精品解析：黑龙江大庆市让胡路区大庆外国语学校2025-2026学年下学期第九次学情自测数学试题

初四年级数学学科第九次月考试卷 答卷时间：120分钟 卷面分值：120 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 每年6月，学校的池塘里开满了荷花，荷花又名“水芙蓉”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 以下是2024年巴黎奥运会部分项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 5. 化学课上，李老师计划在“双氧水制氧气”“高锰酸钾制氧气”“二氧化碳的检验”“镁条燃烧”四个实验中随机选两个在课堂上给学生演示，则被选中的两个实验均为制取氧气的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 若是的反比例函数，则也是的反比例函数 B. 四边形的内角和与外角和相等 C. 一件衣服提价后又打八折，这件衣服的价格不变 D. 两组边分别相等的两个直角三角形全等 7. 如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长，交于点，连接，恰好有，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．若和的面积都为，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，点在边上，，将线段绕点C逆时针旋转（其中）到，连接，以为边作，连接，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 填空：的平方根是___________． 12. 因式分解：______． 13. 若，则______． 14. 不等式组的最大整数解为___________． 15. 如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 16. 如图，四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当____________时，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 18. 对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“型闭函数”，下列结论中，正确的是____________（填序号）． ①一次函数是“型闭函数”； ②若一次函数是“型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“型闭函数”，且，则； ④二次函数是“型闭函数”．则的取值范围是． 三．解答题（共10小题，共66分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中从，，中取一个你认为合适的数代入求值． 21. 伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行．已知这段路程全长千米，甲的骑行速度是乙的倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每小时骑行多少千米？ 22. 小明的爸爸在岸边钓鱼，如图，已知钓鱼竿（看成线段）长，钓鱼竿尾端距离岸边（即），水面与地面平行且竖直距离为（即）．在等待鱼上钩的过程中，水面上方鱼线（看成线段）与水面的夹角，鱼线末端刚好位于水面上，钓鱼竿与地面的夹角，求点到岸边的距离（结果保留整数）． （参考数据：，，，取1.7） 23. 如今，各类人工智能产品已被广泛应用于工作与学习中，为人们提供了高效的辅助支持．某区组织全区七、八年级数学教师用与结合制作教学课件比赛，比赛结束后，该区从七、八年级数学教师的比赛成绩中各随机抽取了20名教师的成绩（满分100分，成绩用表示，单位：分），将成绩分成五组（A．；B．；C．；D．；E．），并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七年级20名数学教师课件的成绩： 89 77 58 77 89 68 88 69 79 84 77 78 82 87 66 96 94 83 67 92 八年级20名数学教师课件成绩的条形统计图 七年级20名数学教师课件成绩的扇形统计图 其中八年级数学教师课件成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的七、八年级数学教师课件成绩的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80.5 102.3 八年级 80 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________，________； （2）若抽取的七年级甲教师和八年级乙教师的成绩均为82分，则________教师的成绩在本年级的排名更靠前；（填“甲”或“乙”） （3）规定数学教师课件成绩在90分以上（含90分）为优秀，已知全区七年级教师120人，全区八年级教师180人．请通过计算估计全区七年级和八年级数学教师课件成绩为优秀的总人数． 24. 已知：如图，在平行四边形中， 的平分线交于点E，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． （1）填空：________； （2）区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； （3）求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 26. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． （1）求出，的值； （2）为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； （3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 27. 如图，在中，为直角，点在斜边上，连接，以为直径作，分别交，于点，．连接交于点，交于点，连接，使， （1）求证：是的切线； （2）求证； （3），，求的面积． 28. 对于抛物线（），如果抛物线与x轴有两个交点，我们就将它的顶点以及它与x轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形”． （1）若抛物线有“内接三角形”，求m的取值范围． （2）如图1，抛物线与x轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”为等边三角形． ①求的值； ②如图2，若该抛物线经过点，的平分线交于点P，点M为射线上一点．连接直线交射线于点N，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四年级数学学科第九次月考试卷 答卷时间：120分钟 卷面分值：120 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 每年6月，学校的池塘里开满了荷花，荷花又名“水芙蓉”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，当原数的绝对值小于1时，为负整数，确定和的值，即可求解． 【详解】解：． 3. 以下是2024年巴黎奥运会部分项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 4. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、三棱柱的主视图是三角形，左视图是长方形，主视图与左视图不相同，本选项符合题意； 、圆柱的主视图与左视图相同，都是长方形，本选项不符合题意； 、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意； 、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意． 故选：． 5. 化学课上，李老师计划在“双氧水制氧气”“高锰酸钾制氧气”“二氧化碳的检验”“镁条燃烧”四个实验中随机选两个在课堂上给学生演示，则被选中的两个实验均为制取氧气的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，列举法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分别用表示猫耳朵，沾片子，剔尖面，刀削面，然后列举出选择两种的六种情况，其中选中猫耳朵和沾片子的结果只有一种，代入概率公式即可求解． 【详解】解：分别用表示双氧水制氧气，高锰酸钾制氧气，二氧化碳的检验，镁条燃烧， 从中任意选择两种的结果有：， ∴总共有六种情况，双氧水制氧气和高锰酸钾制氧气的结果只有一种， ∴被选中的两个实验均为制取氧气的概率是：． 故选：D． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 若是的反比例函数，则也是的反比例函数 B. 四边形的内角和与外角和相等 C. 一件衣服提价后又打八折，这件衣服的价格不变 D. 两组边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数可得出进而可得出也是的反比例函数，可判断A，根据多边形内角和和外角和定理即可判断B，由题意可知可判断C，根据两组边分别对应相等才能判定两个直角三角形全等，可判断D． 【详解】解：∵若y是x的反比例函数，则可设， 可得， ∴x也是y的反比例函数，∴选项A不符合题意； ∵四边形的内角和与外角和都等于，∴选项B不符合题意； ∵一件衣服提价后又打八折时，这件衣服的价格为：， ∴这件衣服的价格不变，∴选项C不符合题意； ∵两组边分别对应相等的两个直角三角形全等，选项D说法错误，∴选项D符合题意． 7. 如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由旋转性质得到相关边与角的等量关系，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得出是直角三角形，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转性质可得，，，， ， 则， ，， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得． 8. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长，交于点，连接，恰好有，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，接着证明，然后利用勾股定理计算，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴ 9. 如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．若和的面积都为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由和的面积都为6，得点为的中点，设，，由中点坐标公式得，代入解析式得出，过点作轴于点，利用，即可求解． 【详解】解：∵和的面积都为， ∴，即点为的中点， 设，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点，则，， ∵， ∴． 10. 如图，在等腰中，点在边上，，将线段绕点C逆时针旋转（其中）到，连接，以为边作，连接，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作平行四边形，连接，设与交于O，则四边形是菱形，求出的长，进而求出的长，再证明四边形是平行四边形，得到，进而得到点F在以点P为圆心，半径为1的圆上运动，则当D、P、F三点共线，且点P在上时， 有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，作平行四边形，连接，设与交于O， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平行四边形的性质可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴点F在以点P为圆心，半径为1的圆上运动， ∴当D、P、F三点共线，且点P在上时， 有最大值，最大值为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，平行四边形的性质与判定，勾股定理，菱形的性质与判定，旋转的性质等等，作出辅助线确定点F的轨迹是解题的关键． 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 观察多项式发现符合平方差公式的形式，直接应用公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 不等式组的最大整数解为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再在解集范围内找出最大整数即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 因此不等式组的最大整数解为． 15. 如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【解析】 【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解． 【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 16. 如图，四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当____________时，． 【答案】9或11 【解析】 【分析】当，则四边形为平行四边形或等腰梯形时，再根据平行四边形和等腰梯形的性质求解即可． 【详解】解：依题意得：， ， ， ， ∵ 若，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时， 即， ， 解得， ②如图所示，当四边形为等腰梯形时， 过点作，交于点，过点作，交于点， ∵ ∴ ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 综上可知，经过或时，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、同在一个象限内， 、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、， ∴点， 故答案为：． 18. 对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“型闭函数”，下列结论中，正确的是____________（填序号）． ①一次函数是“型闭函数”； ②若一次函数是“型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“型闭函数”，且，则； ④二次函数是“型闭函数”．则的取值范围是． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据“k型闭函数”的定义，结合一次函数反比例函数二次函数的增减性，逐个计算验证四个结论即可． 【详解】解：①对于一次函数，可知y随x的增大而增大， ∴根据定义，当时，；时，， ∴，故， 故①正确； ②对于一次函数是“1型闭函数”， 故有， 当时，y随x的增大而增大，，得； 当时，y随x的增大而减小，，得， 综上，，故②错误； ③对应反比例函数（，且） 可知y随x的增大而减小， 故，， ∴， 又∵反比例函数（，且）是“型闭函数”， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④二次函数的开口向下，对称轴为直线，且， 由定义可得，故． 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， 故， ∴； 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， ∴， 解得， 综上，，故④正确， 综上，正确结论为①③④， 三．解答题（共10小题，共66分） 19. 计算： 【答案】7 【解析】 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中从，，中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后根据分式有意义的条件，代入合适的值计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵，， ∴，，， ∴当时，原式． 21. 伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行．已知这段路程全长千米，甲的骑行速度是乙的倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每小时骑行多少千米？ 【答案】乙每小时骑行24千米 【解析】 【分析】设乙每小时骑行x千米，则甲每小时骑行千米，根据甲骑完全程比乙少用5分钟列方程求解即可． 【详解】解：设乙每小时骑行x千米，则甲每小时骑行千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：乙每小时骑行24千米． 22. 小明的爸爸在岸边钓鱼，如图，已知钓鱼竿（看成线段）长，钓鱼竿尾端距离岸边（即），水面与地面平行且竖直距离为（即）．在等待鱼上钩的过程中，水面上方鱼线（看成线段）与水面的夹角，鱼线末端刚好位于水面上，钓鱼竿与地面的夹角，求点到岸边的距离（结果保留整数）． （参考数据：，，，取1.7） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点．则四边形是矩形，通过解直角三角形求出线段，即可解答． 【详解】解∶过点作于点，延长交于点T． 则四边形是矩形． ∴在中，， ， ， ， ， ∴在中，， ． 23. 如今，各类人工智能产品已被广泛应用于工作与学习中，为人们提供了高效的辅助支持．某区组织全区七、八年级数学教师用与结合制作教学课件比赛，比赛结束后，该区从七、八年级数学教师的比赛成绩中各随机抽取了20名教师的成绩（满分100分，成绩用表示，单位：分），将成绩分成五组（A．；B．；C．；D．；E．），并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七年级20名数学教师课件的成绩： 89 77 58 77 89 68 88 69 79 84 77 78 82 87 66 96 94 83 67 92 八年级20名数学教师课件成绩的条形统计图 七年级20名数学教师课件成绩的扇形统计图 其中八年级数学教师课件成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的七、八年级数学教师课件成绩的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80.5 102.3 八年级 80 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________，________； （2）若抽取的七年级甲教师和八年级乙教师的成绩均为82分，则________教师的成绩在本年级的排名更靠前；（填“甲”或“乙”） （3）规定数学教师课件成绩在90分以上（含90分）为优秀，已知全区七年级教师120人，全区八年级教师180人．请通过计算估计全区七年级和八年级数学教师课件成绩为优秀的总人数． 【答案】（1）20，，77， （2）甲 （3）54人 【解析】 【分析】（1）结合扇形统计图和条形统计图计算百分比、圆心角，利用众数的定义找出出现次数最多的数据，利用中位数的定义结合频数分布确定中间位置的数据，并求平均值； （2）利用中位数的意义，将个人成绩与所在年级的中位数进行比较，判断其排名位置； （3）分别利用七八年级的人数乘以数学教师课件成绩为优秀的所占的比例，再求和即可 【小问1详解】 解：七年级20名数学教师课件的成绩中在B．的有68，69，66，67，共人，故，即， 组所占的百分比为，故； 七年级20名数学教师课件的成绩中出现的次数最多，共次，故众数； 八年级20名数学教师课件的成绩的中位数是将成绩从小到大排列后，第名和第名成绩的平均数， ∵，八年级数学教师课件成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． ∴第名和第名成绩为82和83，故中位数； 【小问2详解】 解：七年级的中位数为分，甲教师成绩为分，且，说明甲教师的成绩高于七年级一半以上的教师，排名在前； 八年级的中位数为分，乙教师成绩为分，且，说明乙教师的成绩低于八年级一半以上的教师，排名在后； 综上所述，甲教师的成绩在本年级的排名更靠前； 【小问3详解】 解：（人）， 故估计全区七年级和八年级数学教师课件成绩为优秀的总人数为人． 24. 已知：如图，在平行四边形中， 的平分线交于点E，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形AEGB是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，然后证明，得，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点F作于点M，由菱形的性质得出，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 过点F作于点M，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角函数、勾股定理等知识；添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 25. 如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． （1）填空：________； （2）区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； （3）求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 【答案】（1）； （2）区的面积能达到，的长为； （3）当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是，此时，与墙平行的一边BC为45m． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和一元二次方程的应用、二次函数的实际应用，具有良好的应用意识是解题的关键． （1）根据矩形的性质，推出，结合区面积是区面积的一半，运用矩形面积公式即可求解； （2）先根据设，则，得出，根据面积公式结合题意建立一元二次方程组，即可求解； （3）先根据（2）得：，，，设矩形实验田面积为，根据矩形面积公式关于的二次函数关系式，再根据配方求出最值即可解题． 【小问1详解】 解：∵矩形和， ∴，， ∵区面积是区面积的一半， ∴， 即：， ， ∴． 【小问2详解】 解：可以，理由如下： ∵由（1）得：， ∴设，则， ∴， ∵墙长为， ∴，解得： ∵栅栏总长为， ∴， ∴据题意得：， 解得：，（舍）， ∴当，区的面积为； 【小问3详解】 解：∵由（2）得：，，， ∵设矩形实验田面积为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴， ∴当时，矩形实验田ABCD的面积最大，最大面积是，此时，与墙平行的一边BC为45m． 26. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． （1）求出，的值； （2）为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； （3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）；面积4 （3）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数解析式即可求出a的值；再将得到的A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值． （2）先设M点坐标为符合一次函数解析式的形式，根据平移规则得到N点坐标，因为N在反比例函数图象上，所以将N点坐标代入反比例函数解析式可求解M点坐标；求面积时可使用割补法、铅垂高法计算． （3）由可先判断与的位置关系，或者分D点在x轴正半轴、负半轴两种情况，结合角度相等的条件，利用平行关系、等腰三角形结合一次函数等方法求解D点坐标． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得：． 【小问2详解】 在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∵M为线段上的点， ∴设，且， ∵将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N， ∴， ∵点N恰巧在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， 当时，， ∴； ∵， ∴． 【小问3详解】 解：在x轴上存在点D，使得． 当点D在x轴正半轴上时，如图，过点A作轴交x轴于点， 则， 此时点； 当点在x轴负半轴上时，如图，设与y轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴； 综上所述，点D的坐标为或． 27. 如图，在中，为直角，点在斜边上，连接，以为直径作，分别交，于点，．连接交于点，交于点，连接，使， （1）求证：是的切线； （2）求证； （3），，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线． （2）证明：连接，连接交于点H． ∵是的直径， ∴． ∵为直角， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，即可证出，由，可证，继而证得即可得证． （2）连接、连接交于点H．证明，得．由，得，得．由，得，得．由，得，得．得． （3）连接，可得，由直径性质可得，，由圆周角性质得，得，由得，得，由勾股定理求出，得，得的半径为．即可求的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图， 由（1）知，， ∴， 由（1）知，为的直径， ∴． ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的半径为． ∴的面积为． 28. 对于抛物线（），如果抛物线与x轴有两个交点，我们就将它的顶点以及它与x轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形”． （1）若抛物线有“内接三角形”，求m的取值范围． （2）如图1，抛物线与x轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”为等边三角形． ①求的值； ②如图2，若该抛物线经过点，的平分线交于点P，点M为射线上一点．连接直线交射线于点N，求的值． 【答案】（1） （2）①6；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的“内接三角形”定义知：要使抛物线有内接三角形，必须，即，据此求解即可； （2）①设，则，根据一元二次方程根与系数关系及抛物线顶点坐标可得：，顶点，过点D作轴，垂足为C，利用等边三角形性质建立方程求解即可； ②把点代入，得：，再由，可得，再由为等边三角形，平分，利用三角函数定义即可求得，作轴交于点E，作轴交延长线于点F，则轴，可证，，再根据相似三角形的性质可得，再根据三角函数定义求出即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线有“内接三角形”， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：①设，则是方程的两个根， 所以，， ∴， 由顶点坐标公式可得：， ∵是等边三角形， ∴， 如图，作轴于点C，则，， 在中，， ∴， 两边平方得：， 即， 整理得：， 解得：或9， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，解得， ∴； ②∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴解析式为， ∴， ∴，即， ∵平分，是等边三角形， ∴，， ∴， 如图，作轴交于点E，作轴交延长线于点F，则轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 如图，作于G，则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形性质，三角函数等，熟练掌握相关知识，理解新定义，灵活运用方程思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $