广东省汕头市潮南区2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 试卷聚焦一元二次方程与二次函数核心知识，通过药品降价、汽车制动距离等真实情境，设计从基础计算到综合应用的分层试题，体现数学建模与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|二次函数顶点坐标、一元二次方程定义|直接考查核心概念，如第1题顶点式应用| |填空题|5|方程求解、对称轴计算|基础技能训练，如第14题结合对称轴求最值| |解答题|8|函数图像与性质、实际问题建模|综合应用突出，如21题汽车制动距离分析考查数据分析与函数建模，23题抛物线平移与几何结合体现空间观念|

2026-2027广东省汕头市潮南区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题） 1．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（3，﹣2） 2．下列为一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后变形为（　　） A． B． C． D． 4．若点A（0，y1），B（3，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2上，则y1，y2的大小关系（　　） A． B． C． D． 5．若一元二次方程（k﹣2）x2+4x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A． B． C． D．或 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①；②5a+c＞0；③若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；④点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣1．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．某工厂生产一种新型零件，第一天生产的数量约为5万个，以后每天生产的数量按相同的增长率增长，三天后累计生产数量达18万个，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．5（1 + x）＝ 18 B．5（1 + x）² ＝ 18 C．5 + 5（1 + x）² ＝ 18 D．5 + 5（1 + x）+ 5（1 + x）² ＝ 18 8．将二次函数y ＝ （x﹣2）2+3的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的二次函数解析式是（　　） A．y ＝ (x ﹣ 5)² + 5 B．y ＝ (x ﹣ 5)² + 1 C．y ＝ (x + 1)² + 5 D．y ＝ (x + 1)² + 1 9．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2 ＝ 0的两个实数根分别为x1 ＝ 1，x2 ＝ 2，那么抛物线y ＝ x2﹣3x+2的对称轴为直线（　　） A．x ＝ 1 B． C． D． 10．已知二次函数y ＝ 2（x﹣3）2﹣2，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x ＝﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣2）；④当x＞3时，y随x的增大而增大；⑤图象与y轴的交点为（0，16）；其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题） 11．方程x2﹣3x﹣4 ＝ 0的解是． 12．一元二次方程（x﹣2）（3x+1）＝5化成一般式为． 13．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣d＝0没有实数根，实数d的取值范围是． 14．抛物线y＝3x2﹣cx+4的对称轴是直线x＝2，则该函数的最小值是． 15．如图，直线y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使△CPM为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．用合适的方法解方程：x2﹣8x﹣2＝0． 17．用适当的方法解方程． （1）x2＝8x+9； （2）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）． 18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 19．为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元．求每次降价的百分率． 20．已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（4，5）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当a＝1时，若点（m﹣2，h）在抛物线上，求h的最小值． （3）若存在实数n，当n＞0，且2﹣n≤x≤2+2n时，y的取值范围是﹣1≤y≤23，求a，n的值． 21．如图，由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车从发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离．其中，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，在反应距离内汽车的运动可近似为匀速直线运动．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．那么制动非安全距离与哪些因素呢？ 小明和同伴组成兴趣小组对其进行研究，查阅资料获得以下材料： 材料一：某研究所随机抽取了20万人，进行人体的反应时间研究，获得人体的反应时间数据如表1： 表1 反应时间（s） 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 人数（万人） 1 4 5 6 1 2 1 材料二：制动距离与刹车时的车速和路面的光滑程度有关． ①在干燥沥青路面上，当车速小于150km/h时，制动距离y1（单位：m）与刹车时的车速x（单位：km/h）的关系如表2： 表2 刹车时的车速x（km/h） 0 30 60 90 120 干燥沥青路面制动距离y1（m） 0 4 16 36 64 ②湿滑沥青路面制动距离y2（单位：m）与刹车时的车速x（单位：km/h）的函数关系式为：． 根据上述材料完成以下探究任务： 任务一：请在图中的坐标系中，以车速x为横坐标，制动距离y为纵坐标，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知汽车在干燥沥青路面的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式； 任务二：某款新型汽车在上市之前需要进行制动测试． （1）若该款汽车的某次干燥沥青路面测试中，测量刹车痕迹得到它的制动距离约为25m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； （2）该种汽车在湿滑沥青路面易出现“水滑”现象，制动效率将大幅降低．若某日下雨后，测试员此时以80km/h的速度在湿滑沥青路面内行驶，测得制动非安全距离大约为150m，请判断此时是否发生“水滑”现象？并说明理由． 22．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3（a+1）x+a2+6＝0的两实数根．（1）若（m﹣2）（n﹣2）＝32，求a的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为8，若m，n恰好是△ABC另外两边的边长，求△ABC的周长． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），点P是抛物线在x轴下方的一个动点，PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，得到矩形PEOF． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点P的横坐标为m， ①m的取值范围　 　 ； ②当矩形PEOF是正方形时，求m的值； （3）将抛物线向右平移h（h＞0）个单位长度后，得到新抛物线C2，新抛物线C2与抛物线C1的对称轴交于点N，直线ON与直线BC交于点G，当OG＝4GN时，直接写出h的值． 2026-2027广东省汕头市潮南区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题） 1．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（3，﹣2） 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质．对于抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），其顶点坐标为（h，k）．解题的切入点是直接根据顶点式的形式确定顶点坐标． 【解答】对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），这里h＝2，k＝3，所以顶点坐标是（2，3）．逐一分析选项：A选项（2，3），正确；B选项（﹣2，3），错误；C选项（3，2），错误；D选项（3，﹣2），错误． 【点评】本题考查二次函数顶点式这一基础知识点，关键是要牢记顶点式与顶点坐标的关系，准确识别表达式中的h和k的值． 2．下列为一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），需要满足未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0，同时是整式方程．解题的切入点是根据这些条件逐一分析选项． 【解答】A选项bx2+cx+d＝0，当b＝0时，不是一元二次方程，错误；B选项x2﹣3x+3＝0，符合一元二次方程的定义，正确；C选项，是分式方程，不是整式方程，错误；D选项4x+4＝0，未知数最高次数是1，是一元一次方程，错误． 【点评】本题考查一元二次方程的定义这一基础知识点，关键是要准确把握一元二次方程的各项条件，注意二次项系数不能为0以及整式方程这两个要点． 3．一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后变形为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查解一元二次方程的配方法．配方法的关键是在方程两边加上一次项系数一半的平方．解题的切入点是先将常数项移到等号右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方进行配方． 【解答】对于方程x2﹣6x+5＝0，移项可得x2﹣6x＝﹣5．一次项系数为﹣6，其一半的平方为（﹣6÷2）2＝9，在方程两边同时加上9得：x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4．逐一分析选项：A选项（x﹣6）2＝1，错误；B选项（x﹣3）2＝4，正确；C选项（x+6）2＝1，错误；D选项（x+3）2＝4，错误． 【点评】本题考查配方法解一元二次方程这一知识点，关键是掌握配方法的步骤，准确计算一次项系数一半的平方并正确配方． 4．若点A（0，y1），B（3，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2上，则y1，y2的大小关系（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解题的切入点是将点A、B的横坐标分别代入抛物线表达式，求出y1、y2的值，然后比较大小． 【解答】当x＝0时，代入y＝﹣（x+1）2可得；当x＝3时，代入y＝﹣（x+1）2可得．因为﹣1＞﹣16，所以y1＞y2．逐一分析选项：A选项y1＞y2，正确；B选项y1≥y2，错误；C选项y1＜y2，错误；D选项y1≤y2，错误． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征这一基础知识点，关键是准确代入横坐标求出纵坐标的值，再进行大小比较． 5．若一元二次方程（k﹣2）x2+4x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A． B． C． D．或 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念．已知方程的一个根为0，将其代入方程可得到关于k的方程，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为0）来确定k的值．解题的切入点是先代入根求解关于k的方程，再根据定义进行取舍． 【解答】把x＝0代入方程（k﹣2）x2+4x+k2﹣4＝0，得到k2﹣4＝0，即（k+2）（k﹣2）＝0，解得k＝2或k＝﹣2．又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数k﹣2≠0，即k≠2．所以k＝﹣2．逐一分析选项：A选项k＝0，错误；B选项k＝2，不满足二次项系数不为0，错误；C选项k＝﹣2，正确；D选项k＝2或k＝﹣2，其中k＝2不符合条件，错误． 【点评】本题考查一元二次方程的解以及一元二次方程的定义这两个知识点，关键是要注意在求解k的值后，根据一元二次方程的定义对结果进行检验和取舍． 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①；②5a+c＞0；③若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；④点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣1．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用抛物线开口向上得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，即可判断①；由x＝1时，y＞0得a+b+c＞0，再结合b＝2a得3a+c＞0，由于a＞0，所以5a+c＞0，即可判断②；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最小值，所以a﹣b+c≤at2+bt+c，化简后即可判断③；根据对称性得二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（﹣3，2），所以x1＝﹣3，x2＝1，代入x1+2x2中即可判断④． 【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，即， ∴，故①正确； ②∵x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴a+b+c＞0， 而b＝2a， ∴3a+c＞0， ∵a＞0， ∴5a+c＞0，故②正确； ③∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最小值， ∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数）， 即a﹣bt≤at2+b，故③正确； ④∵点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2）， ∴抛物线直线y＝2的一个交点为（1，2）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线直线y＝2的一个交点为（﹣3，2）， 即x1＝1，x2＝﹣3， ∴x1+2x2＝﹣3+2×1＝﹣1，故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 7．某工厂生产一种新型零件，第一天生产的数量约为5万个，以后每天生产的数量按相同的增长率增长，三天后累计生产数量达18万个，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．5（1 + x）＝ 18 B．5（1 + x）² ＝ 18 C．5 + 5（1 + x）² ＝ 18 D．5 + 5（1 + x）+ 5（1 + x）² ＝ 18 【分析】本题考查根据实际问题抽象出一元二次方程．关键是要明确每天生产的数量与增长率的关系，第一天生产数量为5万个，第二天生产数量是在第一天的基础上增长，即为5（1+x）万个，第三天生产数量是在第二天的基础上增长，即为5（1+x）2万个，三天累计生产数量就是三天生产数量之和． 【解答】第一天生产数量为5万个；第二天生产数量为5（1+x）万个；第三天生产数量为5（1+x）2万个．三天累计生产数量为5+5（1+x）+5（1+x）2万个，已知三天后累计生产数量达18万个，所以方程为5+5（1+x）+5（1+x）2＝ 18．逐一分析选项：A选项5（1+x） ＝ 18，只表示了第二天的生产数量与累计数量的错误关系，错误；B选项5（1+x）2＝ 18，只表示了第三天的生产数量与累计数量的错误关系，错误；C选项5+5（1+x）2＝ 18，缺少第二天的生产数量，错误；D选项5+5（1+x）+5（1+x）2＝ 18，正确． 【点评】本题考查一元二次方程在实际生产中的应用，关键是理清每天生产数量与增长率的关系，列出正确的方程． 8．将二次函数y ＝ （x﹣2）2+3的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的二次函数解析式是（　　） A．y ＝ (x ﹣ 5)² + 5 B．y ＝ (x ﹣ 5)² + 1 C．y ＝ (x + 1)² + 5 D．y ＝ (x + 1)² + 1 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换．对于二次函数图象的平移，遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的原则．即图象上下移动时，对函数表达式的常数项进行加减；图象左右移动时，对自变量x进行加减． 【解答】原二次函数为y ＝ （x﹣2）2+3，图象向右平移3个单位长度，自变量x变为（x﹣3），得到y ＝ （x﹣2﹣3）2+3 ＝ （x﹣5）2+3；再向上平移2个单位长度，常数项加2，得到y ＝ （x﹣5）2+3+2 ＝ （x﹣5）2+5．逐一分析选项：A选项y ＝ （x﹣5）2+5，正确；B选项y ＝ （x﹣5）2+1，常数项计算错误，错误；C选项y ＝ （x+1）2+5，自变量计算错误，错误；D选项y ＝ （x+1）2+1，自变量和常数项计算均错误，错误． 【点评】本题考查二次函数图象的平移规律，关键是要牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的原则，准确进行计算． 9．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2 ＝ 0的两个实数根分别为x1 ＝ 1，x2 ＝ 2，那么抛物线y ＝ x2﹣3x+2的对称轴为直线（　　） A．x ＝ 1 B． C． D． 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点和对称轴的关系．对于抛物线y ＝ ax2+bx+c（a≠0），其对称轴公式为，同时抛物线与x轴的两个交点的横坐标x1，x2满足对称轴为直线．本题可根据抛物线与x轴交点的横坐标求对称轴． 【解答】已知抛物线y ＝ x2﹣3x+2与x轴的两个交点的横坐标分别为x1 ＝ 1，x2 ＝ 2，根据对称轴公式，可得对称轴为．逐一分析选项：A选项x ＝ 1，错误；B选项，正确；C选项，错误；D选项，错误． 【点评】本题考查抛物线对称轴与抛物线和x轴交点横坐标的关系，关键是掌握对称轴的两种求法，并能根据已知条件选择合适的方法． 10．已知二次函数y ＝ 2（x﹣3）2﹣2，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x ＝﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣2）；④当x＞3时，y随x的增大而增大；⑤图象与y轴的交点为（0，16）；其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查二次函数的性质．对于二次函数y ＝ a（x﹣h）2+k（a≠0），a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，开口向上；对称轴为直线x ＝ h；顶点坐标为（h，k）；当x＞h时，y随x的增大而增大；求图象与y轴的交点，令x ＝ 0，求出y的值． 【解答】对于二次函数y ＝ 2（x﹣3）2﹣2，因为a ＝ 2＞0，所以其图象的开口向上，①正确；对称轴为直线x ＝ 3，②错误；顶点坐标为（3，﹣2），③正确；因为对称轴为直线x ＝ 3，a＞0，所以当x＞3时，y随x的增大而增大，④正确；当x ＝ 0时，y ＝ 2（0﹣3）2﹣2 ＝ 2×9﹣2 ＝ 16，所以图象与y轴的交点为（0，16），⑤正确．所以正确的说法有①③④⑤，共4个． 【点评】本题全面考查二次函数的各项性质，关键是要熟练掌握二次函数表达式与性质之间的对应关系． 二．填空题（共5小题） 11．方程x2﹣3x﹣4 ＝ 0的解是． 【分析】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法．对于一元二次方程ax2+bx+c ＝ 0（a≠0），可通过因式分解将其化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再求解．本题可将x2﹣3x﹣4进行因式分解． 【解答】对x2﹣3x﹣4进行因式分解，可得（x﹣4）（x+1）＝ 0，则x﹣4 ＝ 0或x+1 ＝ 0，解得x1 ＝ 4，x2 ＝﹣1． 【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，关键是要熟练掌握因式分解的方法，将方程化为两个一次因式乘积为0的形式． 12．一元二次方程（x﹣2）（3x+1）＝5化成一般式为． 【分析】本题考查一元二次方程一般式的转化．需要将方程左边展开，然后通过移项化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）． 【解答】先将（x﹣2）（3x+1）展开：/n则原方程变为3x2﹣5x﹣2＝5，移项可得3x2﹣5x﹣7＝0． 【点评】本题关键在于掌握一元二次方程展开和移项化为一般式的方法，计算时要仔细． 13．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣d＝0没有实数根，实数d的取值范围是． 【分析】本题考查根的判别式的应用．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），其判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＜0时，方程没有实数根． 【解答】在方程x2+5x﹣d＝0中，a＝1，b＝5，c＝﹣d，因为方程没有实数根，所以Δ＝52﹣4×1×（﹣d）＜0，即25+4d＜0，移项可得4d＜﹣25，解得． 【点评】本题重点是理解根的判别式与方程根的关系，准确计算判别式并求解不等式． 14．抛物线y＝3x2﹣cx+4的对称轴是直线x＝2，则该函数的最小值是． 【分析】本题考查二次函数的性质．先根据对称轴公式求出c的值，再将x的值代入函数求出最小值． 【解答】对于抛物线y＝3x2﹣cx+4，a＝3，b＝﹣c，因为对称轴是直线x＝2，由对称轴公式可得，即，解得c＝12．所以抛物线为y＝3x2﹣12x+4，当x＝2时，y＝3×22﹣12×2+4＝12﹣24+4＝﹣8，即函数最小值为﹣8． 【点评】本题关键是掌握二次函数对称轴公式和求最值的方法，计算过程要准确． 15．如图，直线y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使△CPM为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为 　（3，1）或（3，﹣4+3）或（3，14）　 ． 【分析】求得B、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据等腰三角的定义，可得关于b的方程，根据解方程，可得b的值，可得M点坐标． 【解答】解：由y＝﹣x+5， 当x＝0时，y＝5，当y＝0时，x＝5， ∴C（0，5），B（5，0）， 将B、C点坐标代入函数解析式y＝x2+bx+c，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5， ∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即P（3，﹣4）， ∴对称轴为x＝3， 设M（3，b），则MP＝|b+4|，CP3，MC， 当MC＝MP时，|b+4|， 化简，得18b＝18， 解得b＝1，即M（3，1）； 当MC＝CP时，3， 化简，得b2﹣10b﹣56＝0， 解得b＝14，b＝﹣4（舍），即M（3，14）； 当MP＝CP时，|b+4|＝3， 化简，得b2+8b﹣74＝0， 解得b＝﹣4+3，b＝﹣4﹣3（舍去）， M（3，﹣4+3）， 综上所述：在该抛物线的对称轴上存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形，点M的坐标（3，1）或）或或（3，14）． 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，正确进行分类是解决问题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．用合适的方法解方程：x2﹣8x﹣2＝0． 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．配方法的关键是在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式． 【解答】/n 【点评】本题重点是熟练掌握配方法的步骤，注意配方时加上的常数项是一次项系数一半的平方． 17．用适当的方法解方程． （1）x2＝8x+9； （2）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）． 【分析】（1）把方程整理成一般形式，用因式分解法解方程即可： （2）移项后用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程整理得：x2﹣8x﹣9＝0， （x﹣9）（x+1）＝0， x﹣9＝0，x+1＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣1； （2）整理得：3（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x﹣5）＝0， x﹣1＝0，3x﹣5＝0， 解得：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，关键是选择恰当的方法解方程． 18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值． （2）根据图象即可求出y的取值范围． （3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB＝4，由S△PAB＝10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ∴顶点坐标为：（1，4） （2）由于抛物线的对称轴为：x＝1， ∴0＜x＜3时， ∴0＜y≤4 （3）设P（x，y） ∴△PAB的高为|y|， ∵A（﹣1，0）、B（3，0） ∴AB＝4 ∵S△PAB＝10， ∴4×|y|＝10 ∴y＝±5， 当y＝5时， ∴5＝﹣x2+2x+3 此时方程无解， 当y＝﹣5时， ∴﹣5＝﹣x2+2x+3， 解得：x＝4或x＝﹣2， ∴P（4，﹣5）或（﹣2，﹣5） 【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型． 19．为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元．求每次降价的百分率． 【分析】设每次降价的百分率为x，根据两次降价后每盒128元，可列方程200（1﹣x）2＝128，解方程即可求出降价的百分率． 【解答】解：设每次降价的百分率为x，则第一次降价后药品每盒为200（1﹣x）元，第二次降价后药品每盒为200（1﹣x）2元， 根据题意得：200（1﹣x）2＝128， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）． 答：每次降价的百分率为20%． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 20．已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（4，5）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当a＝1时，若点（m﹣2，h）在抛物线上，求h的最小值． （3）若存在实数n，当n＞0，且2﹣n≤x≤2+2n时，y的取值范围是﹣1≤y≤23，求a，n的值． 【分析】（1）把（4，5）代入一般式y＝ax2+bx+5得16a+4b＝0，从而b＝﹣4a，再用对称轴公式算得x＝2； （2）当a＝1时b＝﹣4，得具体抛物线；把点（m﹣2，h）代入，令t＝m﹣2后配方为h＝（t﹣2）2+1＝（m﹣4）2+1，由平方非负性得最小值1； （3）先化为顶点式y＝a（x﹣2）2+5﹣4a，顶点（2，5﹣4a）．2﹣n≤x≤2+2n包含对称轴x＝2，且右端点离x＝2更远，故最值只在顶点或右端点x＝2+2n处取到．须按a＞0（顶点最小、右端最大）与a＜0（顶点最大、右端最小）两类讨论，分别令最值等于题给的﹣1与23，解出两组（a，n）； 【解答】解：（1）把点（4，5）代入y＝ax2+bx+5， 可得5＝16a+4b+5⇒16a+4b＝0⇒b＝﹣4a， 对称轴为， ； （2）当a＝1时，b＝﹣4， 所以抛物线为y＝x2﹣4x+5， 点（m﹣2，h）在抛物线上， 则h＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+5， 令t＝m﹣2， h＝t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1＝（m﹣4）2+1≥1， 当m＝4时等号成立， 故； （3）由b＝﹣4a， 把抛物线配方为顶点式：y＝ax2﹣4ax+5＝a（x﹣2）2+5﹣4a 对称轴x＝2，顶点纵坐标为5﹣4a， 2﹣n≤x≤2+2n包含x＝2，且两个端点到对称轴的距离分别为n与2n（右端点更远）， 情形一：a＞0， 顶点是最低点， 故最小值在x＝2处： ， 当x＝2+2n时，y＝a（2n）2+5﹣4a＝4an2+5﹣4a， 将，y＝23代入上式， 所以6n2﹣1＝23⇒n2＝4⇒n＝2， 情形二：a＜0， 顶点是最高点，故最大值在x＝2处：， 当x＝2+2n时，y＝4an2+5﹣4a， 将，y＝﹣1代入上式， ． 综上所述，或． 【点评】本题主要考查了二次函数对称轴、最值及含参数区间最值问题，利用过点代入建立a，b关系、把抛物线配成顶点式y＝a（x﹣2）2+5﹣4a以确定最值位置是解题的关键．第（3）问的难点在于2﹣n≤x≤2+2n关于对称轴x＝2不对称（右端更远），须按a的正负分类，且每种情形都要正确判断顶点与右端点谁取最大、谁取最小．整体训练了配方→定顶点→按开口分类→端点比较的二次函数最值通法． 21．如图，由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车从发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离．其中，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，在反应距离内汽车的运动可近似为匀速直线运动．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．那么制动非安全距离与哪些因素呢？ 小明和同伴组成兴趣小组对其进行研究，查阅资料获得以下材料： 材料一：某研究所随机抽取了20万人，进行人体的反应时间研究，获得人体的反应时间数据如表1： 表1 反应时间（s） 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 人数（万人） 1 4 5 6 1 2 1 材料二：制动距离与刹车时的车速和路面的光滑程度有关． ①在干燥沥青路面上，当车速小于150km/h时，制动距离y1（单位：m）与刹车时的车速x（单位：km/h）的关系如表2： 表2 刹车时的车速x（km/h） 0 30 60 90 120 干燥沥青路面制动距离y1（m） 0 4 16 36 64 ②湿滑沥青路面制动距离y2（单位：m）与刹车时的车速x（单位：km/h）的函数关系式为：． 根据上述材料完成以下探究任务： 任务一：请在图中的坐标系中，以车速x为横坐标，制动距离y为纵坐标，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知汽车在干燥沥青路面的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式； 任务二：某款新型汽车在上市之前需要进行制动测试． （1）若该款汽车的某次干燥沥青路面测试中，测量刹车痕迹得到它的制动距离约为25m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； （2）该种汽车在湿滑沥青路面易出现“水滑”现象，制动效率将大幅降低．若某日下雨后，测试员此时以80km/h的速度在湿滑沥青路面内行驶，测得制动非安全距离大约为150m，请判断此时是否发生“水滑”现象？并说明理由． 【分析】任务一：利用待定系数法求得函数关系式为，再列表、描点、连线即可画出函数图象； 任务二：（1）将y1＝25代入，求解即可； （2）当x＝80km/h时，求得y2的值，再比较即可求解． 【解答】解：任务一：设函数关系式为， 将（30，4）和（60，16）代入得， 解得， ∴函数关系式为， 代入（90，36）验证：， ∴点（90，36）在函数上； ∴； 列表： 刹车时的车速x（km/h） 0 30 60 90 120 干燥沥青路面制动距离y1（m） 0 4 16 36 64 湿滑沥青路面制动距离y2（m） 0 9 33 72 描点，连接、函数图象如图： 任务二：（1）由题意得y1＝25，则， 解得x＝75（负值已舍）， ∴该款汽车开始刹车时的速度为75km/h； （2）发生了“水滑”现象．理由如下： 当x＝80km/h时，， ， ∴， ∴若某日下雨后，测试员此时以80km/h的速度在湿滑沥青路面内行驶，测得制动非安全距离大约为150m，此时发生了“水滑”现象． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3（a+1）x+a2+6＝0的两实数根．（1）若（m﹣2）（n﹣2）＝32，求a的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为8，若m，n恰好是△ABC另外两边的边长，求△ABC的周长． 【分析】本题考查根与系数的关系以及等腰三角形的性质．（1）先根据根与系数的关系得到m+n和mn的值，再代入（m﹣2）（n﹣2）＝32求解a，注意检验a的值是否满足方程有根；（2）分情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而求出周长． 【解答】（1）对于方程x2﹣3（a+1）x+a2+6＝0，由根与系数的关系可得m+n＝3（a+1），mn＝a2+6．/n解得a＝8或a＝﹣2．当a＝8时，Δ＝[﹣3×（8+1）]2﹣4×（82+6）＝（﹣27）2﹣4×70＝729﹣280＝449＞0，方程有两个实数根．当a＝﹣2时，Δ＝[﹣3×（﹣2+1）]2﹣4×（（﹣2）2+6）＝（﹣3）2﹣4×10＝9﹣40＝﹣31＜0，方程无实数根，舍去a＝﹣2，所以a＝8．（2）①当8为腰长时，则m＝8或n＝8，代入方程x2﹣3（a+1）x+a2+6＝0得82﹣3（a+1）×8+a2+6＝0，即64﹣24（a+1）+a2+6＝0，a2﹣24a+46＝0，解得．当时，，另一条边为，因为，不满足三边关系，舍去．当时，，另一条边为，因为，满足三边关系，此时周长为．②当8为底边时，m＝n，则Δ＝[﹣3（a+1）]2﹣4×（a2+6）＝0，9（a2+2a+1）﹣4a2﹣24＝0，9a2+18a+9﹣4a2﹣24＝0，5a2+18a﹣15＝0，解得．此时m+n＝3（a+1），，因为m+n＞8，m﹣n＜8，经检验，当时满足条件，周长为． 【点评】本题综合考查根与系数的关系和等腰三角形的性质，计算量较大，要注意分类讨论和检验三边关系． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），点P是抛物线在x轴下方的一个动点，PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，得到矩形PEOF． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点P的横坐标为m， ①m的取值范围　1＜m＜5　 ； ②当矩形PEOF是正方形时，求m的值； （3）将抛物线向右平移h（h＞0）个单位长度后，得到新抛物线C2，新抛物线C2与抛物线C1的对称轴交于点N，直线ON与直线BC交于点G，当OG＝4GN时，直接写出h的值． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①利用抛物线的解析式求得点B的坐标，结合函数的图象解答即可； ②利用点P的坐标表示出线段PE，PF的长度，再利用正方形的性质解答即可； （3）利用待定系数法求出直线BC的解析式，得出E（3，2），N（3，h2﹣4），分点N在点E上方和下方两种情况，证明△OCG∽△NEG，根据OG＝4GN，分别列方程求出h的值即可． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，5）， ∴， ∴， ∴抛物线C1的函数表达式为y＝x2﹣6x+5； （2）①令y＝0，则x2﹣6x+5＝0， ∴x＝1或x＝5， ∴B（5，0）， ∵点P是抛物线y＝x2﹣6x+5在x轴下方的一个动点，点P的横坐标为m，A（1，0）， ∴1＜m＜5． ∴m的取值范围为1＜m＜5； 故答案为：1＜m＜5； ②由题意得：P（m，m2﹣6m+5）， ∵点P是抛物线y＝x2﹣6x+5在x轴下方的一个动点， ∴1＜m＜5，m2﹣6m+5＜0， ∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F， ∴PE＝m，PF＝﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+6m﹣5， ∵矩形PEOF是正方形， ∴PE＝PF， ∴m＝﹣m2+6m﹣5， ∴m， ∴当矩形PEOF是正方形时，m的值为或； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线x＝3， ∵将抛物线向右平移h（h＞0）个单位长度后，得到新抛物线C2， ∴新抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3﹣h）2﹣4， ∵新抛物线C2与抛物线C1的对称轴交于点N， ∴N（3，h2﹣4）， 过点作NM⊥AB于点M，设抛物线C1的对称轴交x轴于点K，如图， 则OK＝3，NK＝h2﹣4， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5， ∵直线ON与直线BC交于点G， ∴设G（m，﹣m+5），则OM＝m，GM＝﹣m+5， ∵OG＝4GN， ∴， ∵GM⊥AB，NK⊥AB， ∴GM∥NK， ∴△OMG∽△OKN， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵h＞0， ∴； 如图，当点N在点E下方时， ∵EN∥OC， ∴△OCG∽△NEG， ∴， ∴4[2﹣（h2﹣4）]＝5， 解得：（负值舍去）； 综上所述：h的值为． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数的图象上点的坐标的特征，正方形的性质，平移的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/2 9:07:12；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $