第二十六章 二次函数 章末测试卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版2024九年级上二次函数章末测试卷，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识，通过基础巩固与综合探究题梯度设计，培养抽象能力、运算能力及模型观念，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|二次函数定义（第1题）、图像性质（第3题）、顶点坐标（第4题）|基础概念辨析，结合图像判断培养几何直观| |填空题|5题|待定系数法（第12题）、抛物线平移（第13题）、利润最值（第14题）|小综合应用，渗透模型意识| |解答题|7题|综合计算（第16题）、几何与函数结合（第17题等腰三角形）、实际问题建模（第10题掷实心球）|分层设问，如第16题三问从基础到探究，第19题平行四边形存在性考查推理能力|

人教版（2024）九年级上 第二十六章 二次函数 章末测试卷 一．选择题（共10小题） 1．若函数是关于x的二次函数，则m为（　　） A．2 B．±2 C．-2 D．0 2．下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（　　） A．y=ax2+bx+c B．y=2x-3 C． D．y=3x2+x-2 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A． B．3a+b＞0 C．2a+b＜0 D．a-b+c＜0 4．关于抛物线y=-2（x-1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x=-1 C．顶点坐标是（1，3） D．x＞1时，y随x增大而增大 5．把二次函数y=x2-2x-1的解析式配成顶点式为（　　） A．y=（x-1）2 B．y=（x-1）2-2 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+1）2-2 6．某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（-6，0），开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 7．已知二次函数y=x2-2x+1，下列说法错误的是（　　） A．顶点坐标为（1，0） B．对称轴为直线x=1 C．函数图象与x轴有2个交点 D．当x＜1时，y随x的增大而减小 8．抛物线y=x2-x-1与x轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 9．若抛物线y=x2-3x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度h（m）与水平距离x（m）之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（　　） A．8m B．9m C．10m D．3m 二．填空题（共5小题） 11．抛物线y=ax2+bx+2经过点（-2，3），则2a-b=______． 12．若二次函数图象的顶点坐标为（1，-2），且经过点（2，-3），则该二次函数的关系式为______． 13．将抛物线y=x2-6x+12向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是______． 14．已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价t元时，利润最大，则t的取值范围是______． 15．已知二次函数y=ax2-bx+3图象经过（-2，7），则6a+3b+2020=______． 三．解答题（共7小题） 16．已知二次函数 y=x2-2ax+1-a. （1）若图象过点（3，3），求抛物线顶点坐标． （2）若图象与坐标轴有两个交点，求a的值． （3）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且 x1+x2=-1，求y1+y2的取值范围． 17．如图，抛物线y=x2与直线l：y=kx在第一象限内有一交点A（2，a）． （1）求直线l的表达式． （2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx（a＜0）与正比例函数y=kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D．若点A为该二次函数的顶点， （1）求二次函数的表达式； （2）求线段PC长度的最大值． 19．如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中A（-1，0），C（0，5）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为对称轴上一点，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标； （3）点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 20．如图，抛物线y=-x2-2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求A、B、C的坐标； （2）设点H是下图第二象限内抛物线上的动点，且△HAB的面积是6，求点的坐标； （3）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点A（1，0），，这条抛物线的对称轴与x轴交于点C，点P为射线CB上一个动点（不与点C重合），点D为此抛物线对称轴上一点，且∠CPD=60°． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m,△PCD的面积为S，求S与m之间的函数关系式； （3）过点P作PE⊥DP，连接DE，F为DE的中点，试求线段BF的最小值． 22．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2-10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上． （1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式； （3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 人教版（2024）九年级上 第二十六章 二次函数 章末测试卷 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、C 2、D 3、B 4、C 5、B 6、C 7、C 8、C 9、A 10、A  二．填空题（共5小题） 11、； 12、y=-（x-1）2-2（或y=-x2+2x-3）； 13、3； 14、t＞10； 15、2026；  三．解答题（共7小题） 16、解：（1）把点（3，3）代入 y=x2-2ax+1-a,得a=1， ∴函数解析式是 y=x2-2x=（x-1）2-1， ∴抛物线顶点坐标（1，-1）； （2）∵二次图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点在x轴上或者抛物线经过原点， ①抛物线顶点在x轴上，即抛物线与x轴有唯一交点． 令y=0，即 x2-2ax+1-a=0 则 Δ=（-2a）2-4（1-a）=0， 解得 ②抛物线经过原点，即1-a=0解得a=1， 当a=1时，Δ=4a2+4a-4=4＞0，满足题意． 综上所述，a的值为 或 或1； （3）∵点A（x1，y1），B（x2，y2） 是函数 y=x2-2ax+1-a 图象上有两个不同的点 ∴y1=-2ax1+1-a,y2=-2ax2+1-a, ∴y1+y2=+-2a（x1+x2）+2-2a, ∵x1+x2=-1， ∴x2=-1-x1， ∴y1+y2=+（-1-x1）2+2a-2a+2=2+2x1+3=2（x1+）2+， ∵点A，B是图象上有两个不同的点， ∴， ∴． 17、解：（1）把A（2，a）代入抛物线y=x2与直线l：y=kx,得方程组： ， 解得： ∴直线l的表达式为：y=x； （2）①当AP=AO时，作AB⊥x轴于B点，如图1， 当PB=OB时，△AOP是以OP为底的等腰三角形， 而由（1）得A（2，4）， 所以P点坐标为（4，0）． ②当OA=OP时， ∵A（2，4）， ∴OA==2， 则P（±2，0）； ③当AP=OP时，如图2，过点P作PQ⊥AO于点Q． 设P（t,0）． 则Q（1，2）． 故OA•PQ=OP×4，即×2×=t×4， 解得t=5， 即（5，0）． 综上所述，在x轴上存在一点P，使△AOP为等腰三角形；点P的坐标是（4，0）或（2，0）或（-2，0）或（5，0）． 18、解：（1）由题意可得： ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； （2）∵正比例函数y=kx经过点A（3，3）， ∴3k=3， ∴k=1， ∴正比例函数表达式为y=x, 设OD=t（0≤t≤3），则CD=t, ∴， ∴PC=PD-CD = = =， ∵． ∴当时，线段PC的长度取得最大值； 19、解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0），C（0，5）， ∴解， 得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+4x+5； （2）∵抛物线的表达式为y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，点B的坐标为（5，0）． 如图所示，点A，B关于直线x=2对称，连接BC交对称轴于点P，点P即为所求， 设直线BC的表达式为y=mx+n（m≠0）， 则 解得 ∴直线BC的表达式为y=-x+5， 当x=2时，y=3， ∴点P的坐标为（2，3）； （3）由（2）可知，抛物线的对称轴是直线x=2． 设点M（2，m），N（n,-n2+4n+5），分以下三种情况讨论． ①当AC为对角线时， ∵A（-1，0），C（0，5）， ∴2+n=-1+0， 解得n=-3， 此时-n2+4n+5=-16， ∴N（-3，-16）； ②当AN为对角线时，-1+n=0+2， 解得n=3， 此时-n2+4n+5=8， ∴N（3，8）； ③当AM为对角线时，0+n=-1+2， 解得n=1， 此时-n2+4n+5=8， ∴N（1，8）． 综上所述，点N的坐标为（-3，-16），（3，8）或（1，8）． 20、解：（1）由抛物线y=-x2-2x+3可知，C（0，3）， 令y=0，则0=-x2-2x+3，解得x=-3或x=1， ∴A（-3，0），B（1，0）． （2）∵A（-3，0），B（1，0）． ∴AB=4， ∵△HAB的面积是6，点H是第二象限内抛物线上的一点， ∴H的纵坐标为3， 把y=3代入y=-x2-2x+3得3=-x2-2x+3，解得x1=0，x2=-2， ∴H（-2，3）； （3）由抛物线y=-x2-2x+3可知，对称轴为x=-1， 设M点的横坐标为m,则PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2， ∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（-m2-2m+3-2m-2）×2=-2m2-8m+2=-2（m+2）2+10， ∴当m=-2时矩形的周长最大． ∵A（-3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b, 则解得：， ∴解析式y=x+3，当x=-2时，则E（-2，1）， ∴EM=1，AM=1， ∴S=•AM•EM=． 21、解：（1）∵抛物线过点A（1，0），， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y=（x2-6x+5）， 即y=x2-x+； （2）∵y=x2-x+=（x-3）2-， ∴抛物线的对称轴为x=3， ∴C（3，0）， ∵B（0，）， ∴OC=3，OB=， ∴tan∠OCB==， ∴∠OCB=30°， ∴∠PCD=60°． ∵∠CPD=60°， ∴∠CDP=60°， ∴△PCD是等边三角形． 如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，PG∥x轴，交CD于点G， ∵点P的横坐标为m, ∴OQ=m,CQ=3-m. ∴CP==CD，PG=CQ=3-m. ∴S△PCD=CD•PG=××（3-m）=（3-m）2， 即S=m2-2m+3（m＜3）； （3）如图2，连接PF、CF． ∵PE⊥DP，F为DE的中点， ∴PF=DE=DF． 在△CPF与△CDF中， ， ∴△CPF≌△CDF（SSS）， ∴∠PCF=∠DCF， ∴点F在∠PCD的角平分线上， ∴BF的最小值为点B到直线CF的距离． ∵∠OCB=∠BCF=30°， ∴点B到直线CF的距离等于OB， ∴BF的最小值为． 22、（1）证明：∵A（-6，0），B（4，0），C（0，8）， ∴AB=6+4=10，AC==10， ∴AB=AC， 由翻折可得，AB=BD，AC=CD， ∴AB=BD=CD=AC， ∴四边形ABDC是菱形， ∴CD∥AB， ∵C（0，8）， ∴点D的坐标是（10，8）； （2）∵y=ax2-10ax+c, ∴对称轴为直线x=-=5． 设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b, ∴， 解得． ∴y=-2x+8． ∵点M在直线y=-2x+8上， ∴n=-2×5+8=-2． 又∵抛物线y=ax2-10ax+c经过点C和M， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+8； （3）存在． 理由如下：由题意可知，P在抛物线y=x2-4x+8上，且到BD，CD所在直线距离相等，所以P在二次函数与BD、CD所在的直线的夹角平分线的交点上，而BD、CD所在的直线的夹角平分线有两条：一条是AD所在的直线，解析式为y=x+3，另外一条是过D且与BC平行的直线，解析式为y=-2x+28， 联立， 解得：（舍）或， 联立， 解得：（舍）或 所以当△PBD与△PCD的面积相等，点P的坐标为P1（，），P2（-5，38）． 学科网（北京）股份有限公司 $