第2讲 集合间的基本关系讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系，系统梳理Venn图的直观表示、子集与真子集的定义及性质、集合相等的判定、空集的特性，以及含n个元素集合的子集个数结论，承接集合基本概念，为后续运算奠基，形成从直观工具到抽象关系的学习支架。 资料以“知识梳理+题型归纳”构建体系，通过列举法、元素特征法、数形结合法培养数学思维，借助Venn图发展几何直观，例题与课后训练覆盖不同层次。课中助力分层教学，课后帮助学生巩固逻辑推理与数学表达能力，有效查漏补缺。

第2讲 集合间的基本关系 【知识梳理】 知识点一、Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 （1）表示集合的图的边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线. （2）用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，即能够直观地表示集合之间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点二、子集与真子集 1. 子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A，B，C，若，且，则 2. 真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 3. 集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作.也就是说，若，且，则.  （1） 的图表示 （2） 若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 4. 与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： （1）A的子集的个数为2n个； （2）A的非空子集的个数有2n－1个 （3）A的真子集的个数为2n－1个； （4）A的非空真子集的个数为2n－2个． 知识点三、空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集。 【题型归纳】 题型一、集合间关系的判断 【判断集合间关系的常用方法】 （1）列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． （2）集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． （3）数形结合法 利用Venn图、数轴和直角坐标平面等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 1. 下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 2. 集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 3. 已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 题型二、子集与真子集的计算 【求集合子集、真子集的步骤】 4. 设集合，求集合A的所有子集以及子集的个数. 5. 已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 6. 若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 7. 满足条件的集合的个数为 . 8. 【多选】若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 9. 已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 10. （1）若是的真子集，则实数的取值范围是______. （2）设，且是的真子集，则______，______. 11. 设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为______. 12. 已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 题型三、根据子集、真子集的个数求参数 【由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法】 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论． （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注：（1）不能忽视集合为的情形． （2）当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 13. 若有且仅有2个子集，则实数k的值是 . 14. 已知集合，满足，则.若集合只有个子集，则 . 15. 已知集合，求： （1）当时，中至多只有个子集，求的取值范围； （2）当、满足什么条件时，集合为空集. 16. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 17. 设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围. 18. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 19. 记集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 20. 已知集合． （1）若，，求实数的取值范围； （2）若，，求实数的取值范围． 题型四、空集的性质及应用 【空集的性质及应用解题策略】 首先，明确空集定义：不含任何元素的集合。若集合为空集，需结合其表达式（方程、不等式等）分析元素不存在的条件。​ 对于方程构成的集合，若为一元二次方程，空集意味着方程无实根。分一次方程（参数系数为0）和二次方程（参数系数非0）讨论：一次方程需方程不成立；二次方程需判别式小于0。​ 对于不等式构成的集合，空集表示不等式无解。同样分一次不等式（参数系数为0时，不等式不成立）和二次不等式（参数系数非0时，结合二次函数图像，开口方向与判别式判断无解条件）。​ 含分式、根式等的方程，空集可能因解为增根或无意义导致，需先化简方程，再分析解的有效性，确定参数使解不存在。​ 最后，对求得的参数范围或值验证，确保集合确实为空集，避免遗漏特殊情况（如参数为0时的一次式情形）。 21. 关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 22. 已知：集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 23. 若集合，则实数a的值的集合为 ． 题型五、集合相等 【判断两个集合是否相等解题策略】​ 首先，明确集合相等的核心：两集合元素完全相同，包括元素的种类、个数及具体内容，与元素顺序无关。 其次，判断集合元素类型是否一致。若一个是数集、一个是点集（如含坐标形式），直接判定不相等；若类型相同，再深入分析元素。​ 然后，化简集合，明确元素具体内容。对于描述法表示的集合，需转化为直观形式（如列举法），比较元素是否完全一致。例如，含方程解集的集合，需求解方程得到元素后再对比。​ 最后，注意特殊情况：空集只与空集相等；单元素集需元素完全相同；多元素集需所有元素一一对应相等，不可有遗漏或差异。 【根据两个集合相等求参数】 根据集合相等求参数，首先分析一个集合中元素与另一个集合中哪个元素相等，分几种情况进行讨论，然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时，情况会更复杂，需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验，排除不符合要求的解. 24. 下列不是同一集合的是（　　） A．且 B． C． D． 25. 下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 26. 已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 27. 已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【课后训练】 一、单选题 1．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不正确 2．已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3. 若关于x的方程的解集是空集，求k的值（    ） A． B． C． D． 4．已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 二、多选题 5．下列关系中表述正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．若集合，则实数a的取值范围 ． 7．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为 （填数字）． 8．已知集合，集合，且，则实数 . 9．已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为 . 四、解答题 10．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： （1）； （2）A恰有一个元素. 11．设，若，求所有满足条件的的集合. 12．已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 集合间的基本关系 【知识梳理】 知识点一、Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 （1）表示集合的图的边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线. （2）用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，即能够直观地表示集合之间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点二、子集与真子集 1. 子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A，B，C，若，且，则 2. 真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 3. 集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作.也就是说，若，且，则.  （1） 的图表示 （2） 若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 4. 与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： （1）A的子集的个数为2n个； （2）A的非空子集的个数有2n－1个 （3）A的真子集的个数为2n－1个； （4）A的非空真子集的个数为2n－2个． 知识点三、空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集。 【题型归纳】 题型一、集合间关系的判断 【判断集合间关系的常用方法】 （1）列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． （2）集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． （3）数形结合法 利用Venn图、数轴和直角坐标平面等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 1. 下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 【答案】D 【详解】对于①：因为，故①不正确；对于②：因为，故②不正确；对于③：因为，故③不正确；对于④：把看作集合，可得，故④正确；对于⑤：把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥：把看作集合，可得，故⑥正确；对于⑦：把看作集合，可得，故⑦不正确. 对于⑧：因为；故⑧不正确.综上可得：只有④⑤⑥正确. 2. 集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合，，所以， ，，所以⫋.故选：A 3. 已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合，当时，， 当时，，又集合，， 集合，集合，，可得， 综上可得故选：C. 题型二、子集与真子集的计算 【求集合子集、真子集的步骤】 4. 设集合，求集合A的所有子集以及子集的个数. 【答案】集合A的所有子集见解析，集合A的所有子集共有16个 【分析】对集合A的子集分类，分类依据是子集中含有的元素个数，从而即可求解. 【详解】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 5. 已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为.故选：B. 6. 若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则，所以.故选：D. 7. 满足条件的集合的个数为 . 【答案】16 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：因为，所以， 即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为： 共16个.故答案为：16 8. 【多选】若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【解析】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组．含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个；含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.故选：BD. 9. 已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 【答案】C 【分析】根据集合的性质，依次求出集合，即可求得答案. 【解析】由，又由，可得，即. 故的非空真子集的个数为.故选：C. 10. （1）若是的真子集，则实数的取值范围是______. （2）设，且是的真子集，则______，______. 【答案】 【分析】（1）原条件等价于有实数解，由此即可求得的范围； （2）由题意可得关于的二元一次方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）因为是任何非空集合的真子集，所以不是空集， 即有实数解，故，即实数的取值范围是. （2）因为是的真子集，所以，解得. 故答案为：（1）；（2）；. 11. 设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为______. 【答案】15 【分析】根据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】是自然数集，，需要舍去， 所以满足“， 若，则”的集合是集合的非空子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， 所以将集合看作有4个元素，其非空子集个数为. 故答案为：15. 12. 已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为.故选：B 题型三、根据子集、真子集的个数求参数 【由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法】 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论． （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注：（1）不能忽视集合为的情形． （2）当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 13. 若有且仅有2个子集，则实数k的值是 . 【答案】或或 【分析】根据集合子集的个数，确定集合中元素的个数，再分类讨论求的值. 【解析】因为集合有且只有2个子集，所以集合中有且只有1个元素， 即方程有且只有1解. 若，则原方程可化为：，有且只有1解，符合题意； 若，由或.故答案为：或或. 14. 已知集合，满足，则.若集合只有个子集，则 . 【答案】或/或 【分析】分析可知集合中有且只有一个元素，可得出关于的等式，即可得解. 【解析】因为集合只有个子集，则集合中有且只有一个元素， 所以，，整理可得，其中，解得或.故答案为：或. 15. 已知集合，求： （1）当时，中至多只有个子集，求的取值范围； （2）当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或；(2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【解析】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得，所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为，因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 16. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集，则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1）由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则，所以，解得 . （2）①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 17. 设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集，则，等号不能同时取到，所以； （2）因为B是A的子集，因为，则，又，所以. 18. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【详解】（1）当时，如图，此时．则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图，此时，解得，此时无解； 当时，由，解得．综上可得：的取值范围为． 19. 记集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或，故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或.综上的取值范围是. 20. 已知集合． （1）若，，求实数的取值范围； （2）若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：，所以实数的取值范围是． 题型四、空集的性质及应用 【空集的性质及应用解题策略】 首先，明确空集定义：不含任何元素的集合。若集合为空集，需结合其表达式（方程、不等式等）分析元素不存在的条件。​ 对于方程构成的集合，若为一元二次方程，空集意味着方程无实根。分一次方程（参数系数为0）和二次方程（参数系数非0）讨论：一次方程需方程不成立；二次方程需判别式小于0。​ 对于不等式构成的集合，空集表示不等式无解。同样分一次不等式（参数系数为0时，不等式不成立）和二次不等式（参数系数非0时，结合二次函数图像，开口方向与判别式判断无解条件）。​ 含分式、根式等的方程，空集可能因解为增根或无意义导致，需先化简方程，再分析解的有效性，确定参数使解不存在。​ 最后，对求得的参数范围或值验证，确保集合确实为空集，避免遗漏特殊情况（如参数为0时的一次式情形）。 21. 关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【解析】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即.故选：D. 22. 已知：集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【解析】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 23. 若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【解析】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为．故答案为：． 题型五、集合相等 【判断两个集合是否相等解题策略】​ 首先，明确集合相等的核心：两集合元素完全相同，包括元素的种类、个数及具体内容，与元素顺序无关。 其次，判断集合元素类型是否一致。若一个是数集、一个是点集（如含坐标形式），直接判定不相等；若类型相同，再深入分析元素。​ 然后，化简集合，明确元素具体内容。对于描述法表示的集合，需转化为直观形式（如列举法），比较元素是否完全一致。例如，含方程解集的集合，需求解方程得到元素后再对比。​ 最后，注意特殊情况：空集只与空集相等；单元素集需元素完全相同；多元素集需所有元素一一对应相等，不可有遗漏或差异。 【根据两个集合相等求参数】 根据集合相等求参数，首先分析一个集合中元素与另一个集合中哪个元素相等，分几种情况进行讨论，然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时，情况会更复杂，需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验，排除不符合要求的解. 24. 下列不是同一集合的是（　　） A．且 B． C． D． 【答案】C 【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断. 【详解】对于A，由，得，∴且，故A不正确；对于B，，∴，故B不正确； 对于C，集合是数集，是点集，∴，故C正确； 对于D，∴，故D不正确.故选：C. 25. 下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确，故选：D. 26. 已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出值. 【详解】由有，解得或3， 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意.故选：C. 27. 已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可. 【详解】，，，，即， ，当时，或， 当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去，综上，， ， ，故选：B. 【课后训练】 一、单选题 1．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】B 【分析】根据子集的定义判断即可. 【详解】因为，，所以.故选：B 2．已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先化简集合A，再求得其子集即可 【详解】由已知可得，其子集为，子集个数为4个故选：C. 3. 若关于x的方程的解集是空集，求k的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对方程进行整理，然后结合一次方程的解集存在条件可求． 【详解】方程整理得，当时，方程的解集为空集，显然成立； 当时，有，解方程得，显然不符合题意．综上．故选：C． 4．已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可. 【详解】解：集合的非空子集有、、，所以，解得.故选：D 二、多选题 5．下列关系中表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的相关概念逐项分析判断. 【详解】对A：写法不对，应为或，A错误； 对B：是任何集合的子集，故成立，B正确； 对C：是不含任何元素的集合，故，C错误； 对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确.故选：BD. 三、填空题 6．若集合，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用判别式小于0求解 【详解】故无解则 故答案为： 7．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为 （填数字）． 【答案】3 【分析】根据子集和真子集的定义即可写出所有满足条件的集合，从而求出满足题意的集合的个数． 【详解】由题意知集合中必须包含0，2两个元素，但集合； ∴满足条件的集合为：，，； ∴满足条件的集合的个数为3．故答案为：3． 8．已知集合，集合，且，则实数 . 【答案】 【分析】由集合相等可构造方程求得的可能的取值，代回集合验证可得结果. 【详解】，，解得：或； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意；综上所述：.故答案为：. 9．已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为 . 【答案】 【分析】根据题意可得集合中元素的个数为1或0个，再分情况讨论即可，注意这种情况. 【详解】解：因为集合没有非空真子集，所以集合中元素的个数为1或0个， 当集合中元素的个数为1个时，若，则有，解得，符合题意， 若，则有，解得， 当集合中元素的个数为0个时，则，解得，综上或， 即实数a构成的集合为.故答案为：. 四、解答题 10．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： （1）； （2）A恰有一个元素. 【答案】(1)；(2) 【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围． 若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围． 【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解，则，且， 所以，实数m的取值范围是； （2）若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解， 讨论：当时，，满足题意；当时，，所以． 综上所述，m的取值范围为． 11．设，若，求所有满足条件的的集合. 【答案】 【分析】先求出，再就分类求出，根据即可求的取值集合. 【详解】因为，， 若，则，此时满足； 若，则，因为，故或，解得或， 所以的取值集合为. 12．已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 学科网（北京）股份有限公司 $