13.3.1三角形的外角分层训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学三角形的外角同步练，分层设计从定义识别到中考应用，梯度清晰，强化推理能力与应用意识，适配新授课知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|三角形外角定义识别|图形辨析题为主，强化几何直观| |性质应用层|外角性质求度数|多步推理选择填空，培养推理能力| |综合拓展层|外角与角平分线综合、外角和|证明题与规律探究，深化逻辑思维| |实践与中考层|实际问题解决、中考真题|折叠椅、云梯等情境题，体现应用意识|

13.3.2三角形的外角(分层训练） 1、 三角形的外角定义 1.下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．  2.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是（　　） 3.如图，下列角中是的外角的是 ______, ABC的外角是 ______， ABD的外角是 ______. 二、由三角形的外角性质求角的度数 1.如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2.如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为，那么这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 3.如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE交于点F，若∠A＝25°，∠B＝35°，∠C＝70°，则∠AFE的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 4.如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数为（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 5.如图，在△ABC中，∠A＝30°，点D是AB延长线上一点，过点D作EF∥BC．若∠ADE＝70°，则∠C的度数为　　 °． 6.如图，∠B = 45°，∠A = 30°，∠C = 25°，求∠ADC的度数。 三、三角形的外角性质与角平分线的综合 1.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，若∠B = 35°，∠E = 20°，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．70° C．75° D．80° 2.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠A = 40°，则∠D的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 3.如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，则的度数为 ． 4.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E是AC上的一点，CD，BE相交于点F，∠A＝65°，∠ACB＝70°，∠2＝25°，求∠3的度数． 5.如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝32°，∠E＝36°，求∠BAC的度数； （2）试猜想∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 6.如图，已知△ABC，D为BC延长线上一点，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，BE、CE交于点E。 （1） 若∠A = 50°，∠ABC = 60°，求∠E的度数； （2）猜想∠E与∠A的数量关系，并说明理由。 四、三角形的外角和 1.三角形的三个外角的和等于（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 2.若一个三角形的三个外角之比为3 : 4 : 5，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3.一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 4.如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数为（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 5、 利用三角形的外角解决实际问题 1.如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）． A． B． C． D． 2.图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 3.墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图1，在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一个点，绷紧并提起墨线中段，此时，如图2，则的度数为 ． 4.消防云梯其示意图如图所示，其由救援台，延展臂（B在C的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台，车身及地面三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图，使得延展臂与支撑臂所在直线互相平行，且，，则这时 ．（用含，的式子表示） 1.如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = ________度。 2.如图，已知，点A、B分别在射线上移动，平分，交于点E，平分，的反向延长线与交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点A、B在射线，射线（均不与点O重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 3.如图，在△ABC中，∠A = 96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点 A₁，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A₂，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A₅，则∠A₅的度数为（　　） A．3° B．5° C．6° D．12° 4.（1）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC＝90°∠A； （2）如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOCA； （3）如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系． 1.（2026·上海·中考）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ 　　） A．120° B．105° C．60° D．45° 2.（2025·山东济南·中考）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE = 75°，则∠AMF的度数是（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 3.（2026·四川内江·中考真题）如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4.（2026·河南·中考真题）如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5.（2026·四川眉山·中考真题）如图，已知直线，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 6.（2026·江苏扬州·中考真题）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（      ） A． B． C． D． 13.3.2三角形的外角(分层训练） 一、识别三角形的外角定义 1.D   2.C　 3. D EAD 二、由三角形的外角性质求角的度数 1.A    2.A 3.B 4.B　 5.40 6.解：连接BD并延长到点E， E ∵∠ADE是△ABD的外角， ∴∠ADE = ∠A + ∠ABD， ∵∠CDE是△CBD的外角， ∴∠CDE = ∠C + ∠CBD， ∴∠ADC = ∠ADE + ∠CDE = ∠A + ∠ABD + ∠C + ∠CBD = ∠A + ∠C + (∠ABD + ∠CBD) = ∠A + ∠C + ∠ABC = 30° + 25° + 45° = 100°。 三、三角形的外角性质与角平分线的综合 1.C　 2.A　 3. 4.解：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°， ∴∠1＝∠ACB＝35°, ∵∠4是△ACD的一个外角， ∴∠4＝∠A+∠1 ＝65°+ 35°=100°, 在△BDF中，∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠4＝ 55 °． 5.解：（1）由条件可知∠ECD＝∠B+∠E＝32°+36°＝68°， ∵EC平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝68°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝68°+36°＝104°； （2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由如下： 由条件可知∠ACE＝∠ECD， 又∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝∠ECD+∠E ＝∠B+∠E+∠E ＝∠B+2∠E， 即∠BAC＝∠B+2∠E． 6. 解：（1）∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD = ∠A + ∠ABC = 50° + 60° = 110°， ∵CE平分∠ACD，∴∠ECD = ∠ACD = 55°， ∵BE平分∠ABC，∴∠EBC = ∠ABC = 30°， ∵∠ECD是△EBC的外角， ∴∠ECD = ∠EBC + ∠E， ∴∠E = ∠ECD - ∠EBC = 55° - 30° = 25°。 （2）猜想：∠E = ∠A。 理由：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠EBC = ½∠ABC，∠ECD = ∠ACD， ∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD = ∠A + ∠ABC， ∵∠ECD是△EBC的外角，∴∠ECD = ∠E + ∠EBC， ∴∠ACD = ∠E + ∠ABC， ∴(∠A + ∠ABC) = ∠E + ∠ABC， ∴∠A + ∠ABC = ∠E + ∠ABC， ∴∠E = ∠A。 四、三角形的外角和 1.D　 2.D　 3.C  4.C　 五、利用三角形的外角解决实际问题 1. D 2. B 3. 4. 1.270 2.C  3.A　 4.证明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACB， ∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠A） ＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2） ＝180°﹣（90°∠A） ＝90°∠A； （2）∵∠OCD是△BCO的外角， ∴∠O＝∠2﹣∠1， 又∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACD， ∴∠O（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∴∠O∠BAC； （3）∠BOC＝90°∠A． 1.B　 2.D 3.B    4.B  5.C   6.A  学科网（北京）股份有限公司 $