25.1 一元二次方程的概念（讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理从定义（含三个必备条件）到一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0），再到根的定义与性质，最后到实际问题列方程的完整脉络，搭建从概念理解到应用的学习支架。 该资料采用考点突破-题型探究-分层通关的设计，题型探究含例题及变式训练，通过概念识别培养抽象能力，参数问题发展推理意识，实际问题（如增长率、面积问题）强化模型意识。课中辅助教师教学，课后分层练习助力学生查漏补缺。

25.1 一元二次方程的概念 目录 Part1考点突破 考点1：一元二次方程的概念 考点2：一元二次方程的一般形式 考点3：一元二次方程的根 考点4：实际问题与一元二次方程 Part2 题型探究 题型1：一元二次方程的识别 题型2：一元二次方程的一般形式与系数 题型3：一元二次方程的根及应用 题型4：一元二次方程的参数问题 题型5：实际问题列一元二次方程 Part3 分层通关 【考点1：一元二次方程的概念】 1、定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、三个必备条件 ①是整式方程（分母中不含未知数）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。三者缺一不可。 3、判断方法 先将方程化简整理，再按上述三个条件逐一判断。注意：若二次项系数含参数，需保证其不为0。 【考点2：一元二次方程的一般形式】 1、一般形式 一元二次方程的一般形式为＋bx＋c＝0（a≠0）。其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 2、注意事项 ①a≠0是一元二次方程的必要条件，若a＝0则方程退化为一次方程；②将方程化为一般形式时，需先去括号、移项、合并同类项；③某项系数为0时该项可省略，但确定各项系数时仍需写出。 【考点3：一元二次方程的根】 1、定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 2、常用性质 ①若x＝1是方程ax²＋bx＋c＝0的根，则a＋b＋c＝0；②若x＝﹣1是根，则a﹣b＋c＝0；③若x＝0是根，则c＝0。 3、整体代换法 已知方程的根，将根代入方程得到关于参数的关系式，再对所求代数式进行适当变形，整体代入求值。 【考点4：实际问题与一元二次方程】 1、基本步骤 ①理解题意，设未知数（通常设所求量为x）；②分析题目中的数量关系和等量关系；③根据等量关系列出一元二次方程。 2、常见类型 ①增长率问题：原量×(1＋增长率)ⁿ＝现量；②面积问题：利用矩形、三角形等面积公式建立等量关系；③互赠/比赛问题：n人互赠共n(n﹣1)件，单循环比赛共n(n﹣1)场。 【题型1：一元二次方程的识别】 【例1】下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理得，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 【变式2】下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 【题型2：一元二次方程的一般形式与系数】 【例2】把一元二次方程化成一般式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式1】将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 【变式2】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 【变式3】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【题型3：一元二次方程的根及应用】 【例3】已知是的一个根，则m的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴，解得：． 【变式1】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 【变式2】如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格可得，当或时，，据此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，． 故选：B． 【变式3】如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【分析】根据方程根的定义可推出，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 【题型4：一元二次方程的参数问题】 【例4】关于的方程是一元二次方程，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 【变式1】方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 【变式3】若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，得到“”是含的二次项，进行判断即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴“”是含的二次项， ∴“”可以是，其他选项均不能构成一元二次方程. 【题型5：实际问题列一元二次方程】 【例5】如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式表示是解题的关键． 设镶嵌的装饰部分的宽度为，则镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为，因为镶嵌后的面积为为，根据矩形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：矩形长为、宽为，设镶嵌的装饰部分的宽度为， ∴镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为， ∴一元二次方程是， 故选：B． 【变式1】九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x（x﹣1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程． 【详解】解：设全组共有名同学，那么每名同学送出的图书是本； 则总共送出的图书为； 又知实际互赠了132本图书， 则 ． 故选：B． 【变式2】根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入每年平均增长率为，根据题意可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，该公司收入从2022年到2024年经历了两年增长，年平均增长率为x，根据复利增长公式，列方程即可． 【详解】∵2022年收入为6423亿元，年平均增长率为x， ∴2023年收入为亿元， 2024年收入为亿元． ∵2024年收入为8621亿元， ∴． 故选：C． 【变式3】四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 【基础通关练】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程， 对于选项A：，满足上述三个条件，∴是一元二次方程，符合题意； 对于选项B：，未知数最高次数为1，不满足条件②，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项C：，含有分式，不是整式方程，不满足条件③，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项D：，含有两个未知数x和y，不满足条件①，∴不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 3．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理得到符合要求的一般形式即可． 【详解】解：∵原方程为 先去括号，可得 将所有项移到等号左侧，移项变号得 合并同类项得． 4．下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 5．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为， 则六块蔬菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 6．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 【提升通关练】 1．已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 2．若是方程的一个根，则的值为（ ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 3．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 4．下列方程中，两根分别是和的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 5．如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【分析】根据方程根的定义可推出，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 6．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 7．关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 【答案】2 【分析】将已知解代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的条件，确定的值． 【详解】解：把代入，得 ， 整理得，因式分解得 ， 解得，， 原方程为一元二次方程， 二次项系数 ，即， ． 8．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 9．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 10．已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 11．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 【培优通关练】 1．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 2．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（ ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的几何解法及完全平方公式的应用，熟练掌握几何法中“大正方形面积四个长方形面积小正方形面积”的关系是解题的关键． 类比题目中几何法解一元二次方程的方法，先确定长方形的长和宽，再根据大正方形面积的组成（四个长方形面积+小正方形面积），结合小正方形面积求出相关边长，进而计算的值． 【详解】解：∵ 方程为， ∴ 长方形的长为，宽为，小正方形的边长为． ∵ 小正方形的面积为64， ∴ ，即（边长为正）． ∵ 大正方形的边长为，大正方形的面积为， ∴ （大正方形边长为正）． ∵ ，， ∴ 两式相减得：， 即，解得． 将代入，得， 解得． 故选：B． 3．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 【答案】， 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 4．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念 目录 Part1考点突破 考点1：一元二次方程的概念 考点2：一元二次方程的一般形式 考点3：一元二次方程的根 考点4：实际问题与一元二次方程 Part2 题型探究 题型1：一元二次方程的识别 题型2：一元二次方程的一般形式与系数 题型3：一元二次方程的根及应用 题型4：一元二次方程的参数问题 题型5：实际问题列一元二次方程 Part3 分层通关 【考点1：一元二次方程的概念】 1、定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、三个必备条件 ①是整式方程（分母中不含未知数）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。三者缺一不可。 3、判断方法 先将方程化简整理，再按上述三个条件逐一判断。注意：若二次项系数含参数，需保证其不为0。 【考点2：一元二次方程的一般形式】 1、一般形式 一元二次方程的一般形式为＋bx＋c＝0（a≠0）。其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 2、注意事项 ①a≠0是一元二次方程的必要条件，若a＝0则方程退化为一次方程；②将方程化为一般形式时，需先去括号、移项、合并同类项；③某项系数为0时该项可省略，但确定各项系数时仍需写出。 【考点3：一元二次方程的根】 1、定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 2、常用性质 ①若x＝1是方程ax²＋bx＋c＝0的根，则a＋b＋c＝0；②若x＝﹣1是根，则a﹣b＋c＝0；③若x＝0是根，则c＝0。 3、整体代换法 已知方程的根，将根代入方程得到关于参数的关系式，再对所求代数式进行适当变形，整体代入求值。 【考点4：实际问题与一元二次方程】 1、基本步骤 ①理解题意，设未知数（通常设所求量为x）；②分析题目中的数量关系和等量关系；③根据等量关系列出一元二次方程。 2、常见类型 ①增长率问题：原量×(1＋增长率)ⁿ＝现量；②面积问题：利用矩形、三角形等面积公式建立等量关系；③互赠/比赛问题：n人互赠共n(n﹣1)件，单循环比赛共n(n﹣1)场。 【题型1：一元二次方程的识别】 【例1】下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【题型2：一元二次方程的一般形式与系数】 【例2】把一元二次方程化成一般式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型3：一元二次方程的根及应用】 【例3】已知是的一个根，则m的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【变式1】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【变式3】如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【题型4：一元二次方程的参数问题】 【例4】关于的方程是一元二次方程，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【变式2】若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【变式3】若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【题型5：实际问题列一元二次方程】 【例5】如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 【变式1】九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是 A． B． C． D． 【变式2】根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入每年平均增长率为，根据题意可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3】四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（ ） A． B． C． D． 【基础通关练】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 4．下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【提升通关练】 1．已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 2．若是方程的一个根，则的值为（ ） A．2025 B． C．2026 D． 3．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．下列方程中，两根分别是和的方程是（ ） A． B． C． D． 5．如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 6．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 7．关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 8．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 9．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 10．已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 11．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【培优通关练】 1．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A． B． C． D． 2．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（ ） A．6 B．4 C．2 D．1 3．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 4．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $