25.1一元二次方程的概念 同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理定义（含一个未知数、最高次数2、整式方程）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）、解（根）的判断及列方程的方法，形成从基础概念到形式转化再到实际应用的递进式学习支架。 该资料亮点在于知识点与题型深度融合，通过典例及变式题训练，培养抽象能力（如定义判断需化简分析）、推理意识（如由解求参数的代入验证）、模型意识（如列方程解决面积问题）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固基础、查漏补缺，提升知识应用能力。

25.1一元二次方程的概念 目录 知识点1 一元二次方程的定义 2 知识点2 一元二次方程的一般形式 2 知识点3 一元二次方程的解（根） 2 知识点4 列一元二次方程 2 题型1 一元二次方程的定义 2 题型2 化成一元二次方程的一般式 4 题型3 判断是否是一元二次方程的解 6 题型4 由一元二次方程的定义求参数 7 题型5 由一元二次方程的解求参数 9 1. 理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式。 2. 能将一元二次方程化为一般形式，并正确指出各项及系数。 3. 能判断一个数是否是一元二次方程的解。 4. 能根据一元二次方程的定义或解求参数的值。 知识点1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件（缺一不可）：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程（分母中不含未知数）。 判断时需先化简（去括号、移项、合并同类项），再根据定义判断。 注意：二次项系数不能为0，否则就不是一元二次方程了。 知识点2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为：ax²＋bx＋c＝0（a≠0）。 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数。 bx叫做一次项，b叫做一次项系数。 c叫做常数项。 注意：①a≠0是一元二次方程的必要条件；②各项系数包括前面的符号；③一般形式按x的降幂排列，右边为0。 知识点3 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 判断一个数是否是方程的解：将该数代入方程左右两边，若左右两边的值相等，则是方程的解；否则不是。 一元二次方程最多有两个实数根（具体个数由判别式决定，后续学习）。 知识点4 列一元二次方程 根据实际问题中的等量关系，设未知数，列出一元二次方程。 步骤：审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 化为一般形式。 常见模型：面积问题、增长率问题、利润问题、传播问题等。 题型1 一元二次方程的定义 【解题技巧】 ① 判断三条件：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程。三者缺一不可。 ② 先化简再判断：有些方程表面看不是一元二次方程，化简后可能是；反之，表面看是，化简后可能不是。 ③ 整式方程判断：分母中含未知数的是分式方程，不是一元二次方程；根号下含未知数的是无理方程，也不是。 ④ 最高次数判断：化简后看未知数的最高次数是否为2。注意x²的系数不能为0。 ⑤ 常见陷阱：ax²＋bx＋c＝0中，若a＝0，则不是一元二次方程；含xy项的是二元方程，不是一元。 ⑥ 易错点：未化简就判断；忽略a≠0的条件；把分式方程误认为一元二次方程。 【常见考法】判断给定方程是否为一元二次方程；选择属于一元二次方程的选项；判断说法是否正确。 【典例1】．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 【变式1】．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 【变式2】．一元二次方程的常数项是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键，解题时要注意查看是否是一元二次方程一般形式．一元二次方程的一般形式为（其中），常数项是． 【详解】解：方程中，常数项是． 故答案为：． 【变式3】．下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 【答案】①⑥ 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是（， ，为常数，且），根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①（m为常数）是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑤（m为常数），当时，不是一元二次方程， ⑥是一元二次方程， 故答案为：①⑥． 题型2 化成一元二次方程的一般式 【解题技巧】 ① 化一般式步骤：去分母（如有）→ 去括号 → 移项（所有项移到左边，右边为0）→ 合并同类项 → 按x的降幂排列。 ② 一般形式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0），左边按二次项、一次项、常数项顺序排列。 ③ 指出各项及系数：二次项ax²、一次项bx、常数项c；二次项系数a、一次项系数b、常数项c。注意系数包括前面的符号。 ④ 特殊情况：若缺一次项，则b＝0；若缺常数项，则c＝0；但二次项不能缺（a≠0）。 ⑤ 去分母注意：方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。 ⑥ 易错点：移项时符号出错；系数漏掉负号；排列顺序不对（应降幂）；忘记右边化为0。 【常见考法】将方程化为一般形式；指出二次项、一次项、常数项及对应系数；判断一般形式是否正确。 【典例2】．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 【变式1】．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 【变式2】．把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 【变式3】．已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【答案】 【分析】设出符合条件的一元二次方程，利用根与系数的关系求出一次项系数和常数项，即可得到目标方程． 【详解】解：设该一元二次方程为，方程的两个根为，， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴因此方程为． 题型3 判断是否是一元二次方程的解 【解题技巧】 ① 代入检验法：将待检验的数代入方程左边和右边，分别计算，若左边＝右边，则是方程的解；否则不是。 ② 代入步骤：把x的值代入方程 → 分别计算左边和右边的值 → 比较是否相等 → 得出结论。 ③ 注意计算准确：尤其是负数代入时，注意符号和乘方运算（如(-2)²=4，-2²=-4）。 ④ 已知方程的一个根，求另一个根或参数时，先代入求参数，再解方程求另一个根。 ⑤ 对于含字母系数的方程，代入后得到关于字母的方程，解出字母即可。 ⑥ 易错点：代入时计算错误；负数的平方符号搞错；只代入一边不比较。 【常见考法】判断给定的数是否是方程的解；已知方程的解求方程中未知系数；验证根的正确性。 【典例3】．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【变式1】．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 【变式2】．请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据方程的解构造一元二次方程． 根据一元二次方程的解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为方程的一个解是1，所以可设方程为，展开得到． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 题型4 由一元二次方程的定义求参数 【解题技巧】 ① 核心条件：方程是一元二次方程 ⇔ 未知数最高次数为2 且 二次项系数≠0。 ② 若方程形如 (m－1)x^|m|＋3x－2＝0 是一元二次方程，则需满足：|m|＝2（最高次数为2）且 m－1≠0（二次项系数不为0）。 ③ 解题步骤：根据"最高次数为2"列方程求参数的可能值 → 根据"二次项系数≠0"排除不合题意的值 → 确定参数。 ④ 若方程化简后x²的系数含参数，则令该系数≠0；若x的指数含参数，则令指数＝2。 ⑤ 注意：有时需要同时满足多个条件，要综合考虑，不能遗漏。 ⑥ 易错点：只考虑最高次数为2，忘记二次项系数≠0；解出参数后不检验；绝对值方程漏解。 【常见考法】已知方程是一元二次方程，求参数的值或取值范围；判断参数取何值时方程为一元二次方程。 【典例4】．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 【变式1】．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 【变式2】．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 【变式3】．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 题型5 由一元二次方程的解求参数 【解题技巧】 ① 核心方法：已知方程的解（根），将解代入方程，得到关于参数的方程，解方程求出参数。 ② 代入步骤：把x＝已知根代入原方程 → 得到只含参数的方程 → 解方程求出参数 → 检验（必要时）。 ③ 若已知两个根，分别代入得到两个方程，联立求解参数（可能有两个参数）。 ④ 若已知根是含参数的表达式，代入后可能得到关于参数的一元二次方程，需解出所有可能值。 ⑤ 注意：代入时要准确，尤其是含分数、负数的计算；求出参数后要代回原方程验证。 ⑥ 综合题型：先由定义确定参数范围，再由解确定参数具体值，两者结合取交集。 ⑦ 易错点：代入计算错误；忘记检验参数是否使二次项系数为0；多解时漏解。 【常见考法】已知方程的一个根求参数；已知两个根求参数；由根和定义联合求参数；求参数后再求另一根。 【典例5】．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【答案】C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 【变式2】．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 【变式3】．已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 1．一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 2．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 【答案】B 【分析】把与一元二次方程一般形式对比即可得a，b，c的值. 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 3．关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 4．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 5．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 7．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 8．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 9．已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】通过换元将已知等式整理为关于的一元二次方程，利用因式分解得到根的关系，再将所求代数式变形后代入化简计算． 【详解】设，则，将x代入已知等式得：， 整理为关于x的一元二次方程：， 对左边因式分解得：， ∵， ∴方程的两根为和， 由已知条件得是方程的根， ∴， ∵， ∴， 将代入得： 原式， ∴结果为． 10．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的定义，化简所求代数式，再利用根与系数的关系得到两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 11．已知是方程的解，则________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 12．已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，则， ∴等式两边同时乘以得，． 13．若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入原方程求解，再根据一元二次方程定义排除不符合条件的值即可得到结果． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得，解得． 又∵是关于的一元二次方程， ∴，即， ∴符合条件． 14．若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 15．已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有一个根为2，则k的值为______． （2）若方程有两个实数根．k为符合条件的最大整数，实数m，n满足，，且，则的值为______． 【答案】 1 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，即可求解的值； （2）先根据一元二次方程根的判别式确定的最大整数值，再对已知等式变形，得到和是同一一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系即可求解的值. 【详解】解：（1）将代入，得， ， 解得； （2）∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 整理得 解得， 因此符合条件的最大整数， 将代入已知条件，得 ，整理得 ，整理得 因为，所以和是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ 即，解得. 16．一元二次方程的一个根是，且，满足，求此一元二次方程． 【答案】 【分析】把代入得出，根据二次根式有意义的条件求出，，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∵， ， 解得：， ∴， ∴， ∴此一元二次方程为． 17．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1一元二次方程的概念 目录 知识点1 一元二次方程的定义 2 知识点2 一元二次方程的一般形式 2 知识点3 一元二次方程的解（根） 2 知识点4 列一元二次方程 2 题型1 一元二次方程的定义 2 题型2 化成一元二次方程的一般式 3 题型3 判断是否是一元二次方程的解 4 题型4 由一元二次方程的定义求参数 4 题型5 由一元二次方程的解求参数 5 1. 理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式。 2. 能将一元二次方程化为一般形式，并正确指出各项及系数。 3. 能判断一个数是否是一元二次方程的解。 4. 能根据一元二次方程的定义或解求参数的值。 知识点1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件（缺一不可）：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程（分母中不含未知数）。 判断时需先化简（去括号、移项、合并同类项），再根据定义判断。 注意：二次项系数不能为0，否则就不是一元二次方程了。 知识点2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为：ax²＋bx＋c＝0（a≠0）。 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数。 bx叫做一次项，b叫做一次项系数。 c叫做常数项。 注意：①a≠0是一元二次方程的必要条件；②各项系数包括前面的符号；③一般形式按x的降幂排列，右边为0。 知识点3 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 判断一个数是否是方程的解：将该数代入方程左右两边，若左右两边的值相等，则是方程的解；否则不是。 一元二次方程最多有两个实数根（具体个数由判别式决定，后续学习）。 知识点4 列一元二次方程 根据实际问题中的等量关系，设未知数，列出一元二次方程。 步骤：审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 化为一般形式。 常见模型：面积问题、增长率问题、利润问题、传播问题等。 题型1 一元二次方程的定义 【解题技巧】 ① 判断三条件：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程。三者缺一不可。 ② 先化简再判断：有些方程表面看不是一元二次方程，化简后可能是；反之，表面看是，化简后可能不是。 ③ 整式方程判断：分母中含未知数的是分式方程，不是一元二次方程；根号下含未知数的是无理方程，也不是。 ④ 最高次数判断：化简后看未知数的最高次数是否为2。注意x²的系数不能为0。 ⑤ 常见陷阱：ax²＋bx＋c＝0中，若a＝0，则不是一元二次方程；含xy项的是二元方程，不是一元。 ⑥ 易错点：未化简就判断；忽略a≠0的条件；把分式方程误认为一元二次方程。 【常见考法】判断给定方程是否为一元二次方程；选择属于一元二次方程的选项；判断说法是否正确。 【典例1】．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【变式1】．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．一元二次方程的常数项是_______． 【变式3】．下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 题型2 化成一元二次方程的一般式 【解题技巧】 ① 化一般式步骤：去分母（如有）→ 去括号 → 移项（所有项移到左边，右边为0）→ 合并同类项 → 按x的降幂排列。 ② 一般形式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0），左边按二次项、一次项、常数项顺序排列。 ③ 指出各项及系数：二次项ax²、一次项bx、常数项c；二次项系数a、一次项系数b、常数项c。注意系数包括前面的符号。 ④ 特殊情况：若缺一次项，则b＝0；若缺常数项，则c＝0；但二次项不能缺（a≠0）。 ⑤ 去分母注意：方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。 ⑥ 易错点：移项时符号出错；系数漏掉负号；排列顺序不对（应降幂）；忘记右边化为0。 【常见考法】将方程化为一般形式；指出二次项、一次项、常数项及对应系数；判断一般形式是否正确。 【典例2】．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【变式1】．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．把方程化为一般形式是__________． 【变式3】．已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 题型3 判断是否是一元二次方程的解 【解题技巧】 ① 代入检验法：将待检验的数代入方程左边和右边，分别计算，若左边＝右边，则是方程的解；否则不是。 ② 代入步骤：把x的值代入方程 → 分别计算左边和右边的值 → 比较是否相等 → 得出结论。 ③ 注意计算准确：尤其是负数代入时，注意符号和乘方运算（如(-2)²=4，-2²=-4）。 ④ 已知方程的一个根，求另一个根或参数时，先代入求参数，再解方程求另一个根。 ⑤ 对于含字母系数的方程，代入后得到关于字母的方程，解出字母即可。 ⑥ 易错点：代入时计算错误；负数的平方符号搞错；只代入一边不比较。 【常见考法】判断给定的数是否是方程的解；已知方程的解求方程中未知系数；验证根的正确性。 【典例3】．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【变式2】．请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【变式3】．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 题型4 由一元二次方程的定义求参数 【解题技巧】 ① 核心条件：方程是一元二次方程 ⇔ 未知数最高次数为2 且 二次项系数≠0。 ② 若方程形如 (m－1)x^|m|＋3x－2＝0 是一元二次方程，则需满足：|m|＝2（最高次数为2）且 m－1≠0（二次项系数不为0）。 ③ 解题步骤：根据"最高次数为2"列方程求参数的可能值 → 根据"二次项系数≠0"排除不合题意的值 → 确定参数。 ④ 若方程化简后x²的系数含参数，则令该系数≠0；若x的指数含参数，则令指数＝2。 ⑤ 注意：有时需要同时满足多个条件，要综合考虑，不能遗漏。 ⑥ 易错点：只考虑最高次数为2，忘记二次项系数≠0；解出参数后不检验；绝对值方程漏解。 【常见考法】已知方程是一元二次方程，求参数的值或取值范围；判断参数取何值时方程为一元二次方程。 【典例4】．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【变式1】．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【变式2】．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【变式3】．若关于的方程是一元二次方程，则________． 题型5 由一元二次方程的解求参数 【解题技巧】 ① 核心方法：已知方程的解（根），将解代入方程，得到关于参数的方程，解方程求出参数。 ② 代入步骤：把x＝已知根代入原方程 → 得到只含参数的方程 → 解方程求出参数 → 检验（必要时）。 ③ 若已知两个根，分别代入得到两个方程，联立求解参数（可能有两个参数）。 ④ 若已知根是含参数的表达式，代入后可能得到关于参数的一元二次方程，需解出所有可能值。 ⑤ 注意：代入时要准确，尤其是含分数、负数的计算；求出参数后要代回原方程验证。 ⑥ 综合题型：先由定义确定参数范围，再由解确定参数具体值，两者结合取交集。 ⑦ 易错点：代入计算错误；忘记检验参数是否使二次项系数为0；多解时漏解。 【常见考法】已知方程的一个根求参数；已知两个根求参数；由根和定义联合求参数；求参数后再求另一根。 【典例5】．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【变式1】．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【变式3】．已知是关于的方程的一个根，则________． 1．一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 2．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 3．关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 4．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 7．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 8．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 9．已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 10．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 11．已知是方程的解，则________． 12．已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 13．若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 14．若是方程的根，则代数式的值是____． 15．已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有一个根为2，则k的值为______． （2）若方程有两个实数根．k为符合条件的最大整数，实数m，n满足，，且，则的值为______． 16．一元二次方程的一个根是，且，满足，求此一元二次方程． 17．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $