第13章三角形（单元测试卷）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 第十三章三角形单元测试卷，覆盖三角形定义、性质、判定及应用，通过生活情境、动手操作与综合探究题，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10|三角形定义、高、稳定性、等腰三角形性质|结合生活实物（第3题）、折叠操作（第2题）| |填空题|6|直角三角形锐角关系、三边关系、面积计算|渗透分类讨论（第14题等腰三角形周长）| |解答题|8|中线与面积、角平分线性质、新定义探究|综合应用（23题等高三角形性质应用）、分层设问（24题多问递进）|

第十三章 三角形 单元测试卷 一．选择题（共10小题） 1．下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 3．下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 4．若等腰三角形顶角为，则这个三角形的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 7．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 二．填空题（共6小题） 11．已知，为直角两锐角，，则 12．已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ． 13．如图，在中，，，，则的度数为 ．    14．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 15．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则 .（请用含的式子表示） 16．如图，是的中线，是的中线，已知，则的面积是 ． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 18．如图，在中，于点E，为边上的中线，为中边上的中线．已知，，的面积为6． （1）与的周长之差为 ； （2）的面积为 ； （3）的面积为 ． 19．如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 20．如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 21．如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 22．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 23．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 24．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 单元测试卷 一．选择题（共10小题） 1．下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形， 故选：A． 2．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题的关键．也考查了折叠的性质．为三角形的高，则．所以，然后对各选项进行判断． 【详解】 解：是的高的是． 故选：D． 3．下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 4．若等腰三角形顶角为，则这个三角形的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．根据等腰三角形的特征以及三角形内角和为进行作答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故选：A． 5．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 6．如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外角性质，根据三角板的度数以及三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∴， 故选：D． 7．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质.根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 8．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 9．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 10．如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．已知，为直角两锐角，，则 【答案】36°或36度 【分析】根据直角三角形中，两个锐角互余计算即可． 【详解】解：∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角， ∴∠A＝90°−∠B＝36°， 故答案为：36° 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 12．已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据三角形存在的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可． 本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9，， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，则的度数为 ．    【答案】83 【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 14．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据非负数的性质得到则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 15．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则 .（请用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故填：． 16．如图，是的中线，是的中线，已知，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的中线把三角形面积平分的性质．由于是的中线，那么和的面积相等，又因为是的中线，由此得到和面积相等，而，由此即可求出的面积． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 而， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边． 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解． 【详解】解：除外，还有、、、， ∴除外，图中还有4个三角形 其中，是和的边． 18．如图，在中，于点E，为边上的中线，为中边上的中线．已知，，的面积为6． （1）与的周长之差为 ； （2）的面积为 ； （3）的面积为 ． 【答案】 2 3 1.5 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线性质，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义，得到，再根据三角形周长的公式，代入化简，即可求得答案； （2）根据三角形的中线的性质，中线将的面积平分，可得到，据此即可求解； （3）根据三角形中线的性质，得到中线将的面积平分，进而得到，据此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴与的周长之差为2． 故答案为：2； （2）∵为边上的中线， ∴． ∴， 故答案为：3； （3）∵为边上的中线， ∴． ∴． 故答案为：1.5． 19．如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 20．如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 21．如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 22．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由三角形的中线定理可得：，，再结合，即可求解； （2）根据三角形的外角性质可求出，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：是的中线，的面积为， ，， ， ， ； （2），， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． 23．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ．    （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 24．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $