13.3.2三角形的外角 课时同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形外角概念与性质，通过基础识别、中档计算到综合应用的三层设计，强化从概念理解到推理运算的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|外角概念识别、性质辨析|选择题1-2直接考查外角定义，选择题5辨析性质，夯实概念理解| |中档|外角与内角关系计算|选择题3-4、填空题11-14结合图形进行角度转化，提升运算能力| |提升|综合应用与拓展探究|解答题16-21融入角平分线、折叠等，如19题结合平行线，21题拓展外角平分线模型，发展推理意识与创新思维|

第十三章 三角形 13.3三角形的内角与外角 13.3.2三角形的外角 1、 选择题 1.图中△ABC的外角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【答案】C． 【分析】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 【详解】解：△ABC的外角是∠3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形外角，解题时注意：三角形的一边与另一边的延长线组成的角． 2.如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A． 【分析】根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断． 【详解】解：属于△ABC外角的有∠4共1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 3．在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　） A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC 【答案】B． 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵∠ADC＝∠1+∠B，∠AEC＝∠ADC+∠2， ∴∠AEC＝∠1+∠2+∠B， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 4．在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝(2x＋10)°，∠C的外角大小(x＋40)°，则x的值等于（ ） A．15 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列出方程求解即可． 【详解】解：∵∠C的外角=∠A+∠B， ∴x+40=2x+10+x， 解得x=15． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 5．下列说法正确的有（    ） ①三角形的外角大于它的内角； ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； ③三角形的外角中至少有两个钝角； ④三角形的外角都是钝角. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】试题分析：根据三角形的内角和定理及内角与外角的关系依次分析即可. 当内角为钝角时，内角为锐角，①④错误，②③正确， 故选B. 6．如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ） A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答． 【详解】∵∠1是三角形的一个外角， ∴∠1＞∠A， 又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1， ∴∠2＞∠1＞∠A． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，熟练掌握，即可解题. 7．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 【答案】D. 【分析】先根据题意求出∠1，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：由题意得：∠1＝90°﹣60°＝30°， 则∠α＝45°+30°＝75°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B＝55°，∠C＝35°，则∠ADE＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．62.5° 【答案】A. 【分析】根据三角形的内角和定理可得∠BAC＝90°，再利用角平分线的性质得到∠BAD＝45°，最后利用三角形外角的性质得出结果． 【详解】解：∵∠B＝55°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣55°﹣35°＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝45°， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝55°+45°＝100°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝50°， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质． 9．如图，中，，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BO交AC于D，直接利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，即可得出结论． 【详解】如图，延长BO交AC于D ∵∠A＝40°，∠ABO＝20°， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABO＝40°＋20°＝60°， ∵∠ACO＝30°， ∴∠BOC＝∠ACO＋∠BDC＝30°＋60°＝90°， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键． 10.如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（　　） A．22° B．25° C．28° D．30° 【答案】B． 【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义得到∠CAD+∠P∠CBD+∠C，∠CAD+∠D∠CBD+∠P，两式相减得到答案． 【详解】解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C， ∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C， ∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P， ∴∠PAC∠CAD，∠PBC∠CBD， ∴∠CAD+∠P∠CBD+∠C①， 同理：∠CAD+∠D∠CBD+∠P②， ①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P， 整理得，2∠P＝∠D+∠C， ∠P25°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 2、 填空题 11．如图，是的一个外角，，，则的度数是______． 【答案】. 【分析】直接利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴． 12．如图，在中，D，E分别是上的点，点F在的延长线上，，，则______度． 【答案】 【分析】由三角形外角的定义的得出，结合，得求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 又， 故， ， ． 13． 如图，∠CBA＝∠ACB＝65°，∠ACE＝15°，则∠AEC的度数是______． 【答案】35°. 【分析】先求出∠BAC，再由∠BAC=∠ACE+∠AEC从而求解． 【详解】解：在△ABC中∠BAC=180°-∠CBA-∠ACB＝180°-65°-65°=50°， 又在△BCE中∠BAC=∠ACE+∠AEC=50°， 所以∠AEC=50°-∠ACE＝50°-15°=35°． 故答案为：35°. 【点睛】本题主要考察三角形内角和等于180°与外角定理，解题的关键是熟知三角形外角等于两不相邻的两内角之和． 14．如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB的度数为_____． 【答案】110° 【分析】由DE与AB垂直，利用垂直的定义得到∠BED为直角，进而确定出△BDE为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余，求出∠B的度数，在△ABC中，利用三角形的内角和定理即可求出∠ACB的度数． 【详解】解：∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∵∠D=45°， ∴∠B=180°-∠BED-∠D=45°， 又∵∠A=25°， ∵∠ACB=180°-（∠A+∠B）=110°． 故答案为110° 【点睛】此题考查了三角形的外角性质，直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 15．如图，点在的边的延长线上，点在边上，连接交于点，若，，则________． 【答案】102° 【分析】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数． 【详解】解：∵∠DFC＝3∠B＝117°， ∴∠B＝39°， 设∠C＝∠D＝x°， 39＋x＋x＝117， 解得：x＝39， ∴∠D＝39°， ∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°． 故答案为：102°． 【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 3、 解答题 16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．试说明：． 【答案】见详解. 【分析】先根据三角形外角的性质得出∠B+∠BAC＝∠ACD，再由角平分线的定义得出∠ECD（∠B+∠BAC），同理可得∠ECD＝∠E+∠B，进而得出结论． 【解答】证明：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠B+∠BAC＝∠ACD， ∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴∠ECD（∠B+∠BAC）， ∵∠ECD是△BCE的外角， ∴∠ECD＝∠E+∠B， ∴（∠B+∠BAC）＝∠E+∠B， ∴∠E（∠BAC﹣∠B）． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°． （1）求∠AFB的度数； （2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数． 【答案】（1）87°； （2）62°． 【分析】（1）利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）利用三角形外角的性质得3∠ABF＝93°，从而得出答案． 【详解】解：（1）∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∠C＝42°，∠CAE＝18°， ∴∠AEB＝60°， ∵∠CBD＝27°， ∴∠BFE＝180°﹣27°﹣60°＝93°， ∴∠AFB＝180°﹣∠BFE＝87°； （2）∵∠BAF＝2∠ABF，∠BFE＝93°， ∴3∠ABF＝93°， ∴∠ABF＝31°， ∴∠BAF＝62°． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 18．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点D． 试找出与的内角之间的关系． 【答案】 【分析】分别根据角平分线的定义及三角形的外角性质可表示出与，由此即可得出结论． 【详解】解：∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ，， ∵， ， ∴， ． 19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝70°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E． （1）求∠BCE的度数； （2）过点D作DF∥CE，交AB的延长线于点F，求∠F的度数． 【答案】（1）50°；（2）20°. 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠BCE； （2）根据三角形的外角性质求出∠BEC，再根据平行线的性质求出∠F． 【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠ABC＝70°， ∴∠BCD＝∠A+∠ABC＝100°， ∵CE是∠BCD的平分线， ∴∠BCE∠BCD＝50°； （2）∵∠BCE＝50°，∠ABC＝70°， ∴∠BEC＝∠ABC﹣∠BCE＝20°， ∵DF∥CE， ∴∠F＝∠BEC＝20°． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、平行线的性质，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 20．如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 【答案】(1)证明：在中，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，结合角平分线的定义推得，根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，设，则，，结合三角形内角和是列方程求出的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则，，， 在中，， 即， 解得； 故． 21．【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 13.3三角形的内角与外角 13.3.2三角形的外角 1、 选择题 1.图中△ABC的外角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 2.如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　） A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC 4．在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝(2x＋10)°，∠C的外角大小(x＋40)°，则x的值等于（ ） A．15 B．20 C．30 D．40 5．下列说法正确的有（    ） ①三角形的外角大于它的内角； ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； ③三角形的外角中至少有两个钝角； ④三角形的外角都是钝角. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ） A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 7．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B＝55°，∠C＝35°，则∠ADE＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．62.5° 9．如图，中，，，，则等于（ ） A． B． C． D． 10.如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（　　） A．22° B．25° C．28° D．30° 2、 填空题 11．如图，是的一个外角，，，则的度数是______． 12．如图，在中，D，E分别是上的点，点F在的延长线上，，，则______度． 13． 如图，∠CBA＝∠ACB＝65°，∠ACE＝15°，则∠AEC的度数是______． 14．如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB的度数为_____． 15．如图，点在的边的延长线上，点在边上，连接交于点，若，，则________． 3、 解答题 16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．试说明：． 17．如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°． （1）求∠AFB的度数； （2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数． 18．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点D． 试找出与的内角之间的关系． 19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝70°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E． （1）求∠BCE的度数； （2）过点D作DF∥CE，交AB的延长线于点F，求∠F的度数． 20．如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 21．【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $