值为 . 13.若二次函数 的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程 的一个解 则另一个解 14.湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥(如图①)，按如图②所示方式建立平面直角坐标系，得到抛物线表达式为 正常水位时水面宽AB为24m,当水位上升1.5m 时水面宽CD为 m. 15.如图所示的是二次函数 图象的一部分，其对称轴为直线x=-1，且过点(-3，0).下列说法: ①abc<0;②2a-b=0; ③4a+2b+c<0;④若点(-5,y₁), ( ,x₂)是抛物线上两点，则 其中说法正确的是 (填序号). 16.如图，抛物线 与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点 C，PQ为抛物线对称轴上的线段，且PQ=2，则四边形ACPQ 周长的最小值为 三、解答题（共56分） 17.(8分)已知抛物线 (1)求抛物线的顶点坐标. (2)将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值. 18.（8分）如图，已知抛物线 c(a≠0)与x 轴交于点.A(-2,0),点B，与y轴交于点C(0,3). (1)求抛物线的表达式. (2)在抛物线上是否存在一点 G，使得 若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（9分）二次函数 b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x ... 0 1 ... ... 4 4 m ... 根据以上信息，解决下列问题： (1)直接写出c,m的值. (2)求此二次函数的表达式. (3)直接写出当-2≤x<1时，y的取值范围. 20. （10分）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害.“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段。阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了一个矩形电动车车棚（如图1），一边利用小区的后墙（可利用墙长为38m），其他的边用总长70 m的不锈钢栅栏围成。 (1)若车棚占地面积为600m²，试求出电动车车棚的长（BC）和宽（AB）. (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为650m²的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. (3)现小区为了方便电动车出行，设计了一个长度为2m的进出口(如图2)，要使得车棚占地面积尽可能大，如何设计可以使得车棚占地面积达到最大值？请你给出设计方案. 21.（10分）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到了一种古代远程攻击武器——投石车（如图1）。经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米。发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分。②攻城时将投石车置于O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，ABCD是一座城池截面，CD与x轴平行，墙宽CD=2米，垂直距离AD=9米。 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式. (2)若外墙AD 到投石车的距离AO约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，则火球是否会落在城墙内?请说明理由. 22.（11分）如图，二次函数y= 的图象与x轴交于点A(-3, 0) 和点 B，与y轴交于点C(0, -3). (1)求二次函数的表达式.存在性问题 (2)若点 Q 是抛物线在第三象限上的一点，满足 请求出点Q的坐标. (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点 F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. B ③y=x(3-5x)是二次函数； 不是二次函数， 不是二次函数.故选B. 2. B 抛物线 向下平移3个单位长度得到的抛物线表达式为 故选 B. 3. B 当x=-3时, 12-1=5;当x=0时, 当x=2时 故选B. 4. D 由 可知二次函数图象与x轴交于点(-b，0), 观察选项A 和选项B的一次函数图象，都经过第一、二、三象限,可得k>0,b>0, 若k>0,b>0,则二次函数 的图象开口向上，与x轴交于负半轴，故选项 A 和选项B错误； 观察选项C和选项D 的一次函数图象，都经过第一、二、四象限,可得k<0,b>0, 若k<0,b>0,则二次函数 的图象开口向下，与x轴交于负半轴，故选项C错误，选项D正确.故选 D. 5. C当k≠0时，关于x的函数为二次函数，当其图象与x轴有交点时， 解得 所以k的取值范围是 且k≠0.当k=0时，函数为一次函数y=-7x-7,其图象与x轴总有交点.综上 故选C. 6. A 令 则其图象是由二次函数 c的图象向下平移3个单位长度得到的， 的图象与x轴有一个交点，∴ 的图象与x轴有两个交点，∴方程 有两个不相等的实数根.故选A. 7. B 由题意得,抛物线过点A(-4,0),B(4,0),D(-3,4), 设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-4), 把D(-3,4)代入y=a(x+4)(x-4), 得4=a×(-3+4)×(-3-4),解得a=- ∴抛物线的解析式为y=- (x+4)(x-4). 令x=0,得 即z(0, ). . 即门高OE 为 m. 8. D 将A(3,2)代入y=ax²(a≠0).得9a=2,解得 将B(-1,2)代入y=ax²(a≠0),得.a=2,如图, 若抛物线y=ax²(a≠0)与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是 故选 D. 9. C 根据题意可知,当点D 运动到点C处时,2x=2,即x=1时，△ADE的面积取得最大值，由此可排除D选项； ①当点D在AC边上,即0≤x≤1时,如图, 由点 D 的运动可知,AD=2x,∵ △ABC 是等边三角形,∴∠A=60°,∵ DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴ ∠ADE=30°,∴AE=x,由勾股定理得 由此可排除A，B选项； ②当点D 在BC边上,即1≤x≤2时,如图, 由点D的运动可知,AC+CD=2x,∴BD=4-2x,∵△ABC是等边三角形,∴ ∠B=60°,∵DE⊥AB,∴ ∠DEB =90°,∴∠BDE=30°,∴BE=2-x,∴AE=AB-BE=x, x) 故选 C. 10. D 由题意可得方程 的两根异号， 解得0<a<3,∴二次函数 的图象开口向上，故选项A错误；∵函数 图象的对称轴为直线 ∵当x>1时,y随x增大而增大,故选项B错误;∵当x=1时,y=-3,∴函数的最小值为-3,故选项C错误;当x=2时,y=4a-4a+a-3=a-3,∵0<a<3,∴a-3<0,即y<0,故选项D正确.故选 D. 11.答案 -2 解析 ∵函数 是关于x的二次函数，∴|k|=2,且k-2≠0,解得k=-2.故答案为-2. 易错警示 易忽视二次项系数不为0这个隐含条件. 12.答案 0或3 解析 若k=0,则y=-6x+3,是一次函数，与x轴只有一个交点，满足题意；若k≠0，则 是二次函数，当函数图象与x轴只有一个交点时， 解得k=3.综上,k=0或3. 13.答案 -1 解析 ∵二次函数 图象的对称轴为直线x=1，关于x的一元二次方程 的一个解 另一个解为x₂ 故答案为-1. 14.答案 12 解析当 时 当水位上升1.5m时,y=-2+1.5=-0.5,!则 解得x=6或x=-6,∴水面宽CD为6-(-6)=12(m).故答案为12. 15.答案 ①②④ 解析 ①∵二次函数的图象开口向上，∴a>0， ∵二次函数的图象与y轴的负半轴相交，∴c<0， ∵对称轴是直线x=-1, ∴b=2a>0, ∴abc<0,故①正确; ②∵b=2a,∴2a-b=0,故②正确; ③∵抛物线的对称轴为直线x=-1,且过点(-3,0), ∴抛物线与x轴另一交点为(1，0)， ∵当x>-1时，y随x的增大而增大， ∴当x=2时,y>0,即4a+2b+c>0,故③错误； ④∵点(-5,y₁)关于直线x=-1的对称点的坐标是(3,y₁),当x>-1时，y随x的增大而增大，3> ,∴y,y₂,故④正确.故答案为①②④. 16.答案 解析 对于 当x=0时,y=3,即点C(0,3),令 解得x=3或-1,即点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3，0)，抛物线的对称轴为直线x=1， 作点C关于抛物线对称轴的对称点D(2，3)，连接PD，将点D 向下平移2个单位得到点E(2，1)， 连接QE，AE，AE交抛物线对称轴于点Q'，将点Q'向上平移2个单位得到点 P',连接CP',DP',当点 P 位于点 P',点Q位于点Q'时，四边形ACPQ 的周长最小， ∵DE∥PQ且DE=PQ, ∴四边形DEQP 为平行四边形,∴PD=QE,由抛物线的对称性知，PC=DP，则四边形ACPQ周长的最小值=AC+PQ+CP+AQ=AC+PQ+ 故答案为 17.解析(1) ∴抛物线的顶点坐标为(-1，-4). (2)该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为 ∵新抛物线经过原点， 解得m=3或m=-1(舍去),故m的值为3. 18.解析(1)由题意可得 解得 故抛物线的表达式为 (2)存在. 令 解得 ∵点B在x轴正半轴上，∴点B的坐标为(6，0)， ∴AB=6-(-2)=8, 假设存在点 G,令G点坐标为(xc,y。), 当 时，解得xc=0或 当 时，解得 或 ∴存在G点,坐标为(0,3)或(4,3)或 或 19.解析 详解:将x=0代入,得c=4, 由表格易知抛物线对称轴为直线 ∴x=1和x=-3时的函数值相等, (2)由(1)得c=4, 将 代入 得 解得 详解：∵ .抛物线开口向下，则当x=-1时，函数取得最大值，为 由(1)得 ∴当-2≤x<1时,y的取值范围为 20.解析 设AB长为 xm,则BC长为(70-2x)m. (1)根据题意得(70-2x)x=600,解得x=20或x=15, 当x=20时,70-2x=30,符合题意, 当x=15时,70-2x=40>38,不符合题意, ∴AB=20m,BC=30m. (2)不能. 理由:令(70-2x)x=650, 整理得 ∴此方程无实数根， ∴不能围成占地面积为650m²的电动车车棚. (3)设AB的长为 zm,占地面积为1m cm², 根据题意得 ∴当z=18时，车棚占地面积达到最大值， 故电动车车棚的宽(AB)为18m,长(BC)为36m时,车棚占地面积达到最大值. 21.解析 (1)根据题意可得，抛物线的顶点坐标为(100，25)，设抛物线的函数表达式为 则 解得 (2)火球会落在城墙内. 理由：由题意知，CD与x轴平行，墙宽CD=2米，垂直距离AD=9米, 则(OB=OA+AB=172米,CB=9米, 当x=170时, 当x=172时, 因此，火球会落在城墙内. 22.解析 (1)把A(-3,0)和C(0,-3)代入二次函数 bx+c中,得 解得 ∴二次函数的表达式为 (2)如图1,过点Q作QG⊥x轴于点 G, 设 ∵点Q 是抛物线在第三象限上的一点， ∴-3<t<0, 当y=0时, 解得x=-3或1, ∵点B在x轴正半轴上,∴B(1,0),∴OB=1, ∵C(0,-3),∴OC=3, ∵∠QAB=∠OBC,∠QGA=∠COB, ∴GQ=3AG, 解得t=-2或-3(舍), ∴Q(-2,-3). (3)存在,点F的坐标为(2,5)或(-4,5)或(-2,-3). 详解： ∴抛物线的对称轴是直线x=-1. 如图2，四边形ACFE 是平行四边形， ∵A(-3,0),C(0,-3),点E的横坐标为-1, ∴点 F 的横坐标为2， ∴F(2,5). 如图3，四边形ACEF是平行四边形， 同理可得点 F的横坐标为-4， ∴ F(-4,5). 如图4，四边形AFCE是平行四边形，此时CF∥x轴，点E在x轴上， ∴F(-2,-3). 综上,点F的坐标为(2,5)或(-4,5)或(-2,-3). $