微专题例析命题与四种命题的关系讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理命题概念、四种命题关系及等价性，以“定义-形式-关系-应用”为主线呈现知识脉络，突出逆否命题等价性及子集与推出关系等重难点，帮助学生构建完整知识网络。 练习设计覆盖7类题型，从基础概念辨析（如例2判断命题）到综合应用（如例11结合子集求参数），通过“题型-例题-解析”模式培养推理能力与模型意识。分层练习帮助不同学生掌握方法，教师可依此实施精准教学，提升复习效率。

【原卷版】 微专题 例析命题与四种命题的关系 可以判断真假的语句叫作命题，常写成 “若，则” 的标准形式，为条件，为结论。 由原命题能构造另外三种命题：原命题 “若，则”；逆命题 “若，则”，交换条件与结论；否命题 “若，则”，同时否定条件和结论；逆否命题 “若，则\”，交换条件结论并同时否定。 四种命题存在两组等价关系：原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。原命题成立，不能推出逆命题、否命题一定成立。 注意区分否命题与命题的否定：否命题同时否定条件和结论；命题的否定只否定结论，条件不变。解题时常利用逆否命题等价性，将难以直接判断真假的命题转化证明，简化推理。 1、命题的概念：可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题的常用表示形式：“如果p，那么q”或者“若p，则q”，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论； 命题通常写成“若，则”的形式；其中陈述句称为命题的条件，称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足满足； 3、子集与推出关系： 如果命题“若α，则β”是真命题，那么我们就称α推出β，记作αβ（或βα）。 4、逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的结论和条件，这两个命题叫作互逆命题，其中的一个命题叫原命题，另一个命题叫原命题的逆命题． 原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p； 5、四种命题之间的关系 　　原命题与逆否命题都为真;；否命题与逆命题都为真； 6、定理、定义 （1）定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理； （2）定义： ①定义：是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵； ②特点：是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别； 题型1、对命题概念的理解 例1、填充： 命题：用 表达，且可以 的语句叫做命题；命题通常用陈述句表述．其含义 的命题叫做真命题， 的命题叫做假命题． 说明：（1）判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假．只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题； （2）判断的结果可真可假，但真假必居其一，假命题也是命题； （3）判断命题的真假应写“真命题、假命题”，而不写“正确、错误”． 【答案】 【说明】 例2、下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星； ②今天下雨吗； ③、都是无理数，则是无理数； ④若，则； ⑤； ⑥求证是无理数． 题型2、有关命题的条件和结论 例3、指出下列命题的条件与结论： （1）如果，，那么函数随的增大而增大； 条件是_____________________________，结论是_____________________________； （2）若两个三角形全等，则它们的面积相等 条件是_____________________________，结论是_____________________________； 例4、将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）在中，大角对大边； （2）矩形的对角线互相垂直； （3）相等的两个角的正弦值相等； （4）等底等高的两个三角形是全等三角形； 题型3、有关命题真假的判断 例5、下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 例6、由命题，构成的“或”“且”“非”形式的复合命题中，真命题有________个． 题型4、依据命题的真假求相关参数 例7、已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是 ． 例8、已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是 . 题型5、有关原命题与逆否命题等价性的应用 例9、有下列四个命题： ①“若, 则互为相反数”的逆命题； ②“若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等”的否命题；③“若,则有实根”的逆否命题； ④“若不是等边三角形，则的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 例10、把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时判断四种命题的真假: （1）全等三角形的对应边相等; （2）当时，. 题型6、子集与命题推出关系的交汇 例11、设全集，集合，集合，若命题“对于任意的，则”为真命题，求实数的取值范围． 例12、已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是________________． 题型7、命题与其他数学知识的交汇 例13、设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为___________． 例14、已知命题p：“存在”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为． （1）求集合A； （2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 1、命题的概念，命题的构成，条件与结论； 2、如何正确写命题的条件和结论； 3、逆命题的概念及真假的判断；与四种命题的等价性； 4、公理、定理、定义的相关与联系； 1．下列命题为假命题的是（    ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 2．下列说法正确的是（     ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 3．下列说法正确的是（     ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 4．已知命题“存在”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．命题“若实数a，b满足，则且”是_______命题(填“真”或“假”). 6．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 7．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是______命题．（填真或假） 8．判断下列命题的真假. （1）命题“对数函数都是单调函数”是全称命题.( ) （2）命题“有些菱形是正方形”是全称命题.( ) （3）命题：对于任意的的否定是：对于任意的.( ) 9．命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为____________________． 10．命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是______________. 11．已知集合，，命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 12．已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 【解析版】 微专题 例析命题与四种命题的关系 可以判断真假的语句叫作命题，常写成 “若，则” 的标准形式，为条件，为结论。 由原命题能构造另外三种命题：原命题 “若，则”；逆命题 “若，则”，交换条件与结论；否命题 “若，则”，同时否定条件和结论；逆否命题 “若，则\”，交换条件结论并同时否定。 四种命题存在两组等价关系：原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。原命题成立，不能推出逆命题、否命题一定成立。 注意区分否命题与命题的否定：否命题同时否定条件和结论；命题的否定只否定结论，条件不变。解题时常利用逆否命题等价性，将难以直接判断真假的命题转化证明，简化推理。 1、命题的概念：可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题的常用表示形式：“如果p，那么q”或者“若p，则q”，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论； 命题通常写成“若，则”的形式；其中陈述句称为命题的条件，称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足满足； 3、子集与推出关系： 如果命题“若α，则β”是真命题，那么我们就称α推出β，记作αβ（或βα）。 4、逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的结论和条件，这两个命题叫作互逆命题，其中的一个命题叫原命题，另一个命题叫原命题的逆命题． 原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p； 5、四种命题之间的关系 　　原命题与逆否命题都为真;；否命题与逆命题都为真； 6、定理、定义 （1）定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理； （2）定义： ①定义：是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵； ②特点：是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别； 题型1、对命题概念的理解 例1、填充： 命题：用 表达，且可以 的语句叫做命题；命题通常用陈述句表述．其含义 的命题叫做真命题， 的命题叫做假命题． 说明：（1）判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假．只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题； （2）判断的结果可真可假，但真假必居其一，假命题也是命题； （3）判断命题的真假应写“真命题、假命题”，而不写“正确、错误”． 【答案】自然语言、符号或式子，判断其真假；判断为真；判断为假； 【说明】本题主要考查了命题的概念； 例2、下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星； ②今天下雨吗； ③、都是无理数，则是无理数； ④若，则； ⑤； ⑥求证是无理数． 【提示】根据命题的定义进行判断. 【解析】②是疑问句，不是命题；⑤中未知数的值未知，无法判断真假，故不是命题； ⑥是祈使句，不是命题，其他均为可以判断真假的陈述句，为命题. 故答案为：①③④ 【说明】本题主要考查了命题的概念；判断一个语句是不是命题，关键看两点:第一，是不是陈述句，第二，是否可以判断真假，这两个条件缺一不可。一般来说，疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 题型2、有关命题的条件和结论 例3、指出下列命题的条件与结论： （1）如果，，那么函数随的增大而增大； 条件是_____________________________，结论是_____________________________； （2）若两个三角形全等，则它们的面积相等 条件是_____________________________，结论是_____________________________； 【提示】命题的条件和结论一般界限分明，在命题中，出现“如果……”，是条件的具体阐述，出现“那么、则”等语句，是结论的具体阐述； 【答案】（1）如果， 函数随的增大而增大； （2）两个三角形全等 这两个三角形面积相等； 【解析】（1）对命题“如果，，那么函数随的增大而增大”，条件是：“如果，”，结论是：“函数随的增大而增大” （2）对命题“若两个三角形全等，则它们的面积相等”，条件是“两个三角形全等”，结论是：“这两个三角形面积相等” 【说明】本题主要考查了指出命题的条件和结论；考查命题的条件与结论对应具体语句的辨析，学会识别关键词是关键，条件语句一般会出现“如果、若、”等，结论语句一般会出现“那么、则”等 例4、将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）在中，大角对大边； （2）矩形的对角线互相垂直； （3）相等的两个角的正弦值相等； （4）等底等高的两个三角形是全等三角形； 【提示】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【解析】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 【说明】本题考查了指出命题的条件和结论；将含有大前提的命题改写为“若，则”的形式时，大前提应保持不变，改写后仍作为大前提，不要写在条件中。改写前后命题的真假不发生变化。 题型3、有关命题真假的判断 例5、下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【提示】对各选项逐一判断真假即可； 【答案】D； 【解析】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误； 对于B，，即，即，为有限集，故B错误； 对于C，是无理数，故C错误； 对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确. 故选：D； 【说明】本题考查了描述法表示集合、空集的概念以及判断、命题的概念； 例6、由命题，构成的“或”“且”“非”形式的复合命题中，真命题有________个． 【答案】2； 【解析】因命题为假命题，命题为真命题， 故“或”为真命题，“且”为假命题，“非”为真命题， 真命题的个数为2； 【说明】判断“且”命题的真假、判断非命题的真假、判断“或”命题的真假、判断命题的真假； （1）由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论，则该命题为真命题; （2）由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论，则该命题为假命题。 题型4、依据命题的真假求相关参数 例7、已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是 ． 【提示】考虑是真命题，列不等式求实数a的取值范围，取其在中的补集可得实数a的取值范围； 【答案】； 【解析】若是真命题，则， 所以，当是假命题时，． 故答案为：. 【说明】本题考查了根据交集结果求集合或参数、区间的定义与表示；由命题的真假确定参数的取值范围问题的步骤：第一步，明确题设条件的含义；第二步，将问题转化为不等式恒成立问题；第三步，利用恒成立问题的求解方法求出参数的取值范围。 例8、已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是 . 【提示】先分别求出当、为真命题时的取值范围，然后分真假、假真两种情况讨论，求出的取值范围，综合可得出结果； 【答案】； 【解析】若命题为真命题，设方程的两根分别为、， 则，解得， 若命题为真命题，则，解得， 因为和有且只有一个为真命题， 若真假，，此时不存在， 若假真，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【说明】本题考查了已知命题的真假求参数； 题型5、有关原命题与逆否命题等价性的应用 例9、有下列四个命题： ①“若, 则互为相反数”的逆命题； ②“若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等”的否命题；③“若,则有实根”的逆否命题； ④“若不是等边三角形，则的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】C； 【解析】① “若, 则互为相反数”的逆命题为“若互为相反数，则”，正确；②“若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等”的否命题为“若两个三角形不全等，则两个三角形的面积不相等”，错误；③“若,则有实根”的逆否命题为“若没有实根，则”，因为没有实根，所以，可得，所以逆否命题正确；④“若不是等边三角形，则的三个内角相等”逆命题为“若的三个内角相等，则不是等边三角形”，显然错误，①③为真命题，故选C 【说明】本题考查了写出原命题的逆命题及真假判断、写出原命题的否命题及真假判断； 例10、把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时判断四种命题的真假: （1）全等三角形的对应边相等; （2）当时，. 【提示】先把原命题改造成“若p则q”形式，再利用四种命题之间的关系写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假； 【解析】（1）原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形对应的三边相等,真命题; 逆命题:若两个三角形对应的三边相等,则这两个三角形全等,真命题; 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形对应的三边不全相等,真命题; 逆否命题:若两个三角形对应的三边不全相等,则这两个三角形不全等,真命题. （2）原命题:若,则,真命题; 逆命题:若,则,假命题; 否命题:若,则,假命题; 逆否命题:若,则,真命题. 【说明】本题考查了写出原命题的逆命题及真假判断、写出原命题的否命题及真假判断、写出原命题的逆否命题及真假判断； 题型6、子集与命题推出关系的交汇 例11、设全集，集合，集合，若命题“对于任意的，则”为真命题，求实数的取值范围． 【提示】由条件可得，再根据集合的包含关系，列出不等式求解. 【答案】； 【解析】因为命题“对于任意的，则”是真命题，所以，当时，，解得； 当时，解得所以． 综上所述，实数的取值范围是. 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求解参数的取值范围； 例12、已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是________________． 【提示】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围； 【答案】； 【解析】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、已知命题的真假求参数； 题型7、命题与其他数学知识的交汇 例13、设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为___________． 【提示】直接举反例即可，答案不唯一； 【答案】（答案不唯一）； 【解析】取，则，而， 所以可验证该命题为假命题. 故答案为：（答案不唯一） 【说明】本题主要考查了判断命题的真假； 例14、已知命题p：“存在”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为． （1）求集合A； （2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【提示】（1）根据存在量词命题的真假性列不等式来求得的取值范围，从而求得集合. （2）根据充分不必要条件、对进行分类讨论来求得的取值范围； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）依题意，命题p：“存在”为假命题， 所以，解得， 所以. （2）由于是的充分不必要条件，所以， 当，即时，，满足. 当，即时，要使， 则需且两个等号不能同时成立， 解得，所以的取值范围是； 【说明】本题考查了根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据充分不必要条件求参数； 1、命题的概念，命题的构成，条件与结论； 2、如何正确写命题的条件和结论； 3、逆命题的概念及真假的判断；与四种命题的等价性； 4、公理、定理、定义的相关与联系； 1．下列命题为假命题的是（    ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D； 【解析】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 2．下列说法正确的是（     ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】D； 【解析】命题“直角相等”，写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的； 语句“当时，方程有实根”是陈述句，而且可以判断真假，所以选项B是错误的； 选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”； 选项D，当时，方程成立，所以是真命题. 故选：D 3．下列说法正确的是（     ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 【答案】D； 【解析】对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相等”，则A错误； 对于B，所给语句是命题，则B错误； 对于C，边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形，则C错误； 对于D，当时，，方程x2－4x＋a＝0无实根，则D正确； 故选：D 4．已知命题“存在”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A； 【提示】已知原命题为假命题，那么它的否定“对于任意的”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围. 【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 5．命题“若实数a，b满足，则且”是_______命题(填“真”或“假”). 【答案】假 【详解】当时，，所以，命题“若实数a，b满足，则且”是假命题. 故答案为：假 6．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 【答案】“若一个数的平方是正数，则它是负数” 【解析】依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数” 7．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是______命题．（填真或假） 【答案】假 【解析】若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是：若一个数的平方是正数，则这个数是负数，为假命题 而命题的逆命题与否命题是互为逆否关系，真假相同，可知否命题为假命题 故答案为假 8．判断下列命题的真假. （1）命题“对数函数都是单调函数”是全称命题.( ) （2）命题“有些菱形是正方形”是全称命题.( ) （3）命题：对于任意的的否定是：对于任意的.( ) 【答案】 真 假 假 【解析】（1）对数函数都是单调函数，强调的是所有对数函数，故是全称命题，正确； （2）有些菱形是正方形，强调的是存在菱形是正方形，故是特称命题，故错误； （3）对于任意的的否定是：存在，故错误. 故答案为：（1）真；（2）假；（3）假. 9．命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为____________________． 【答案】满足满足 【详解】若命题“若，则”是真命题，则所有满足条件的元素都满足条件， 所以满足满足. 故答案为：满足满足. 10．命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是______________. 【提示】根据命题的真假列出，解不等式即可求解. 【答案】或 【解析】当命题为真命题时，可得，即. 所以当命题为假命题时，可得或. 故答案为：或 11．已知集合，，命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】由题意，所以，即，解得， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为. 12．已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 【提示】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， 3 第7页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $