第03讲 集合的基本运算（十大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集、补集的概念（自然语言、符号语言、图形语言）、性质及运算规律，构建从基础概念到Venn图表达、容斥原理应用及新定义问题的完整学习支架。 资料以“概念-性质-题型-应用”递进式设计为特色，结合25-26年多地期末真题，通过例题与变式题训练提升数学思维的推理能力和运算能力，借助Venn图培养几何直观的数学眼光。课中助力教师系统授课，课后分层练习（19题提升练）帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第03讲 集合的基本运算 【人教A版】 模块二 并集、交集与补集 【知识点1 并集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 【知识点2 交集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【知识点3 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 并集的运算】 【例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据并集的定义求解即可. 【解答过程】因为集合，集合， 所以. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据并集的概念求解即可. 【解答过程】集合，， 则． 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·吉林延边·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用列举法写出集合，由并集的定义求得结果. 【解答过程】，所以． 故选：D． 【变式1-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出集合，再利用并集的运算法则求解． 【解答过程】，解得或， ， ，解得， ， ，故D正确． 故选：D． 【题型2 交集的运算】 【例2】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据交集的定义，即可求解. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】解得集合，再求交集即可． 【解答过程】因为，， 所以． 故选：D． 【变式2-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题可知两集合均为点集，则两集合的交集即为两直线的交点. 【解答过程】联立两个直线方程得方程组，解得， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】D 【解题思路】根据交集的运算求出，再根据真子集的概念即可求解. 【解答过程】因为，， 所以， 所以集合的真子集个数为. 故选：D. 【题型3 补集的运算】 【例3】（25-26高一上·山东临沂·期末）已知集合{是小于6的正整数}，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出集合，再进行补集运算即可. 【解答过程】易知{是小于6的正整数}=， 又，所以. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·湖北·期末）已知集合，若，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出，再根据补集定义计算求解. 【解答过程】集合，又， 则集合. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·安徽宣城·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出集合A，利用补集的概念即可求解. 【解答过程】， 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·广东东莞·期末）已知全集是小于8的正整数，集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【解题思路】先求全集中的元素，再求集合中的补集，进而求出元素个数. 【解答过程】因为是小于8的正整数，所以， 又因为集合，所以，所以的元素个数为4. 故选：B. 【题型4 根据交集、并集或补集运算结果求集合】 【例4】（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知集合，，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】要确定集合B，需结合交集和并集的定义分析. 【解答过程】交集，说明B包含2，且不包含A中的0、1； 并集，A已包含0、1、2，因此3、4必须来自B，且元素属于； 综上，集合. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·陕西渭南·期中）设集合，则满足的集合的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】根据并集的概念求得满足条件的集合即可． 【解答过程】集合，， 满足条件的集合有：，共4个． 故选：A． 【变式4-2】（25-26高一下·广东·期末）集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合集合的交集、并集的概念及运算，即可求解. 【解答过程】由集合满足, 因为，可得， 又因为，可得， 因为，所以，即集合中的元素个数为4． 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·浙江温州·期中）已知集合，，，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意分析可知，结合选项即可判断. 【解答过程】因为，则， 且集合，，所以， 结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D. 【题型5 根据交集、并集或补集运算结果求参数】 【例5】（25-26高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【解答过程】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先算出集合A中的整数，再分中的两个整数是2，3和中的两个整数是0，1两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得． 【解答过程】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3． 若集合中的两个整数是2，3，则解得； 若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是． 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）先考虑当时，求出实数的取值范围，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围，再利用补集思想可得出当时实数的取值范围. 【解答过程】（1）由可知，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． （2）考虑当时，实数的取值范围，则， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，解得， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. 【变式5-3】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）将问题转化为，即可对讨论求解， （2）对分空集和非空集合，即可根据交集的定义求解. 【解答过程】（1）若选，则, 若②，则， 若选③，则， 因此不论选哪一个条件，都需要满足， 接下来求解， 若时，则，解得， 若时，则，解得， 综上可得， （2）当时， 若时，则，解得， 若时，或，解得， 综上可得或. 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】（25-26高一上·福建莆田·期末）已知集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出集合U，根据集合交并补运算即可. 【解答过程】由集合， 所以，所以 ． 故选：D. 【变式6-1】（2026·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D. 【解答过程】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据并集的定义即可求出； （2）根据补集的定义和交集的定义即可求出； （3）根据补集的定义和并集的定义即可求出. 【解答过程】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 【变式6-3】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）直接根据集合的交集、并集运算求解即可； （2）根据集合的交集、并集、补集运算求解即可. 【解答过程】（1）因为集合 所以， ； （2）全集，， 所以或， 或， 或， 或或或. 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式可求得实数的取值范围. 【解答过程】由集合可得或； 当时，可知，即可得，符合题意； 当时，可知，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【解答过程】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 【变式7-2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【解答过程】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 【变式7-3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选①或者选②或者选③， 【解题思路】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【解答过程】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 模块三 Venn图表达集合的关系和运算 【知识点4 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【解答过程】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以 . 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解； （2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可. 【解答过程】（1）图中阴影部分表示集合为， 当时，，又或， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，若，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 【变式8-3】（25-26高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或. (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【解答过程】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， ， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 【题型9 容斥原理的应用】 【例9】（25-26高一上·贵州·阶段检测）学校举办运动会，高一（7）班共有30名同学参加游泳、田径和球类比赛，其中有13人参加游泳比赛，有12人参加田径比赛，有16人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，则同时参加这三项比赛的人数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】设高一（7）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【解答过程】设高一（7）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加这三项比赛的人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加这三项比赛的人数为1人. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解题思路】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【解答过程】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是___________. 【答案】10 【解题思路】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【解答过程】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10. 【变式9-3】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有___________人． 【答案】120 【解题思路】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案． 【解答过程】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有120人． 故答案为：120. 【题型10 集合运算中的新定义问题】 【例10】（25-26高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】计算出，，，即可求出的值. 【解答过程】由题意， ，，， ∴，， ，， 故选：B. 【变式10-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【解答过程】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C. 【变式10-2】（2026·北京·模拟预测）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）. (1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）； (2)若，且对任意的，都有，求的最大值； (3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值. 【答案】(1)或或或 (2) (3) 【解题思路】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可； （2）将集合的子集进行两两配对得到16组，写出选择的16个含有元素1的子集即可得到； （3）分中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及均为三元集合讨论即可. 【解答过程】（1）因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则， 若，，则或； 若，，则或； 综上或或或. （2）集合共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组， 使得，则不能同时被选中为子集， 故. 选择的16个含有元素1的子集:，符合题意. 综上，. （3）结论:， 令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设， 则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)， 且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ， 其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设， 则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 【变式10-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合A为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合；（不必写过程） (2)对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； (3)若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)、 (2)是，理由见解析 (3) 【解题思路】（1）结合定义计算即可得； （2）由定义可知，集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍，计算即可得； （3）解出不等式后，设出集合，结合定义可得，，再利用交集与并集定义可得、，解出可得，再证明可取即可得. 【解答过程】（1）由、、，故； 由，，故； （2）因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍， 所以中的最小元素为， 同理，次自相加后得到的集合中的最小元素是， 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是“完美自相加集合”； （3）由，解得， 则， 设，其中， 且， 则有， 即可得， 且有，即可得， 又，故， 又集合中最大元素为，最小元素为，则， 则有，即有，解得， 即； 下证可取： 当时，， 此时，， 故满足题意，故可取； 综上可得，的最大值为. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出集合，，根据交集的定义求解即可． 【解答过程】集合，，所以． 故选：A. 2．（25-26高一上·广东广州·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据补集的含义即可得到答案. 【解答过程】，因为， 则，则中元素的个数为4. 故选：C. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解不等式化简集合，由补集和交集的定义求. 【解答过程】不等式，解得，所以， ，则有或， 所以. 故选：A. 4．（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案. 【解答过程】全集， 可得，又图中阴影部分表示， 故选：C． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据求得的取值范围. 【解答过程】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 6．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【解题思路】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【解答过程】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 故选：D. 7．（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】先求得集合A，再分和两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得． 【解答过程】由题意，，集合中的整数有, 因为，所以集合中至少有3个整数， 又集合中恰好只有两个整数， 所以集合或， 若，则，解得； 若，则，解得. 综上可得，实数a的取值范围是或． 故选：A. 8．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据闭集合的定义判断①、②，举反例判断③、④. 【解答过程】对于①：， 当，时，， 但，不满足闭集合的定义，故①错误； 对于②：， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，故集合为闭集合．故②正确； 对于③：设， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，则集合为闭集合． 由②分析可知也为闭集合． ， 当，时，， 但，即不是闭集合，故③错误； 对于④：设，若，则，， 则都为闭集合，又，且， 不存在，使得，即不存在，使得，故④错误； 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】AC 【解题思路】由题可得，分或讨论，结合集合的互异性求解. 【解答过程】由，得，所以或， 若，则，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，集合不满足互异性，不合题意； 综上，的值可以为或2. 故选：AC. 10．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 【答案】BCD 【解题思路】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断 【解答过程】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得： ， 解得， 若，将代入方程得： ， 解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：， 若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C： 若，则，只有一个元素； 若则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，， 所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【解题思路】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【解答过程】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是____________． 【答案】 【解题思路】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【解答过程】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 13．（25-26高一上·广西钦州·期中）定义集合运算：.若集合，，则____________. 【答案】 【解题思路】由集合新定义结合交集的运算可得. 【解答过程】由题设可得，， 因为，，，， 故. 故答案为：. 14．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为____________. 【答案】17 【解题思路】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【解答过程】设参加傣族孔雀舞的学生集合为，参加傣族泼水节的学生集合为，参加傣族织锦技艺的学生集合为. 由题意：，，，， ，，， 又 ， 所以 . 即三项活动都参加的人数为17. 故答案为：17. 四、解答题 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合或，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据集合的交，并，补运算求解； （2）根据集合间的关系求参数. 【解答过程】（1）当时，，， 又，所以； （2）因为，所以， 若，则，所以， 若，则，或， 解得或， 综上所述：实数a的取值范围为. 16．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【解题思路】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【解答过程】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 17．（25-26高三上·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【解题思路】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理，进行求解即可； （3）由容斥原理，进行求解即可. 【解答过程】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 18．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为. 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·北京大兴·期中）若含有4个元素的数集能满足，则称数集具有性质．给定集合. (1)写出一个具有性质的集合，并说明理由； (2)若，证明：集合和不可能都具有性质； (3)若集合有4个元素，，且， ，证明：这个集合不可能同时都具有性质． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）需要根据性质的定义，在给定集合中找出满足条件的四个元素组成集合，并验证. （2）需要假设它们都具有性质，然后推出矛盾.这里要用到性质的定义以及集合的相关性质. （3）可以采用反证法，假设这个集合都具有性质，然后根据集合的并集、交集性质以及性质的定义推出矛盾. 【解答过程】（1）取，满足， 所以是具有性质的集合. （2）证明：因为， 所以和中一个为奇数，一个为偶数. 所以中至多有2个偶数. 若和都具有性质J，由中有4个奇数和4个偶数知，中必有两个偶数. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 故若和不可能都具有性质J. （3）证明：假设集合同时都具有性质J，则每个集合中至多有两个偶数. 因为中恰有2n个偶数，所以这n个集合中都只含2个偶数. 设,其中为偶数，为奇数. 所以, 且. 由题意知，，即. 因为. 所以 矛盾，故假设不成立. 所以集合不可能同时都具有性质J. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合的基本运算 【人教A版】 模块二 并集、交集与补集 【知识点1 并集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 【知识点2 交集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【知识点3 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 并集的运算】 【例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·吉林延边·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 交集的运算】 【例2】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．8 D．7 【题型3 补集的运算】 【例3】（25-26高一上·山东临沂·期末）已知集合{是小于6的正整数}，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·湖北·期末）已知集合，若，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·安徽宣城·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·广东东莞·期末）已知全集是小于8的正整数，集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【题型4 根据交集、并集或补集运算结果求集合】 【例4】（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知集合，，，则集合（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·陕西渭南·期中）设集合，则满足的集合的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-2】（25-26高一下·广东·期末）集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-3】（25-26高一上·浙江温州·期中）已知集合，，，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【题型5 根据交集、并集或补集运算结果求参数】 【例5】（25-26高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式5-3】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】（25-26高一上·福建莆田·期末）已知集合，那么（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 【变式6-3】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【变式7-2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 模块三 Venn图表达集合的关系和运算 【知识点4 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-2】（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【变式8-3】（25-26高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或. (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【题型9 容斥原理的应用】 【例9】（25-26高一上·贵州·阶段检测）学校举办运动会，高一（7）班共有30名同学参加游泳、田径和球类比赛，其中有13人参加游泳比赛，有12人参加田径比赛，有16人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，则同时参加这三项比赛的人数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式9-1】（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式9-2】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是___________. 【变式9-3】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有___________人． 【题型10 集合运算中的新定义问题】 【例10】（25-26高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-2】（2026·北京·模拟预测）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）. (1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）； (2)若，且对任意的，都有，求的最大值； (3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值. 【变式10-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合A为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合；（不必写过程） (2)对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； (3)若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东广州·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 7．（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 10．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 11．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 三、填空题 12．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是____________． 13．（25-26高一上·广西钦州·期中）定义集合运算：.若集合，，则____________. 14．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为____________. 四、解答题 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合或，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 16．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 17．（25-26高三上·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 18．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·北京大兴·期中）若含有4个元素的数集能满足，则称数集具有性质．给定集合. (1)写出一个具有性质的集合，并说明理由； (2)若，证明：集合和不可能都具有性质； (3)若集合有4个元素，，且， ，证明：这个集合不可能同时都具有性质． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $