第25章 一元二次方程 章末素养试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册一元二次方程章末素养卷，覆盖定义、解法、根与系数关系等核心知识，通过基础辨析、实际应用及新定义题型，考查数学抽象、运算推理及模型意识，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|方程定义、根的性质、解法辨析|结合根的平移（第3题）、新运算（第5题“☆”运算）考查抽象能力| |填空题|4题|根与系数关系、判别式、增长率、面积问题|增长率（第15题）、图形面积（第16题）体现模型意识与几何直观| |解答题|8题|解法应用、实际应用（销售/面积）、新定义（联合方程/对称多项式）|销售问题（22题）、羊圈面积（23题）培养应用意识，“联合方程”（21题）、“对称多项式”（24题）发展创新思维|

第25章 一元二次方程 章末素养试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 3．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 7．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共有学生（    ） A．40人 B．42人 C．44人 D．45人 10．对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 11．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 12．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知α、β是方程的两个实数根，则的值为______． 14．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________． 15．重庆市某中学九年级5班的同学在第一学月体育测试时有25名同学获得满分，经过两个学月的专项体能训练，在第三学月体育测试时满分同学增加到了36人，则该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为________． 16．如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为___________． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)． 18．小南和小湖两位同学解方程的过程如下框： 小南： 移项，得 提取公因式得 则，或， 解得，． 小湖： 两边同除以，得 则． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在相应框内打“√；若错误请在相应框内打“×”，并写出你的解答过程． 19．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 21．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 22．某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 23．如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 24．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A A D C A D A 题号 11 12 答案 B B 1．B 本题主要考查了一元二次方程的定义，只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可解答． 解：①方程含两个未知数，不符合“只含一个未知数”，不是一元二次方程； ②方程展开为，满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ③方程含分式，不是整式方程，不符合定义，不是一元二次方程； ④方程中，当时，方程变为，不是一元二次方程，故该方程不一定是一元二次方程 ⑤方程满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ⑥方程，展开移项化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 综上，是一元二次方程的有②⑤，共2个. 故选：B． 2．A 根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 3．D 本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 4．A 本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 5．A 根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 6．D 先利用根的定义对所求代数式降次化简，再利用根与系数的关系整体代入计算即可. ∵和是方程的根， ∴，， ∴， ∴. 7．C 利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 8．A 本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 9．D 设九年级（11）班有x人，根据每个同学都向其他同学赠送纪念品一件，全班共送出纪念品1980件，可列方程求解． 解：设有x人，则 x（x-1）=1980 x=45或x=-44（舍去）． 即全班共有45人． 故选：D． 10．A 先推导一元二次方程两根之差的绝对值公式，再结合题目条件列出关于的方程，同时根据方程有两个实数根确定判别式的取值范围，求解后得到符合条件的的值． 解：对于一元二次方程，由求根公式，得 ， ∵方程有两个实数根，． ． 由，得 解得， ，符合条件． 11．B 本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为210、100、78、45时的值，判断即可得解．熟练掌握一元二次方方程的应用是关键． 解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和， A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意； B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意； C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意； D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意； 故选：B． 12．B 设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝PA＝xcm，然后根据▱PQCR的面积为△ABC面积的一半列方程求解即可． 解：设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm， ∴∠A＝45°， ∵PRBC， ∴∠APR＝90°， ∴PR＝PA＝xcm， ∵▱PQCR的面积为△ABC面积的一半， ∴， 解得：， ∴点P移动的路程为4cm． 故选：B． 13．2 本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解的定义得到，进而得到，根与系数的关系得到，整体代入法计算求值即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，是解题的关键． 解：由题意，，， ∴， ∴； 故答案为：2． 14． 且 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数． 根据题意可得二次项系数不为0，且，即可得的取值范围． 解：∵ 关于 的一元二次方程 有两个实数根， ∴ 且 ， 解得且． ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 15． 本题考查了一元二次方程的应用，设该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论． 解：设该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为x，根据题意得， ， 解得， 所以，该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为， 故答案为：． 16．1 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解． 解：由题意可得， 即， 解得：或（舍）， 故答案为：1． 17．(1)， (2)， 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可． （2）先将方程变形，再利用因式分解法求解即可． （1）解：， ， ， ， ， ∴， ； （2）， ， ， 或， ∴，． 18．均不对，，． 本题主要考查解一元二次方程利用因式分解法求解即可． 解：均不对， ∵， ∴， 则， ∴或， 解得：，． 19．(1) (2) 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案． （1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ． 20．(1) 证明： ， 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)或 本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题的关键： （1）根据根的判别式得出，再根据完全平方式转化，进而可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出，，再将其代入得出，求解即可 （1）略 （2）解：，， ， ， ， ，． 故m的值为或． 21．(1) 解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； (2)的值为，的值为6 本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． （1）略 （2）解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 22．(1) (2)10元 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据商场获利1250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． （1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价10元时，商场获利1250元． 23．(1) (2)的长为或； (3)羊的活动范围的面积不能为． 理由如下， 依题意得：，即， ∵， ∴羊的活动范围的面积不能为． 此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据得到，整理即可得到答案； （）根据羊的活动范围的面积为列出代数式即可； （）依题意得：，根据根的判别式，即可得到答案； （1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为， ∴，即， 解得， ∴的长为或； （3）略 24．(1) (2) 本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为，根据得到当，即时，多项式有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，最小值为，则，解方程求出a、c，进而解方程可得答案． （1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $