第25章一元二次方程单元检测卷 2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，注重运算能力与模型意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|方程定义、解法（直接开平方法等）、根的判别式|基础巩固，梯度合理| |填空题|4/8|根的判别式、韦达定理、几何应用（道路宽度）|能力提升，结合几何| |解答题|8/62|解方程、增长率、几何面积、新能源汽车销售方案|创新应用，时代情境（如绿色出行）|

第25章一元二次方程单元检测卷 1、 选择题（本题共15小题，每小题2分，共30分） 1.以下方程中，一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 4.用公式法解方程，其中的值是  (    ) A. B. C. D. 5.用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 6.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7.若，是方程的两个根，则(    ) A. B. C. D. 8.若是一元二次方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 10.解方程时，解法选择较为恰当的是     ． A. 全部用公式法 B. 用直接开平方法，其余都用公式法 C. 全部用配方法 D. 分别用直接开平方法，公式法，因式分解法 11.若是方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 12.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是(    ) A. B. C. D. 13.已知实数，满足，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 14.已知，是方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 15.若是关于的一元二次方程的一个根，则下列对的值估计正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ． 17.若实数，是一元二次方程的两根，则           ． 18.如图，在长、宽的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地的面积为，则修建的道路的宽应为           19.已知关于的一元二次方程根都是整数；若为整数，则的值为           ． 三解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.用适当的方法解下面的方程： ； ． 21.已知关于的方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． 求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； 去年，该商店月份的营业额为万元，，月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等求该商店去年，月份营业额的月增长率．   23.某校要组织一次排球邀请赛，规定参赛的每两支球队之间都要比赛一场赛程安排天，每天安排场比赛，求共有多少支球队参赛． 24.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙可利用墙长为，其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口出口的门也由栅栏构成，当栅栏小门合上时，栅栏小门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接，不锈钢栅栏状如“山”字形． 若矩形车棚的面积为，试求出自行车车棚的边和的长． 请问能围成面积为的矩形车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25.已知关于的一元二次方程． 求证：无论为何值，方程总有实数根； 若，是方程的两个实数根，且，求的值． 26.综合与实践： 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆车 素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量 素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆售价每降低万元，平均每周多售出辆，该公司计划下调售价使平均每周的销售利润为万元 问题解决 任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率 任务 根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价 27定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． 下面方程是“完美方程”的是          填序号；；． 已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 第25章一元二次方程单元检测卷 2、 选择题（本题共15小题，每小题2分，共30分） 1.以下方程中，一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A  3.方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】C  4.用公式法解方程，其中的值是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  5.用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  6.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B  7.若，是方程的两个根，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A 8.若是一元二次方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  9.有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  10.解方程时，解法选择较为恰当的是     ． A. 全部用公式法 B. 用直接开平方法，其余都用公式法 C. 全部用配方法 D. 分别用直接开平方法，公式法，因式分解法 【答案】D  11.若是方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  12.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  13.已知实数，满足，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B  14.已知，是方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  15.若是关于的一元二次方程的一个根，则下列对的值估计正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ． 【答案】且  17.若实数，是一元二次方程的两根，则           ． 【答案】  18.如图，在长、宽的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地的面积为，则修建的道路的宽应为           【答案】  19..已知关于的一元二次方程根都是整数；若为整数，则的值为           ． 【答案】  三解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.用适当的方法解下面的方程： ； ． 【答案】(1)x1=4，x2=0  (2)，  21.已知关于的方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】解：将代入方程，得，解得． 原方程为因式分解，得，解得，．方程的另一个根为． 22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． 求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； 去年，该商店月份的营业额为万元，，月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等求该商店去年，月份营业额的月增长率． 【答案】(1)解：（万元）. 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元.   (2)解：设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为.根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%.   23.某校要组织一次排球邀请赛，规定参赛的每两支球队之间都要比赛一场赛程安排天，每天安排场比赛，求共有多少支球队参赛． 【答案】支  24.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙可利用墙长为，其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口出口的门也由栅栏构成，当栅栏小门合上时，栅栏小门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接，不锈钢栅栏状如“山”字形． 若矩形车棚的面积为，试求出自行车车棚的边和的长． 请问能围成面积为的矩形车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)解：设AB＝x m，则BC＝(72-3x)m． 根据题意，得x(72-3x)＝285， 整理，得x2-24x+95＝0． 解得x1＝5，x2＝19． 当x＝5时，72-3x＝72-3×5＝57＜60，符合题意； 当x＝19时，72-3x＝72-3×19＝15＜60，符合题意． ​​​​​​​答：自行车车棚的边BC的长为57 m，AB的长为5 m或边BC的长为15 m，AB的长为19 m．  (2)不能围成面积为450 m2的自行车车棚．理由如下： 假设能围成面积为450 m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝(72-3y)m． 根据题意，得y(72-3y)＝450， 整理，得y2-24y+150＝0． ∵Δ＝(-24)2-4×1×150＝-24＜0， ∴原方程没有实数根． ∴假设不成立． ​∴不能围成面积为450 m2的自行车车棚．      25.已知关于的一元二次方程． 求证：无论为何值，方程总有实数根； 若，是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)∵Δ＝[－（2m－1）]2－4×1×（－3m2＋m）＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝（4m－1）2≥0，∴无论m为何值，该方程总有实数根  (2)由题意，知x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m．∵，∴．整理，得5 m2－7m＋2＝0．∴m＝1或  26.综合与实践： 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆车 素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量 素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆售价每降低万元，平均每周多售出辆，该公司计划下调售价使平均每周的销售利润为万元 问题解决 任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率 任务 根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价 【答案】解：任务设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 根据题意，得，解得，不符合题意，舍去． 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 任务设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆． 根据题意，得，整理，得，解得，． 又要尽量让利于顾客，． 答：下调后每辆汽车的售价为万元．  27定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． 下面方程是“完美方程”的是          填序号；；． 已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)③  (2)∵3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，∴m＝3+n，∴n＝m-3，∴原方程为3x2+mx+m-3＝0．∵m是此“完美方程”的一个根，∴3m2+m2+m-3＝0，即4m2+m-3＝0，解得m＝-1或．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $