黑龙江大庆外国语学校2025—2026学年度第二学期初四年级第七次数学阶段学情自测

**基本信息** 本试卷以初四年级数学核心知识为载体，通过生活情境（如烤肉礼盒购买）、数学文化（如类比求tan22.5°）及跨模块综合题（如抛物线与直线距离），分层考查运算能力、推理意识与空间观念，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|几何体视图、中心对称、代数运算等|结合汽车图案考中心对称，类比tan15°方法求tan22.5°| |填空题|8/24|函数自变量、科学记数法、因式分解等|点坐标规律探究（P₂₀₂₆坐标），旋转函数综合题| |解答题|10/66|方程应用、统计概率、几何证明、函数综合等|智能手表进价应用题，圆与三角形综合证明，抛物线与直线距离最值探究|

( △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ 准考证号 班 级 姓 名 △△△△△○ △△△△△ 装 △△△△△ △△△△△ 订 △△△△△ △△△△△ 线 △△△△△ △△△△△ 内 △△△△△ △△△△△ 不 △△△△△ △△△△△ 要 △△△△△ △△△△△ 答 △△△△△ △△△△△ 题 △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ )2025—2026学年度第二学期初四年级 数学试题 1. 本试卷共4页、28题、120分。考试时间120分钟。 2. 答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚。 3. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 5. 保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　） A． B． C． D． 2．下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．3x+3y＝6xy B．（﹣3xy）2＝6x2y2 C．x6÷x3＝x2 D．（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2 4．把分式的分子分母中的a，b都扩大到原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 5．若关于x的方程（k+1）x2+3x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B．且k≠﹣1 C．且k≠﹣1 D． 6．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，令AC＝1，则AB＝BD＝2，，所以＝．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B． C． D． 第6题 第7题 7．如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　） A． B．4 C． D．5 8．如图有一正六边形ABCDEF与一正n边形的部分图形，其中G、E、H、I为正n边形中连续的四个顶点，F在GE上，C、D、H、I四点共线．求n值为何？（　　） A．8 B．10 C．12 D．15 9．“齐齐哈尔烤肉”是当地特色美食．某商场推出大、小两种牛肉礼盒，每个大礼盒含牛肉5千克，每个小礼盒含牛肉3千克，某游客欲购买45千克的牛肉，且大、小礼盒均可选购（允许只购买一种礼盒），则不同的购买方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．5种 D．4种 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是平面内一点，∠AED＝45°，连接DE．过点A作AE的垂线交直线DE于点P．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③当∠ADE＝30°时，；④CP的最小值为．其中正确的结论是( )． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　 ． 12．据中国信息通讯研究院测算，截止到2025年12月，我国人工智能核心产业规模已突破120000亿元，显示出我国在人工智能领域的强劲势头．数据“120000亿”用科学记数法表示为 . 13. 因式分解：3a2﹣12＝　 　 ． 14．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝﹣的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ 　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+AP的最小值是 　 　 ． 第15题 第17题 16．直线y＝kx+b经过点（3，﹣2），当﹣1≤x≤5时，y的最大值为6，则k的值为 　 　 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，点P1，P2，P3，…均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2026的坐标为 　 　 ． 18．定义把函数C1：y＝nx2﹣4nx﹣5n（n≠0）的图象绕点P（0，m）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，函数C2的图象的顶点纵坐标为a． 下列结论正确的是 . ① 当m＝0时，新函数C2的函数解析式为； ② 若n＝1，当时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，函数C2的解析式为； ③ 当m＝1时，函数C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A'D'，若线段A'D'与函数C2的图象有公共点，结合函数图象，n的取值范围是． 三、解答题（共10个题，共66分） 19．（4分）计算：． 20．（4分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1 21．（6分）2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等．求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ 22．（7分）《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了　 　 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）该学校九年级有480名学生，估计约有多少名学生至少阅读完2部必读名著； （3）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 23．（6分）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度， 无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°已知楼AB和楼CD之间的距离BC为90米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：∠APD＝　 　 °，∠ADC＝　 　 ； （2）求此时无人机距离地面BC的高度． 24．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长． 25．（6分）某超市销售一款水杯，每个可获利12元，每周可以销售20个．经调研：售价每降低1元，每周可多销售4个．设每个降价x元（0＜x≤3），每周总利润为y元． （1）求y与x的函数表达式； （2）当x取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？ 26．（9分）如图，正比例函数l1：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线y＝x向上平移3个单位长度至直线l2，l2与y轴交于点C，与y＝（x＞0）的图象交于点B，连接AB，OB，求△OBC的面积； （3）在（2）的条件下，直接写出sin∠OAB的值． 27．（9分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，． （1）证明：AD//BF； （2）求的值； （3）求sin∠CAD的值． 28．（9分）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 数学试题参考答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A D B C C D C 5．若关于x的方程（k+1）x2+3x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B．且k≠﹣1 C．且k≠﹣1 D． 解：依题意得：k＝﹣1时，方程有实根， k≠﹣1时，Δ＝32﹣4（k+1）×1≥0， 解得k≤． 故选：D． 6．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，令AC＝1，则AB＝BD＝2，，所以＝．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B． C． D． 解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°， 延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°， 令AC＝BC＝1，则AB＝BD＝， ∴tan22.5°＝＝＝＝， 故选：B． 7．如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　） A． B．4 C． D．5 解：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0）， ∴， ∵∠DOE＝∠DOE， ∴△DOE∽△D'OE'， ∴， ∵DE＝3， ∴， 故选：C． 8．如图有一正六边形ABCDEF与一正n边形的部分图形，其中G、E、H、I为正n边形中连续的四个顶点，F在GE上，C、D、H、I四点共线．求n值为何？（　　） A．8 B．10 C．12 D．15 解：如图，延长GE交CH于点M， ∵六边形ABCDEF是正六边形，点G、E、H、I为正n边形中连续的四个顶点， ∵∠MDE＝∠MED＝＝60°，∠MEH＝∠MHE＝， ∴△MDE是正三角形，ME＝MH， ∴∠MHE＝∠EMD＝×60°＝30°， ∴正n边形的边数n＝360°÷30°＝12， 即这个正多边形是正十二边形， 故选：C． 9．“齐齐哈尔烤肉”是当地特色美食．某商场推出大、小两种牛肉礼盒，每个大礼盒含牛肉5千克，每个小礼盒含牛肉3千克，某游客欲购买45千克的牛肉，且大、小礼盒均可选购（允许只购买一种礼盒），则不同的购买方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．5种 D．4种 解：设购买大礼盒x个，小礼盒y个．每个大礼盒含牛肉5千克，每个小礼盒含牛肉3千克， 根据题意得 5x+3y＝45， 整理得 ， ∵y为非负整数， ∴x必须是3的倍数，且 ，解得 x≤9． 且x≥0，可得x的取值为0，3，6，9，共4种，对应y的取值分别为15，10，5，0，均符合要求．故选：D． 10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是平面内一点，∠AED＝45°，连接DE．过点A作AE的垂线交直线DE于点P．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③当∠ADE＝30°时，；④CP的最小值为．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 解：∵AE⊥AP， ∴∠EAP＝90°， ∵∠AED＝45°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴AE＝AP，∠APE＝∠AEP＝45°， ∴∠APD＝180°﹣∠APE＝135°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝∠DAP＝90°﹣∠BAP， ∴△BAE≌△DAP（SAS），故①正确； ∴∠BEA＝∠DPA＝135°， ∴∠BED＝∠BEA﹣∠AED＝90°，即EB⊥ED，故②正确； 如图所示，过点A作AH⊥DE， 当∠ADE＝30°时，则AH＝AD＝1， ∴AE＝AH＝，故③错误； 如图所示，作△APD的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧AD上取一点G，连接OA，OD，AG，DG， ∴∠AGD＝180°﹣∠APD＝45°， ∴∠AOD＝2∠AGD＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝45°， ∴OD＝ AD•sin∠OAD＝， 如图所示，过点O作OT⊥CD交CD延长线于T，连接OP，CP， ∴∠ODT＝∠ADT﹣∠ODA＝45°， ∴OT＝OD•sin∠ODT＝1，DT＝OD•cos∠ODT＝1， ∴CT＝CD+DT＝3， ∴OC＝＝， ∵CP≥OC﹣OP， ∴当点P在直线OC上时，CP有最小值，最小值为OC﹣OP的值，即最小值为﹣，故④正确， 故答案为：①②④．选C 二．填空题（共8小题） 11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞1　 ． 解：根据题意得到：x﹣1＞0，解得x＞1． 12．据中国信息通讯研究院测算，截止到2025年12月，我国人工智能核心产业规模已突破120000亿元，显示出我国在人工智能领域的强劲势头．数据“120000亿”用科学记数法表示为 . 解：120000亿＝12000000000000＝1.2×1013． 13．因式分解：3a2﹣12＝　3（a+2）（a﹣2）　 ． 解：3a2﹣12＝3（a2﹣4）＝3（a+2）（a﹣2）， 14．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝﹣的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ 　　 ． 解：如图，作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H， ∵点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝﹣的图象上， ∴S△BOG＝1，S△AOH＝2， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAH＝∠BOG， ∴△OAH∽△BOG， ∴＝， ∴tan∠BAO＝＝． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，按下列步骤作图： ①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD＝AE． ②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M． ③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+AP的最小值是 　　 ． 解：由作图可知，AF是∠BAC的平分线， ∴， 如图，作PH⊥AB于H， ∴， ∴， ∴当C、P、H三点共线，且CH⊥AB时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 16．直线y＝kx+b经过点（3，﹣2），当﹣1≤x≤5时，y的最大值为6，则k的值为 　﹣2或4　 ． 解：当k＜0时，直线y＝kx+b经过点（﹣1，6）， 将（3，﹣2），（﹣1，6）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴k的值为﹣2； 当k＞0时，直线y＝kx+b经过点（5，6）， 将（3，﹣2），（5，6）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴k的值为4． 综上所述，k的值为﹣2或4． 故答案为：﹣2或4． 17．如图，在平面直角坐标系中，点P1，P2，P3，…均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2026的坐标为 　（﹣506，507）　 ． 解：∵P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1）P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限纵坐标比横坐标的绝对值大1，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商， ∵2026÷4＝506…2， ∴P2026的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为﹣506，纵坐标为507， ∴P2026的坐标为 （﹣506，507）， 故答案为：（﹣506，507）． 18．定义把函数C1：y＝nx2﹣4nx﹣5n（n≠0）的图象绕点P（0，m）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，函数C2的图象的顶点纵坐标为a．下列结论正确的是 . ① 当m＝0时，新函数C2的函数解析式为； ② 若n＝1，当时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，函数C2的解析式为； ③ 当m＝1时，函数C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A'D'，若线段A'D'与函数C2的图象有公共点，结合函数图象，n的取值范围是 解：①∵y1＝nx2﹣4nx﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9n， ∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9n）． ∵当m＝0时，点P的坐标为（0，0）， ∴新函数C2的顶点坐标为（﹣2，9n）， 则C2函数的表达式为：y＝﹣n（x+2）2+9n；所以①正确； ② ∵n＝1， ∴函数C1：y1＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9）． 把x＝﹣代入函数C1，得： y1＝（﹣）2﹣4×（﹣）﹣5＝， 根据抛物线的对称性可知，当x＝时y2＝． （1 ）当﹣≤x≤时，y1+y2＜7，(不符合题意，舍去）． （②）当a＞时，y2＝﹣9，y1＝a2﹣4a﹣5， ∴y1+y2＝a2﹣4a﹣5﹣9＝7， 解得a1＝7，a2＝﹣3（不合题意，舍去）． ∴y2＝﹣（x+2）2+7＝﹣x2﹣4x+3， ∴C2的解析式为y2＝﹣x2﹣4x+3；所以②正确； ③ ∵m＝1，函数C1：y1＝nx2﹣4nx﹣5n＝n（x﹣2）2﹣9n， ∴函数C2：y2＝﹣n（x+2）2+2+9n， ∵当y2＝2时，x＝1或﹣5；当x＝0时，y2＝5n+2， ∴点A，B，D的坐标分别为（1，2），（﹣5，2），（0，5n+2）． ∵线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′， ∴点A'的坐标为（0，3），点D'的坐标为（﹣5n，2）． （1 ）当a＞0时， 当点D'在点B的左侧（含点B）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图1： ∴﹣5n≤﹣5， ∴n≥1； 当点D'在点B的右侧，且点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图2： ∴5n+2≤3， 解得n≤， ∴0＜n≤． （2 ）当a＜0时，点D'在点A的右侧（含点A）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图3： ∴﹣5n≥1， ∴n≤﹣， 综上所述，n≤﹣或0＜n≤或n≥1．所以③不正确； 正确答案是：①② 三．解答题（共10小题） 19．计算：． 解：＝＝2． 20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1 解：原式＝÷ ＝• ＝， 当a＝+1时， 原式＝＝＝． 21．2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等．求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ 解：设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价（x+40）元， 依题意，得：， 整理得，1200x＝312000， 解得x＝260， 经检验，x＝260是原方程的解且符合题意， ∴x+40＝260+40＝300（元）， ∴A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元； 22．《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了　80　 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）该学校九年级有480名学生，估计约有多少名学生至少阅读完2部必读名著； （3）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 解：（1）本次调查一共抽取了20÷25%＝80（名）学生． 由题意得，“1部”的人数为80﹣4﹣20﹣16﹣12＝28（人）， 补全条形统计图如图所示． 故答案为：80． （2）480×＝288（名）． 答：估计约有288名学生至少阅读完2部必读名著． （3）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中两人恰好阅读同一部名著的结果有4种， ∴两人恰好阅读同一部名著的概率为． 23．无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度， 无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°已知楼AB和楼CD之间的距离BC为90米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：∠APD＝　75　 °，∠ADC＝　60°　 ； （2）求此时无人机距离地面BC的高度． 解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°， ∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°． 过点A作AE⊥CD于点E， 则∠DAE＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°． 故答案为：75；60°． （2）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F， 则∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米， ∵MN∥AE， ∴∠PAF＝∠MPA＝60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠PAF＝∠ADE， ∵∠DAE＝∠30°， ∴∠PAD＝30°， ∵∠APD＝75°， ∴∠ADP＝75°， ∴∠ADP＝∠APD， 则AP＝AD， ∴△APF≌△DAE（AAS）， ∴PF＝AE＝90米， ∴PG＝PF+FG＝90+10＝100（米）． ∴此时无人机距离地面BC的高度为100米． 24．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长； （1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴， 在Rt△AOB中，，OB＝1， ∴， ∴OE＝OA＝2． 25．某超市销售一款水杯，每个可获利12元，每周可以销售20个．经调研：售价每降低1元，每周可多销售4个．设每个降价x元（0＜x≤3），每周总利润为y元． （1）求y与x的函数表达式； （2）当x取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？ 解：（1）y＝（12﹣x）（20+4x）＝﹣4x2+28x+240（0＜x≤3）； （2）y＝﹣4x2+28x+240， ∵a＝﹣4＜0，开口向下， 对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3.5， 又因为0＜x≤3，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y取得最大值＝﹣4×32+28×3+240＝288，最大值为288， 则当x＝3时，每周的总利润最大，最大总利润是288． 26．如图，正比例函数l1：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线y＝x向上平移3个单位长度至直线l2，l2与y轴交于点C，与y＝（x＞0）的图象交于点B，连接AB，OB，求△OBC的面积； （3）在（2）的条件下，直接写出sin∠OAB的值． 解：（1）∵点A（m，2）在正比例函数图象上， ∴，解得m＝4， ∴A（4，2）， ∵A（4，2）在反比例函数图象上， ∴k＝8， ∴反比例函数解析式为． （2）把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令x＝0，则y＝3， ∴记直线与y轴交点坐标为C（0，3）， 联立方程组， 解得，（舍去）， ∴B（2，4）， ∴△OBC的面积＝； （3）∵A（4，2），B（2，4）， ∴，，． 过点B作BG⊥AO，如图所示： 由题意得：BC∥AO， ∴△AOB，△AOC同底等高， ∴． ∵BG⊥AO， 则， ∴， ． 27．如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，． （1）证明：AD∥BF； （2）求的值； （3）求sin∠CAD的值． （1）证明：∵BF是⊙O的直径， ∴∠BAF＝90°， ∴AF⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴CD∥AF， ∴DG∥AF， ∴∠AFB＝∠BGD， ∵＝， ∴∠ADC＝∠ABC， ∵＝， ∴∠ACB＝∠AFB， ∴∠ADC＝∠BGD， ∴AD∥BF， （2）解：设BE＝x， ∵AB＝AC＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝5﹣x， ∵AB⊥CD， ∴∠BEC＝∠AEC＝90°， ∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2＝CE2， ∵BC＝2， ∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2， 解得x＝2， ∴BE＝2，AE＝3， ∴， 由（1）知，∠ADC＝∠BGD， ∵∠AED＝∠BEG， ∴△ADE∽△BGE， ∴， ∴； （3）解：过点D作DH⊥AC于H， 在Rt△BCE中，CE＝＝＝4， ∵＝， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵∠AED＝∠CEB， ∴△AED∽△CEB， ∴， ∴， ∴AD＝，DE＝， ∴CD＝CE+DE＝4+， ∵S△ACD＝＝AC•DH， ∴×3＝5DH， ∴DH＝， 在Rt△ADH中，sin＝， ∴sin∠CAD＝． 28．已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 解：（1）抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．将点（1，0）代入得： 1﹣a+5＝0， 解得：a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝3， ∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xC＝2xB， ∴， ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴t＝﹣3； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， 当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时， m，n为直线与抛物线的交点， ∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点的横坐标，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图： ∴当x2﹣6x+5＝12时， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， ∴n＝7，m＝﹣1， ∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8． 初四年级 数学试题 第4页， 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $