精品解析：黑龙江省大庆市让胡路区大庆第一中学九年级下学期第一次月考数学试卷

2025大庆一中初四下第一次月考数学数学试卷 注意事项： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共28题，总分120分． 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2. 电影《哪吒2》上映21天便登顶全球动画票房榜榜首，它的票房已超130亿，还在不断刷新着各项纪录，其中130亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，正确的确定的值即可． 【详解】解：130亿． 故选D． 3. 下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 4. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据从上面看到的图形是几何体的俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看，如图所示： 故选：C． 5. 若|x+2|+（y﹣3）2＝0，xy的值是（　　） A. ﹣8 B. 5 C. ﹣6 D. ﹣9 【答案】A 【解析】 【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出x、y的值，再代入计算有理数的乘方即可得． 【详解】解：因为， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘方运算，熟练掌握绝对值与偶次方的非负性是解题关键． 6. 如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等；由平行四边形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，由三角形的内角和定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ， 故选：B． 7. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 每条边都相等的多边形是正多边形 C. 三角形的一个外角大于任意一个内角 D. 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题、正确记忆相关知识点是解题关键．根据垂线的性质、三角形外角性正多边形的定义，角平分线的性质，逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，故该选项符合题意； B. 每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 三角形的一个外角大于任意与之不相邻的一个内角，原命题是假命题，故该选项不符合题意； D. 在角的内容，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，原命题是假命题，故该选不项符合题意； 故选：A． 8. 已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则可能小于0也可能大于0 C. 若，点，在同一象限，则 D. 若，点，在不同象限，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断和，该反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解； 【详解】A、若，则随的增大而减小，不知道的值在哪个象限，无法判断，故A错误； B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则可能小于0也可能大于0，故B正确； C．若，点，在同一象限，则随的增大而减小，所以，故C错误； D．若，点，在不同象限，则，故D错误； 故选：B 9. 对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A. c＜ B. 0＜c＜ C. ﹣1＜c＜ D. ﹣1＜c＜0 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个实数根，由△＞0且x=1时y＞0，即可求解． 【详解】解：由题意知二次函数y=x2+x+c有两个不相等且小于1的二倍数， ∴x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1， 整理，得：x2-x+c=0， 由x2-x+c=0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1-4c＞0①， 令y=x2-x+c，画出该二次函数的草图如下： 而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x=1时，y=x2-x+c=c＞0②， 联立①②并解得： 0＜c＜， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式． 10. 如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角，连接交于点，分别交、于点、、为线段上一动点，为线段上一动点，且．连接、．以下个结论：①；②；③；④当的值最小时，．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据是等边三角形，是等腰直角三角形，得出，进而求出，，即可判断；②求出，即可判断；③在上截取，连接，通过证明，为等边三角形，即可判断；④过点作，使，连接，证明，则，作点关于的对称点，连接，交于点，此时最小，求出，则，得出在的角平分线上，进而根据角平分线的性质结合三角形的面积公式，即可判断． 【详解】解：①∵是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴故②正确； ③在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴，故③正确； ④过点B作，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点Q关于的对称点，连接，交于点N， 此时最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在的角平分线上， 则到的距离相等，设到的距离为， ∵ ∴ ∴故④不正确； 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线． 二．填空题（共8小题，满分24分） 11. 函数中自变量x的取值范围是____． 【答案】x≥2 【解析】 【分析】 【详解】解：由被开方数必须≥0， 所以， 解得x≥2. 故答案为： 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右．由此可以估计盒子中红色小球的个数是 _____个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据题意，这是由频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可得到答案，理解大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，由此估计，摸到红色小球的概率是0.4， 设盒子中红色小球的个数是，则，解得， 故答案为：． 14. 已知关于x的不等式的最小整数解是1，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．先用含的代数式表示出不等式的解集，再根据最小整数解为1，即可求出实数的取值范围. 【详解】解：， ∴， 解得：, ∵关于x的不等式的最小整数解是1， ∴， 解得：. 故答案为：． 15. 已知等底等高的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥的底面半径与高的比值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥和圆柱的侧面积公式，解题的关键是掌握圆锥和圆柱的侧面积公式，根据圆锥和圆柱的侧面积公式计算求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为， ∵等底等高的圆锥和圆柱的侧面积相等， 故答案为：． 16. 如图，已知直线l：，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点；……；按此作法继续下去，则点的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键．先求出点B的坐标为，得到，求出，再求出得到，求出；同理得到，，；由此得到规律，即可求出答案． 【详解】将代入中得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理：，， ∴， ∴； ， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，的直径为，是上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆周长公式，根据得到，即可得到点H是以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，最后利用圆的周长公式求解即可得到答案； 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴点是以为直径的半圆上运动， ∵的直径为， ∴， ∵， ∴， ∴点运动的路径长为， 故答案为：． 18. 已知抛物线上有、两点，且横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结，作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形．当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，则的取值范围是________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与菱形的性质，一次函数的性质；先确定的坐标，求得直线的解析式，进而根据菱形的性质求得的坐标，当时，且点在抛物线对称轴左侧时，满足题意；当，根据题意得出经过抛物线顶点，且在抛物线的左侧时符合题意，即可求解． 【详解】解：上有、两点，且横坐标分别为、，则点的坐标为，点的坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同， 点的坐标为 设直线的解析式为 解得： 直线的解析式 的中点坐标为 垂直平分线为，点的坐标为 设直线的解析式为 解得： 直线的解析式为 ，抛物线顶点 ∵不重合，则， 如图所示，当时， 当在对称轴的左侧时，抛物线在菱形内部随增大而减小． ∴ 当时，当直线经过抛物线顶点时，如图所示 抛物线在菱形内部随增大而减小． 解得：或（舍去） 的取值范围为： 故答案为：或． 三．解答题（共10小题，满分66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关运算法则．根据特殊三角函数值、零指数幂、去绝对值的法则计算即可． 【详解】解：原式 20. 先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解． 【详解】解：原式 因为，， 所以，， 所以只能为0， 当时，原式． 21. 为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 【答案】每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为，根据数量、总金额与单价的关系，找到等量关系，列分式方程求解，并检验作答． 【详解】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为元． 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合实际， ∴． 答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元． 22. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目．为了解学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息： 的成绩为：71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79． 创意设计比赛 科技竞赛 甲的成绩 95 90 乙的成绩 92 95 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是______分； （3）请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩按的比例确定这次活动每个人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下，通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 【答案】（1） 补全图形如下： （2）78 （3）600人 （4）乙 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体，加权平均数，掌握基础的统计知识是解本题的感觉． （1）先求解总人数，再求解的人数，再补全图形即可； （2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （3）由总人数乘以80分（含80以上）的人数百分比即可得到答案； （4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可． 【小问1详解】 解：∵，而有20人， ∴有（人）， 【小问2详解】 解：∵， 而的成绩为： 71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79． ∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：78，78； 中位数为（人）， 故答案为：78； 【小问3详解】 解：估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80（分）的人数为： （人）， 答：估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80（分）的人数为600人； 【小问4详解】 解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴乙的综合成绩更高 23. 如图，平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在线段BC上，，连接EO并延长交AD边于点F． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若，，直接写出菱形AECF的面积：______． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DO＝BO，AD＝BC，ADBC， ∴∠ODF＝∠OBE， ∵∠DOF＝∠BOE， ∴△DOF≌△BOE（ASA）， ∴DF＝BE， ∴AD−DF＝BC−BE， ∴AF＝CE， ∵AFCE， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵AE＝CE， ∴平行四边形AECF为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得DO＝BO，AD＝BC，ADBC，然后利用平行线和线段中点证明△DOF≌△BOE，从而利用全等三角形的性质可得DF＝BE，进而可得AF＝CE，即可证明四边形AECF为平行四边形，最后根据菱形的判定方法，即可解答； （2）根据菱形的性质可得AC⊥EF，AC＝2AO，OE＝EF＝2，EF平分∠AEC，从而可求出∠AEF＝60°，然后在Rt△AEO中，根据勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，最后根据菱形AECF的面积＝AC·EF，进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形AECF为菱形， ∴AC⊥EF，AC＝2AO，OE＝EF＝2，EF平分∠AEC， ∵∠AEC＝120°， ∴∠AEF＝∠AEC＝60°， ∴∠OAE＝30°， 在Rt△AEO中，AE＝2OE＝4， ∴AO＝， ∴AC＝2AO＝， ∴菱形AECF的面积＝AC·EF＝××4＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，某景区平面地图中景点D在出发点A的正北方向800米处，观景点B在出发点A的西北方向且在景点D的西南方向，在出发点A的北偏东方向有一条栈道通往游客中心C，游客中心C在景点D的北偏东方向上，(参考数据：) （1）请求出栈道的长度（结果保留根号）； （2）小华计划从出发点A前往景点D，可以选择路线①沿A─B─D慢跑，也可以选择路线②沿A─C─D骑自行车，小华慢跑的速度为每分钟120米，骑自行车的速度比慢跑的速度每分钟快60米，请问小华选择哪条路线先到达景点D？(结果保留小数点的后一位) 【答案】（1）米； （2）路线② 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）过作于，由直角三角形的特征得，，由等腰三角形的性质求出，即可求解； （2）①由等腰三角形的判定及性质及三角函数得，求出此条路线是时间；②，求出此条路线是时间，即可求解； 【小问1详解】 解：过作于， ，， ， ， ， ， ， ， 故栈道的长度为米； 【小问2详解】 解：①， ，， ∴， ， （分钟）； ②由（1）得 ， ， （分钟）； ， 小华应该选择路线②可以先到达景点D． 25. 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是． （1）求，的值； （2）根据图像，直接写出当时自变量的取值范围； （3）若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）由待定系数法求出函数解析式，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）分两种情况：或讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴， 代入，得， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴ 代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：观察函数图象知：当时，自变量x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：由（1）知：， 当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 综上，点P的坐标为或． 26. 某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元．设第x天的销售价格为y（元），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，y与x满足一次函数关系，且当时，；时，．②m与x的关系为． （1）当时，y与x的关系式为_________； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元，且日销售利润W（元）随x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2）x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）依据题意利用待定系数法，易得出当时，y与x的关系式为：． （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出每天的销售利润（元）与销售价x（元）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． （3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴，求得a即可． 【小问1详解】 解：依题意，当时，；时，， 当时，设y与x的关系式为，则有 ， 解得， ∴y与x的关系式为：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意， ∵， ∴， 整理得，， 当时， ∵W随x增大而增大， ∴时，取最大值， 当时，， ∵， ∴时，W取得最大值，此时， 综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元． 【小问3详解】 解：由题意知，， ∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，且， ∴对称轴，得， ∵， ∴a的取值范围为． 27. 如图1，以的边为直径作交于点，连接，点为上一点（不与端点重合），连接，作于点，延长交于点，交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如图2，延长交于点，若，，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵∠BGD=∠ACE，且∠AMG=∠CMF， ∴180°-∠BGD-∠AMG=180°-∠ACE-∠CMF，即∠GAM=∠CFM， ∵DF⊥CE， ∴∠GAM=∠CFM=90°， ∴OA⊥BG， ∴BG是⊙O的切线； （2）证明：∵AC为⊙O直径， ∴∠ADC=∠ADB=90°， ∵OA⊥BG， ∴∠B=90°-∠ACB=∠DAC， ∴△ADB∽△CDA， ∴， ∴AB•AD=AC•BD， ∵∠B=∠DAC，∠BGD=∠ACE， ∴△BGD∽△ACE， ∴， ∴AC•BD=BG•AE， ∴AB•AD=BG•AE， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由∠BGD=∠ACE，且∠AMG=∠CMF，可得∠GAM=∠CFM=90°，即得结论； （2）由△ADB∽△CDA可得，即AB•AD=AC•BD，由△BGD∽△ACE可得，即AC•BD=BG•AE，从而可得结论； （3）设CH交⊙O于N，连接AN，先证明∠ACH=∠BCH=∠EDF=∠BGD=∠HAN=∠NAD，再由△AHN≌△AEN得HN=EN=2，求出AH、AE，再求AC和EC，最后根据△AEC∽△BHC，即可得BC． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）设CH交⊙O于N，连接AN，如图： ∵AC为⊙O直径， ∴∠ADC=90°=∠ANC， ∵DF⊥CE， ∴∠FCD=90°-∠FDC=∠EDF，AN∥DG， ∴∠BGD=∠HAN，∠NAD=∠ADG， ∵∠ACH=∠BCH，∠BGD=∠ACE， ∴∠ACH=∠BCH=∠EDF=∠BGD=∠HAN=∠NAD， 在△AHN和△AEN中， ∴△AHN≌△AEN（ASA）， ∴HN=EN=HE，AH=AE， ∵HE=4， ∴HN=EN=2， ∵sin∠BGD=， ∴sin∠HAN=， Rt△AHN中， ∴AH=5=AE， Rt△AHC中，sin∠ACH=sin∠BGD=， ∴， ∴CH=， ∴， ∵∠B=∠DAC，∠ACE=∠BCH， ∴△AEC∽△BHC， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的切线判定、圆中的计算及相似三角形的性质、判定等综合知识，解题的关键是熟练掌握三角形全等、相似及圆的相关性质． 28. 如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）如图1，点，是两动点，分别连接，，请求出的最大值，并求出的值； （3）如图2，的角平分线交轴于点，过点的直线与射线，分别于，，当直线绕点旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为， （3）为定值 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）当时，求得的值，从而得出点坐标，令，求得的值，进而求得、两点坐标； （2）将点向上平移个单位至，作点关于直线的对称点，作直线交直线于点，则最大值是：的长，进一步求得结果； （3）根据题意过点作轴，交于点，过点作，交射线于点，过点作，交射线于点，根据相似三角形的性质求出，进而即可进行分析解答． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时， 解得： 【小问2详解】 如图1， 将点向上平移个单位至，作点关于直线的对称点，则 ∴ 作直线交直线于点，，则最大值是：的长， 的最大值为， 直线的解析式为：， 当时，， ； 【小问3详解】 为定值，理由如下： 过点作轴，交于点，过点作，交射线于点，过点作，交射线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得 由（1）得，，， ， ， ， ∴为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025大庆一中初四下第一次月考数学数学试卷 注意事项： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共28题，总分120分． 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 电影《哪吒2》上映21天便登顶全球动画票房榜榜首，它的票房已超130亿，还在不断刷新着各项纪录，其中130亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若|x+2|+（y﹣3）2＝0，xy的值是（　　） A. ﹣8 B. 5 C. ﹣6 D. ﹣9 6. 如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 每条边都相等的多边形是正多边形 C. 三角形的一个外角大于任意一个内角 D. 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 8. 已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则可能小于0也可能大于0 C. 若，点，在同一象限，则 D. 若，点，在不同象限，则 9. 对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A. c＜ B. 0＜c＜ C. ﹣1＜c＜ D. ﹣1＜c＜0 10. 如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角，连接交于点，分别交、于点、、为线段上一动点，为线段上一动点，且．连接、．以下个结论：①；②；③；④当的值最小时，．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二．填空题（共8小题，满分24分） 11. 函数中自变量x的取值范围是____． 12. 因式分解：________． 13. 一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右．由此可以估计盒子中红色小球的个数是 _____个． 14. 已知关于x的不等式的最小整数解是1，则实数a的取值范围是________ 15. 已知等底等高的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥的底面半径与高的比值为________ 16. 如图，已知直线l：，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点；……；按此作法继续下去，则点的坐标为________ 17. 如图，的直径为，是上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为________ 18. 已知抛物线上有、两点，且横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结，作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形．当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，则的取值范围是________ 三．解答题（共10小题，满分66分） 19. 计算：． 20. 先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 21. 为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 22. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目．为了解学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息： 的成绩为：71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79． 创意设计比赛 科技竞赛 甲的成绩 95 90 乙的成绩 92 95 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是______分； （3）请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩按的比例确定这次活动每个人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下，通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 23. 如图，平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在线段BC上，，连接EO并延长交AD边于点F． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若，，直接写出菱形AECF的面积：______． 24. 如图，某景区平面地图中景点D在出发点A的正北方向800米处，观景点B在出发点A的西北方向且在景点D的西南方向，在出发点A的北偏东方向有一条栈道通往游客中心C，游客中心C在景点D的北偏东方向上，(参考数据：) （1）请求出栈道的长度（结果保留根号）； （2）小华计划从出发点A前往景点D，可以选择路线①沿A─B─D慢跑，也可以选择路线②沿A─C─D骑自行车，小华慢跑的速度为每分钟120米，骑自行车的速度比慢跑的速度每分钟快60米，请问小华选择哪条路线先到达景点D？(结果保留小数点的后一位) 25. 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是． （1）求，的值； （2）根据图像，直接写出当时自变量的取值范围； （3）若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标． 26. 某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元．设第x天的销售价格为y（元），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，y与x满足一次函数关系，且当时，；时，．②m与x的关系为． （1）当时，y与x的关系式为_________； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元，且日销售利润W（元）随x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？ 27. 如图1，以的边为直径作交于点，连接，点为上一点（不与端点重合），连接，作于点，延长交于点，交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如图2，延长交于点，若，，，求的长． 28. 如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）如图1，点，是两动点，分别连接，，请求出的最大值，并求出的值； （3）如图2，的角平分线交轴于点，过点的直线与射线，分别于，，当直线绕点旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $