2026-2027学年广东省汕头市金平区九年级（上）第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数核心知识，通过实际问题情境与综合探究题，考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|一元二次方程定义、二次函数图像平移|第8题以小商品销售为情境，考查方程建模| |填空|6/18|根与系数关系、等腰三角形周长计算|第13题结合方程与几何性质，体现推理意识| |解答|9/52|二次函数综合应用、实际利润问题|第24题梨膏糖销售利润探究，考查数据观念；第25题抛物线平移与几何变换，发展空间观念|

2026-2027广东省汕头市金平区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．x（x+2）＝1 D．x2（x﹣2﹣1）＝0 2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 3．（3分）已知一个二次函数y＝ax2﹣4ax+4（a＜0），当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6，则当﹣2≤x≤3时，y的最小值是（　　） A． B．﹣2 C． D． 4．（3分）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 5．（3分）根据表格中的信息，估计一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个解的范围是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 x2﹣3x﹣5 5 ﹣1 ﹣5 ﹣7 ﹣7 A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2 6．（3分）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 7．（3分）一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（　　） A．（30﹣x）（200+10x）＝6250 B．（30+x）（200+10x）＝6250 C．（30+x）（200﹣10x）＝6250 D．（30﹣x）（200﹣10x）＝6250 9．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣4（x﹣3）2+a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．abc＜0 B．4a+2b+c＜0 C．2a﹣b＝0 D．当x＞2时，y＞0 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）a＝　 　 时，是关于x的二次函数． 12．（3分）若m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则代数式2n2﹣3mn+2m＝　 　 ． 13．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 　 　 ． 14．（3分）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　 　 元． 15．（3分）已知抛物线的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＞x2＞x3＞1，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　 ． 16．（3分）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线，且△OAB的面积为18，C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP、CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．若以A1、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，则点P的横坐标为 　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分） 17．（6分）解方程： （1）x（x﹣4）＝（x﹣4）； （2）x2+6x﹣7＝0． 18．（6分）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 19．（6分）已知二次函数y＝2x2+4x﹣1， （1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）请用描点法在如图所示的直角坐标系中画出此二次函数图象． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 20．（8分）已知，关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）求证：a取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2，满足，求a的值． 21．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+c，它的图象过点A（2，﹣3），并且与y轴交于点B． （1）求二次函数的解析式和点B坐标； （2）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出函数值y的取值范围； （3）若直线y＝kx+b也经过点A，B两点，直接写出关于x的不等式kx+b＜x2﹣4x+c的解集． 22．（8分）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程x4﹣x2﹣12＝0时，可以将x2看成一个整体，设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2﹣y﹣12＝0，解得y1＝4，y2＝﹣3．当y＝4时，x2＝4，（x+2）（x﹣2）＝0，所以x1＝﹣2，x2＝2；当y＝﹣3时，此方程没有实数根，所以原方程的根为x1＝﹣2，x2＝2．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： （1）y4﹣16y2＝0； （2）（y2﹣3y﹣3）（y2﹣3y+1）＝5． 五．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 23．（10分）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： （1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利　 　 元． （2）为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ （3）在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 24．（10分）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是30≤x≤120． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本y1（元）与日产量x（千克）之间的关系如表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价y2（元）与日产量x（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段AB所示． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的成本y1（元） 55 50 45 40 问题解决： （1）根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本y1（元）与日产量x（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为　 　 （无需写定义域）； （2）①该“梨膏糖”每千克的售价y2（元）与日产量x（千克）之间的函数关系式为　 　 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价y2最高是　 　 元，理由是　 　 ； （3）已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？为什么？ 25．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣3，0），B，与y轴交于点C（0，3） （1）求抛物线C1的表达式，并直接写出点B的坐标． （2）如果点P（x，y）在抛物线C1上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P为y轴的“亲密点”，求“亲密点”P的纵坐标yP的取值范围． （3）将抛物线C1，沿直线y＝﹣x向右下方平移，得到抛物线C2，当抛物线C2，经过点B时，直接写出抛物线C2的顶点坐标． 2026-2027广东省汕头市金平区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．x（x+2）＝1 D．x2（x﹣2﹣1）＝0 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项即可． 【解答】解：A：方程不是整式方程，不符合定义，不符合题意； B：∵当a＝0时，方程变为一次方程，∴不一定是一元二次方程，不符合题意； C：化简得x2+2x﹣1＝0，符合题意； D：展开得x3﹣3x2＝0，最高次数为3，∴不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故选：A． 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键． 3．（3分）已知一个二次函数y＝ax2﹣4ax+4（a＜0），当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6，则当﹣2≤x≤3时，y的最小值是（　　） A． B．﹣2 C． D． 【分析】首先求得对称轴，进而根据当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6求得a的值，然后利用二次函数的性质可求解． 【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+4， ∵对称轴为直线x2， 当x＝2时，y有最大值为y＝4a﹣8a+4＝4﹣4a， ∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6， ∴4﹣4a＝6， ∴a， ∴yx2+2x+4， ∴x＝﹣2时，y2×（﹣2）+4＝﹣2， ∴当﹣2≤x≤3时，y的最小值是﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，掌握二次函数的性质的关键． 4．（3分）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】转化成解a的一元一次方程求解． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0可得4﹣6+a＝0， 解得a＝2， 故选：A． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义． 5．（3分）根据表格中的信息，估计一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个解的范围是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 x2﹣3x﹣5 5 ﹣1 ﹣5 ﹣7 ﹣7 A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2 【分析】利用表中数据得x＝﹣2时，x2﹣3x﹣5＝5＞0，而x＝﹣1时，x2﹣3x﹣5＝﹣1＜0，从而得到x2﹣3x﹣5＝0一个解的范围是﹣2＜x＜﹣1． 【解答】解：∵x＝﹣2时，x2﹣3x﹣5＝5＞0； x＝﹣1时，x2﹣3x﹣5＝﹣1＜0， ∴当x在﹣2与﹣1之间取某一值时，x2﹣3x﹣5＝0， ∴一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个解的范围是﹣2＜x＜﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：通过给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 6．（3分）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 7．（3分）一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先观察每一个选项中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象得到字母系数a，b的正负，接下来判断一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象中的参数a，b的正负；结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的a，b取值一致时，即为正确答案． 【解答】解：根据一次函数图象与系数的关系，逐项分析二次函数图象与系数关系再判断如下： A：一次函数a＞0，b＞0，二次函数，可得b＜0，不符合题意； B：一次函数a＜0，b＜0；二次函数a＜0，，可得b＜0，符合题意； C：一次函数a＜0，二次函数a＞0，不符合题意； D：一次函数a＜0，二次函数a＞0，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数关系、二次函数图象与系数关系，熟练掌握以上知识点是关键． 8．（3分）经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（　　） A．（30﹣x）（200+10x）＝6250 B．（30+x）（200+10x）＝6250 C．（30+x）（200﹣10x）＝6250 D．（30﹣x）（200﹣10x）＝6250 【分析】依据题意，由每件小商品降价x元，则每天销量为：（200+10x）件，从而平均每天销售利润＝（30﹣x）（200+10x）＝6250，即方程为（30﹣x）（200+10x）＝6250，进而得解． 【解答】解：由题意，∵每件小商品降价x元， ∴每天销量为：（200+10x）件， ∴平均每天销售利润＝（30﹣x）（200+10x）＝6250，即方程为（30﹣x）（200+10x）＝6250． 故选：A． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 9．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣4（x﹣3）2+a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【分析】由题意可知，二次函数y＝﹣4（x﹣3）2+a的图象的对称轴为直线x＝3，开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案． 【解答】解：∵y＝﹣4（x﹣3）2+a的图象的对称轴为直线x＝3，开口向下，离对称轴越远的点的纵坐标越小， 可知：点A离对称轴最远，点B离对称轴最近， ∵﹣2＜1＜6， ∴y2＞y3＞y1． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握当抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小是解题的关键． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．abc＜0 B．4a+2b+c＜0 C．2a﹣b＝0 D．当x＞2时，y＞0 【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示， 根据二次函数图象可知，开口向上， 则a＞0， 由于该函数图象与y轴负半轴有交点， 则c＜0， 由图可知，对称轴为直线x1＞0， 则b＝﹣2a＜0， 故abc＞0，故A错误； ∵b＝﹣2a， ∴2a﹣b＝4a＞0，故C错误； 由图象可知，当x＝2时，对应的函数值在x轴下方， 则4a+2b+c＜0， 故B正确， 根据图片可知，当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0， 所以D错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）a＝　﹣1　 时，是关于x的二次函数． 【分析】根据二次函数的定义，可得a2+1＝2，二是二次项系数a﹣1≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：a2+1＝2且a﹣1≠0， ∴a＝±1且a≠1， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义明确“自变量最高次数为2且二次项系数不为0”这两个条件是关键． 12．（3分）若m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则代数式2n2﹣3mn+2m＝　7　 ． 【分析】先根据韦达定理及方程的解的概念得出mn＝﹣1，m+n＝1，n2＝1+n，再代入原式＝2（1+n）﹣3mn﹣2m＝2+2（m+n）﹣3mn计算即可． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴mn＝﹣1，m+n＝1，n2﹣n＝1， ∴n2＝1+n， 则原式＝2（1+n）﹣3mn+2m ＝2+2n﹣3mn+2m ＝2+2（m+n）﹣3mn ＝2+2×1﹣3×（﹣1） ＝2+2+3 ＝7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的解，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 13．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 　15　 ． 【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可． 【解答】解：x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， ∴x﹣3＝0，x﹣6＝0， ∴x1＝3，x2＝6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理， ∴此时不能组成三角形， 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想． 14．（3分）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　54　 元． 【分析】设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件，根据进价为每千克40元，平均每天获利2240元，列出一元二次方程，解方程，取最小值即可． 【解答】解：设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件， 由题意得：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240， 整理得：x2﹣110x+3024＝0， 解得：x1＝54，x2＝56， ∵要使销量尽可能大， ∴x＝54， 故答案为：54． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（3分）已知抛物线的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＞x2＞x3＞1，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 ． 【分析】根据二次函数的增减性来判断，本题二次函数开口向下，对称轴为直线x＝1，当x＞1时，y随x增大而减小，进而可以判断． 【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x增大而减小， ∵x1＞x2＞x3＞1， ∴y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 【点评】本题考查二次函数的函数值大小比较，解题关键是能根据解析式确定函数的增减性，根据增减性来比较大小． 16．（3分）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线，且△OAB的面积为18，C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP、CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．若以A1、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，则点P的横坐标为 　或　 ． 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式为，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥EA延长线于点F，设点，利用S△AOB＝S梯形OEFB﹣S△AOE﹣S△AFB，求得m的值，得到B（6，6），进而得到，利用待定系数法求出直线OB的解析式为y＝x，从而设P（n，n），然后分两种情况讨论：①当BP是平行四边形对角线时；②当BC是平行四边形对角线时，利用平行四边形的性质，折叠的性质，以及坐标两点的距离公式，分别求出n的值，即可得到答案． 【解答】解：抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥EA延长线于点F， 设点， ∵A（3，﹣3）， ∴OE＝AE＝3，EF＝m，AF＝m﹣3，， ∵△OAB的面积为18， ∴S△AOB＝S梯形OEFB﹣S△AOE﹣S△AFB ＝m2﹣3m＝18， 解得：m1＝6，m2＝﹣3， ∵点B在第一象限内， ∴m＝6，则， ∴B（6，6）， ∵C为线段AB的中点， ∴， 设直线OB的解析式为y＝kx， 则6＝6k， 解得：k＝1， ∴直线OB的解析式为y＝x， ∵P为直线OB上的一个动点， ∴设P（n，n）， ①如图，当BP是平行四边形对角线时， ∵四边形A1PCB是平行四边形， ∴BC∥A1P，BC＝A1P， ∵AC＝BC， ∴AC＝A1P， 由折叠的性质可知，AP＝A1P， ∴AP＝AC， ∴， 整理得：， ∴， ∴点P的横坐标为； ②如图，当BC是平行四边形对角线时， ∵四边形A1CPB是平行四边形， ∴BP∥A1C，BP＝A1C， 由折叠的性质可知，AC＝A1C， ∴BP＝AC， ∴， 整理得：， ∴， ∴点P的横坐标为， 综上可知，点P的横坐标为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定，二次函数的性质，翻折变换，坐标与图形的变化，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分） 17．（6分）解方程： （1）x（x﹣4）＝（x﹣4）； （2）x2+6x﹣7＝0． 【分析】（1）先将方程移到方程左边，再提公因式进行因式分解解方程； （2）利用因式分解法直接求解即可． 【解答】解：（1）x﹣4＝x（x﹣4）， 即（x﹣4）（1﹣x）＝0， 解得x1＝4，x2＝1； （2）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 18．（6分）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　（47﹣3x）　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【分析】（1）根据题意列出AD＝45﹣x﹣2（x﹣1），计算整式的加减即可得； （2）根据题意建立方程x（47﹣3x）＝180，解方程求出x的值，再根据AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米即可得； （3）根据题意建立方程x（47﹣3x）＝240，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【解答】解：（1）由题意得：AD＝45﹣x﹣2（x﹣1）＝47﹣3x（米）， 故答案为：（47﹣3x）． （2）由题意得：x（47﹣3x）＝180， ∴x＝9或x， 又∵， ∴． ∴x＝9或x． （3）假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【点评】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 19．（6分）已知二次函数y＝2x2+4x﹣1， （1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）请用描点法在如图所示的直角坐标系中画出此二次函数图象． 【分析】（1）首先提取二次项系数，然后在括号里面利用配方法凑完全平方式即可求解； （2）在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可． 【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣1 ＝2（x+1）2﹣3； （2）列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 5 ﹣1 ﹣3 ﹣1 5 … 图象如图所示： 【点评】本题考查二次函数的图象，将二次函数的一般式化为顶点式，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 20．（8分）已知，关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）求证：a取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2，满足，求a的值． 【分析】（1）证明b2﹣4ac＞0即可； （2）通过根与系数关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4（a﹣2） ＝a2﹣4a+8 ＝（a﹣2）2+4， ∵无论a为何实数时（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2+4＞0， ∴无论a为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝﹣a，x1x2＝a﹣2， ∵xx2+x1xx1x2（x1+x2）＝﹣3， ∴（a﹣2）×（﹣a）＝﹣3， 化简得a2﹣2a﹣3＝0 解得a＝3或a＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 21．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+c，它的图象过点A（2，﹣3），并且与y轴交于点B． （1）求二次函数的解析式和点B坐标； （2）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出函数值y的取值范围； （3）若直线y＝kx+b也经过点A，B两点，直接写出关于x的不等式kx+b＜x2﹣4x+c的解集． 【分析】（1）把点A（2，﹣3）代入解析式即可求得c的值，即可求得二次函数的解析式，然后令x＝0，求得y的值，即可求得点B的坐标； （2）依据题意，结合图象，当x＝2时，y取最小值为﹣3，x＝4时，y＝1，从而当1＜x＜4时，进而可以得解； （3）依据题意，由不等式kx+b＜x2﹣4x+c的解集就是函数y＝kx+b的图象在二次函数 y＝x2﹣4x+2的图象的下方部分图象对应的自变量的取值范围，进而判断得解． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象过点A（2，﹣3）， ∴﹣3＝4﹣8+c， ∴c＝1， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1， 令x＝0，则y＝1， ∴B（0，1）； （2）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， ∴x＝2时，y有最小值﹣3， ∵x＝4时，y＝（4﹣2）2﹣3＝1， ∴当1＜x＜4时，函数值y的取值范围是﹣3≤y＜1； （3）由图象可知，关于x的不等式kx+b＜x2﹣4x+c的解集是x＜0或x＞2． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式（组），数形结合是解题的关键． 22．（8分）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程x4﹣x2﹣12＝0时，可以将x2看成一个整体，设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2﹣y﹣12＝0，解得y1＝4，y2＝﹣3．当y＝4时，x2＝4，（x+2）（x﹣2）＝0，所以x1＝﹣2，x2＝2；当y＝﹣3时，此方程没有实数根，所以原方程的根为x1＝﹣2，x2＝2．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： （1）y4﹣16y2＝0； （2）（y2﹣3y﹣3）（y2﹣3y+1）＝5． 【分析】（1）依据题意，由y4﹣16y2＝0，则y2（y2﹣16）＝0，从而计算可以得解； （2）依据题意，由（y2﹣3y﹣3）（y2﹣3y+1）＝5得（y2﹣3y）2﹣2（y2﹣3y）﹣8＝0，故（y2﹣3y﹣4）（y2﹣3y+2）＝0，从而（y+1）（y﹣4）（y﹣1）（y﹣2）＝0，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）∵y4﹣16y2＝0， ∴y2（y2﹣16）＝0． ∴y1＝y2＝0，y3＝﹣4，y4＝4． （2）∵（y2﹣3y﹣3）（y2﹣3y+1）＝5， ∴（y2﹣3y）2﹣2（y2﹣3y）﹣8＝0． ∴（y2﹣3y﹣4）（y2﹣3y+2）＝0． ∴（y+1）（y﹣4）（y﹣1）（y﹣2）＝0． ∴y1＝﹣1，y2＝1，y3＝2，y4＝4． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程、解一元二次方程﹣因式分解法，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 五．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 23．（10分）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： （1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利　14000　 元． （2）为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ （3）在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 【分析】（1）利用这种材料每天可获利金额＝每盒的销售利润×平均每天的销售量，即可求出结论； （2）设每盒应降价x元，则每盒的销售利润为（120﹣x）元，平均每天可售出（100+2x）盒，利用总利润＝每盒的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要更多的让利于消费者，即可确定结论； （3）假设在本次销售活动中该商场每天利润能达到15000元，设每盒应降价y元，则每盒的销售利润为（120﹣y）元，平均每天可售出（100+2y）盒，利用总利润＝每盒的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣1100＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即在本次销售活动中该商场每天利润不能达到15000元． 【解答】解：（1）根据题意得：（120﹣20）×（100+2×20） ＝（120﹣20）×（100+40） ＝100×140 ＝14000（元）， ∴当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利14000元． 故答案为：14000； （2）设每盒应降价x元，则每盒的销售利润为（120﹣x）元，平均每天可售出（100+2x）盒， 根据题意得：（120﹣x）（100+2x）＝14400， 化简得：x2﹣70x+1200＝0， 解得：x1＝30，x2＝40， ∵要更多的让利消费者， ∴每盒应降价40元． 答：每盒应降价40元； （3）在本次销售活动中该商场每天利润不能达到15000元，理由如下： 假设在本次销售活动中该商场每天利润能达到15000元，设每盒应降价y元，则每盒的销售利润为（120﹣y）元，平均每天可售出（100+2y）盒， 根据题意得：（120﹣y）（100+2y）＝15000， 化简得：y2﹣70y+1500＝0， ∵Δ＝（﹣70）2﹣4×1×1500＝﹣1100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即在本次销售活动中该商场每天利润不能达到15000元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 24．（10分）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是30≤x≤120． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本y1（元）与日产量x（千克）之间的关系如表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价y2（元）与日产量x（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段AB所示． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的成本y1（元） 55 50 45 40 问题解决： （1）根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本y1（元）与日产量x（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为　　 （无需写定义域）； （2）①该“梨膏糖”每千克的售价y2（元）与日产量x（千克）之间的函数关系式为　　 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价y2最高是　80　 元，理由是y2随x的增大而减小，因此当x＝30时，y2取得最大值80　 ； （3）已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？为什么？ 【分析】（1）容易判断y1与x成一次函数关系，使用待定系数法求出关系式即可； （2）①使用待定系数法求出函数关系式；②利用一次函数的增减性结合x的取值范围求出y2的最大值； （3）根据题意列出方程，求解出x的值，对比两种方案的总成本即可得出结论． 【解答】解：（1）由表格可知，日产量x每增加30千克，每千克的成本y1会下降5元， ∴y1与x成一次函数关系， 设y1＝k1x+b1， 将x＝30，y1＝55；x＝60，y1＝50，代入y1＝k1x+b1，得， ， 解得， ∴； 故答案为：； （2）①设y2＝k2x+b2， 将x＝0，y2＝90；x＝120，y2＝50，代入y2＝k2x+b2，得， ， 解得， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴y2随x的增大而减小， 又∵30≤x≤120， ∴当x＝30时，y2取得最大值（元）． 故答案为：80；y2随x的增大而减小，因此当x＝30时，y2取得最大值80； （3）当日该产品的产量应该定为60千克比较合理，理由如下： 根据题意可列方程：（y2﹣y1）x＝1200， ∴， 整理，得x2﹣180x+7200＝0， 解得x1＝60，x2＝120， 当x＝60时，总成本为60×50＝3000（元）；当x＝120时，总成本为120×40＝4800（元）， ∴当日该产品的产量应该定为60千克，总成本更低，更合理． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 25．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣3，0），B，与y轴交于点C（0，3） （1）求抛物线C1的表达式，并直接写出点B的坐标． （2）如果点P（x，y）在抛物线C1上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P为y轴的“亲密点”，求“亲密点”P的纵坐标yP的取值范围． （3）将抛物线C1，沿直线y＝﹣x向右下方平移，得到抛物线C2，当抛物线C2，经过点B时，直接写出抛物线C2的顶点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线C1的表达式，令y＝0，求出x的值，即可得出点B的坐标； （2）当点P（x，y）到y轴的距离等于2时，x＝2或x＝﹣2，分别求出当x＝2和当x＝﹣2时，y的值，再求出二次函数的最大值，结合题意即可得出结果； （3）将抛物线C1的表达式化为顶点式，设抛物线C1向右平移m个单位长度，向下平移m个单位长度，m＞0，则抛物线C2的表达式为y＝﹣（x+1﹣m）2+4﹣m，再利用待定系数法求出m＝3，即可得出结果． 【解答】解：（1）点B的坐标为（1，0）；理由如下： ∵抛物线与x轴交于点A（﹣3，0），B，与y轴交于点C（0，3），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线C1的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， 当y＝0时，得：﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， ∴B（1，0）； （2）当点P（x，y）到y轴的距离等于2时，x＝2或x＝﹣2， 当x＝2时，得：y＝﹣22﹣2×2+3＝﹣5， 当x＝﹣2时，得：y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3， ∵函数的对称轴为直线，且开口向下， ∴当x＝﹣1时，二次函数取得最大值为﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝4， ∵点P（x，y）在抛物线上C1，且到y轴的距离小于或等于2， ∴﹣5≤yP≤4； （3）抛物线C2的顶点坐标为（2，1）．理由如下： ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，将抛物线C1，沿直线y＝﹣x向右下方平移，得到抛物线C2， ∴设抛物线C1向右平移m个单位长度，向下平移m个单位长度，m＞0， ∴抛物线C2的表达式为y＝﹣（x+1﹣m）2+4﹣m， ∵抛物线C2，经过点B（1，0）， ∴﹣（1+1﹣m）2+4﹣m＝0， 解得：m＝3或m＝0（不合题意，舍去）， ∴抛物线C2的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+1， ∴抛物线C2的顶点坐标为（2，1）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/2 10:28:30；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $