第一章有理数提升练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第一章 有理数 培优提升专题1 正数和负数 1.(2026 东莞模拟)通常近视超过200 度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50 度记录为“-0.50D”,近视100 度记录为“ -1.00D”等.下列4个验光记录中，需要持续佩戴眼镜矫正视力的是( ) A. - 2.50D B. - 1.50D C. - 1.00D D. - 0.50D 2.物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3 吨，若记运进物资为“+”，运出物资为“-”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为( ) A.-8 吨 B.-2吨 C. +2吨 D. +8 吨 3.(2026福建期末)体育课上，七年级男生进行了引体向上测试.以能做7个为标准，多于标准的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩为+2,-1,+3,0,-2,-3,+1,0. (1)这8名男生中达到标准的占百分之几? (2)他们共做了多少次引体向上? 4.某地区的气温受冷空气的影响产生变化，当天早上的气温是-2℃，中午的气温升高5℃，晚上的气温又降低了10℃，晚上的气温为多少? 5.(2026海南期末)如图，根据机器零件的设计图纸(单位：mm)，按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差 mm. 6.(2026山东期末)综合与实践. 【问题情境】中秋节又要到了，乐乐和妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼(共计8枚). 【提出问题】回家后，妈妈鼓励乐乐用单次称重不超过100克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质量是否合格. 【分析问题】乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为(560±5)克，于是乐乐确定了以下解决方案. 【解决问题】把8 枚月饼的质量称重后统计列表如下：(单位：克) 第n枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 69.2 70.3 70.8 69.3 69.6 70 69.3 70.8 为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出表格(数据不完整)如下： 第n枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 -0.8 a +0.8 b -0.4 c -0.7| +0.8 (1)乐乐选取的这个标准质量是 克； (2)a= ,b= ,c= ; (3)乐乐对妈妈说这盒月饼的总质量是合格的，请你通过计算说明理由 培优提升专题2 有理数与数轴、相反数 类型1 有理数的排列规律 1.观察一列数:-1,3,-5,7,-9,11,-13,….按照这列数的排列规律，第9个数应该是 . 2.观察下面的一列数，按照它们排列的规律写出接下来的两个数： , , ,…. 3.观察一列数： , ，…，根据规律写出第7个数是 ， 是第 个数. 4.观察一列数： …,根据规律写出第8个数是 . 类型2 数轴、相反数 5.(2026湖北期末)若一个数的相反数是最小的正整数，则这个数是 . 6.小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数轴，墨迹盖住的整数有 个. 7.已知a是-[-(-5)]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数为它本身的数，求3a +4b+5c的值. 8.如图，数轴上一格表示2个单位长度. (1)若点 B 与点D 所表示的数互为相反数，则点 D所表示的数字为 ； (2)若点 A 与点 D 所表示的数互为相反数，则点 D所表示的数字为 ； (3)若点 B 与点 F 所表示的数互为相反数，则点 D所表示的数字的相反数为 . 9.李老师不小心把墨水洒在了如图所示的数轴上.请同学们帮助老师把这条数轴补充完整，并在补好的数轴上标出你喜欢的一个正整数、一个负整数、一个负分数. 10.点A，B，C 为数轴上的三点，将点 A 先向左移动7个单位长度，再向右移动4个单位长度，得到点 B，且A，B两点对应的数恰好互为相反数，已知点 C与点B 之间的距离为5，求点 C 对应的数. 11.(2026石家庄期末改编)如图,点A,O,B在数轴上表示的数分别为-6，0，10，点C 是数轴上一动点，其表示的数为x. (1)若点 C到A，B两点的距离相等，点C 表示的数是 ； (2)若点C与A，B其中一点表示的数互为相反数，则点 C 与A，B中另一点的距离是 ； (3)若点 C 到点 B 的距离是点 C 到点 A 距离的3倍，则点 C 对应的数是 ； (4)数轴上是否存在点 C，使得点 C 在数轴上，且到点A，点B距离之和为25?若存在，直接写出x的值；若不存在，说明理由. 培优提升专题3 数轴上的折叠、动点问题 类型1 数轴上的折叠问题 1.如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示-2的点与表示 4 的点重合，则表示3 的点与表示 的点重合. 2.(2026 陕西期末)一条数轴上有点A,B,C,其中点A，B 表示的数分别是-16，9.现以点 C 为折点，将数轴向右对折，若点 A 对应的点 A'落在点 B 的右边,并且A'B=3,则点 C 表示的数是 . 3.(2026北京期末)已知在纸面上有一数轴(如图所示). (1)操作一：折叠纸面，使表示数1 的点与表示数-1的点重合，则此时表示数4 的点与表示数 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数-2的点重合，回答下列问题： ①表示数9 的点与表示数 的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10(点A 在点 B 的左侧)，A，B两点所表示的数分别是多少? ③在②的条件下，在数轴上找到一点 P，设点 P 表示的数为x.当PA+PB=12时,直接写出x的值. 类型2 数轴上的动点问题 4.(2025 广州一模)在数轴上,点A,B 在原点O 的两侧，分别表示数a和3，将点A 向左平移1个单位长度,得到点 C.若CO=BO,则a的值为( ) A. - 4 B. - 3 C. - 2 D.1 5.如图，在数轴上，点A，点B 表示的数分别是-10，12.点P 以2个单位长度/秒的速度从点 A 出发沿数轴向右运动，同时点 Q 以3个单位长度/秒的速度从点 B 出发沿数轴在B，A之间往返运动.当点 P到达点 B 时，点Q 表示的数是 . 6.一个动点M 从一水平数轴上距离原点4 个单位长度的位置向右运动2s，到达点A 后立即返回，向左运动7 s到达点B.若动点M 的运动速度为每秒2.5个单位长度，求此时点B 在数轴上所表示的数的相反数. 7.(2026山东期中)已知a，b分别是数轴上两个不同点A,B所表示的有理数,且|a|=5,|b|=2,A,B 两点在数轴上的位置如图所示. (1)试确定数a= ,b= ; (2)A，B两点相距 个单位长度； (3)点P 从点A 出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4 个单位长度，…，依次操作2 025 次后，求点P表示的数. 培优提升专题4 绝对值的几何意义、绝对值的性质 类型1 绝对值的几何意义 1.综合应用. |m-n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离. (1)|x|的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； (2)|2-1|的几何意义是数轴上表示2 的点与表示1的点之间的距离,则|2-1|= ; (3)|x-3|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若|x-3|=1，则x= ; (4)|x+2|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若|x+2|=2，则x= . 2.综合探究:同学们都知道,|5-(-2)|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)|5-(-2)|= ; (2)若x是所有符合|x+3|+|x-2|=5的整数,则x= ; (3)由以上探索猜想,对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|的最小值为 . 3.(2026揭阳期中)大家知道|5|=|5-0|,它在数轴上表示5 的点与原点(即表示0 的点)之间的距离.又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即若点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点的距离可表示为|AB|=|a-b|. (1)数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ； (2)点A，B在数轴上分别表示实数x和-1. ①用含 x 的式子表示 A，B两点之间的距离为 ; ②若|AB|=2,则x的值为 ; (3) 直接写出|x+1|+|x-4|的最小值及相应的x的取值范围. ◆类型 2 若|a|+|b|=0,则a=0,b=0 4.(2026 清远月考)已知|x-2|+|3-y|=0,则x的值是 . 5.(2026 河北期末)若|a-4|+|b-6|=0,则2a-b= . 6.(2026 佛山期中)若|a-1|与|b+2|互为相反数,则a= ,b= . 7.若|2x-4|+|y-3|=0,则2x-y= . 8.已知|x-2|+|y+3|=0. (1)求x,y的值; (2)求2|x|-|y|的值. ◆类型 3 若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0 9.已知|a|=a,|b|=-b,且数轴上表示a的点A到原点的距离为5，表示b的点 B 到原点的距离为8，求A，B两点的距离. 10.若|a-1|=2,|b+1|=5,|a|=a,求|a|+|b|的值. 培优提升专题5 教材难题生长题 近几年广东中考省卷中，压轴大题大多由教材的课后难题整合演变而来，因此，我们在平时的练习中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特在每章末精选人教版教材中的难题进行解析，并拓展生长出新题，帮助学生更好地突破难点和提升思维. 教材难题 1.【例】(人教7上 P6拓广探索)(运算能力、推理能力、应用意识)如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次.例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“-2”，再逆时针旋转3个小格记为“+3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5，-2，+3”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数?如果一组开锁密码为“-15，+10，-5”，要想打开锁，应如何旋转锁盘?锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数? 一解题思路：根据题中所述弄清正负数表示的旋转方向，再依次找出每组操作中三次旋转后的位置，即可得到结果. 难题生长 2.如图1，一只甲虫在5×5的方格(每一格边长为1)上沿着网格线运动.它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负.例如：从A到B记为A→B(+1，+3)；从C到D记为C→D(+1，-2)(其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向). (1)填空:A→C( , );C→B( , ); (2)若甲虫的行走路线为A→B→C→D→A，请计算甲虫走过的路程； (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为A→M(+2,+3),M→N(+2,-1),N→Q(-2,+2),请依次在图2上标出点M，N，Q的位置. 教材难题 3.【例】(1)【人教7上P17拓广探索)(运算能力、几何直观、推理能力)在数轴上，如果点A，B分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是5，那么这两个点所表示的数分别是多少? (2)(人教7上P23 拓广探索)(抽象能力、运算能力、推理能力)如果|x|=2，那么x一定是2吗?如果|x|=0，那么x等于几?如果x=-x，那么x等于几? ◇解题思路：(1)运用数形结合思想，根据点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数，可知两个数到原点的距离相等，再根据相反数的定义，即可求出这两个数；(2)根据绝对值的意义，结合数轴进行判断. 难题生长 4.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究: ①数轴上表示5 和2 的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示-2和-6的两点之间的距离是 ； ③数轴上表示-4和3 的两点之间的距离是 . (2)归纳: 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|. (3)应用: ①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为|a-3|=7，那么( ②若数轴上表示数a的点位于-4与3之间，求| 的值. (4)拓展: ①受以上启发，当表示数a的点在什么位置时，|a+6|+|a-2|的值最小?最小值是多少? ②当a取何值时,|a+4|+|a-1|+|a-3|的值最小,最小值是多少?请说明理由. 培优提升专题6 全国视野培优特训 1.(2026 广州期末)数轴上有两点A,B,点A在点B左侧,原点O 是线段AB上的一点,已知AB=4,且OB=3OA.点A,B对应的数分别是a,b,点 P 为数轴上的一动点，其对应的数为x. (1)a= ,b= ; (2)若PA=2PB,求x的值; (3)若点 P 以每秒2个单位长度的速度从原点O 向右运动，同时点A，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒.请问在运动过程中，3PB-PA 的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值. 2.(2025 珠海期末)综合与实践. 数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础.小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： (1)折叠纸面，若使1 表示的点与-1表示的点重合，则-5表示的点与 表示的点重合； 操作二： (2)折叠纸面，若使5 表示的点与-3表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为 C，则 C 点表示的数是 ; ②-1表示的点与 表示的点重合； ③若数轴上A 点表示的数为a，B点表示的数为b(A在B的左侧)，折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置. 3.(2026 苏州期中)数学课上李老师说：咱们一起来玩一个找原点的游戏吧！ 【情境设计】(1)如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数. ①如果点A 所表示的数是-5，那么点 B 所表示的数是 ； ②在图1中标出原点O 的位置； 【操作判断】(2)如图2 是小慧所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等. ①根据小慧提供的信息，标出隐藏的原点 O 的位置； ②写出此时点 C 所表示的数是 ； 【拓展探究】(3)如图3，数轴上标出若干个点，其中点A，B，C，D所表示的数分别为a,b,c,d. ①线段AC 的长为 ; ②如果数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位长度(如BC=1),且d-2a=10,直接判断此时数轴上的原点是A，B，C，D中的哪一点. 4.(2026 湘潭期末)同学们都知道,|5-2|表示5与2之差的绝对值，|5-2|也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图1，试回答： (1)|-5-2|= ,这个算式利用数轴可理解为 ； (2)利用以上知识求使|x+5|=7成立的所有整数； (3)直接写出使|x+5.3|+|x-2.6|=7.9成立的所有整数； (4)如图2，在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且AB=BC=CD，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间，为什么? 第一章 有理数 培优提升专题1 正数和负数 1. A 2. C 3.解：(1)8名男生中达到标准的人数为5人，则达标率为 (2)8名男生的依次做了9,6,10,7,5,4,8,7个引体向上,则他们共做引体向上9+6+10+7+5+4+8+7=56(次). 4.解：因为早上的气温是-2℃，中午的气温升高5℃，所以中午的气温为3℃， 又因为晚上的气温又降低了10℃， 所以上晚上的气温为-7℃. 5.0.02 6.解:(1)70 (2)+0.3 - 0.7 0 (3)70×8-0.8+0.3+0.8-0.7-0.4+0-0.7+0.8=559.3(克), ∵560-5<559.3<560+5,∴这盒月饼的总质量是合格的. 培优提升专题2 有理数与数轴、相反数 1.-17 3. 11 4. - 5. - 1 6.9 7.解:由“a是-[-(-5)]的相反数”,得a=5; 由“b比最小的正整数大4”,得b=1+4=5; 由“c是相反数为它本身的数”，得c=0. 所以当a=5,b=5,c=0时, 3a+4b+5c=3×5+4×5+0=35. 8.(1)4 (2)5 (3)-2 9.解：如图，答案不唯一. 10.解：由题意得点A两次移动后，实际向左移动3个单位长度得到点B， 所以点A，B的距离为3，且点B在负半轴， 因为点A，B两点对应的数恰好互为相反数，所以点B对应的数为-1.5， 因为点C与点B之间的距离为5， 所以点 C对应的数为-6.5或3.5. 11.解:(1)2 (2)4 (3)-14或-2 (4)存在，有以下两种情况： ①当点C在点A的左边时,x=-10.5; ②当点 C在点B的右边时,x=14.5. 培优提升专题3 数轴上的折叠、动点问题 1. - 1 2. - 2 3.解:(1)-4 (2)①-5 ②折叠纸面，使表示数6的点与表示数-2的点重合，折叠点对应的数为2， 因为A，B两点之间的距离为10，10÷2=5，所以A点表示的数是-3，B点表示的数是7. ③π的值为-4或8. 4. C 5.1 6.解：①若起始点M位于原点的右侧，则点 M表示的数为4，由题意向右运动2.5×2=5个单位长度到9，再向左运动2.5×7=17.5个单位长度到-8.5,∴此时点B在数轴上所表示的数的相反数是8.5； ②若起始点M位于原点的左侧，则点 M表示的数为-4，由题意向右运动2.5×2=5个单位长度到1，再向左运动2.5×7=17.5个单位长度到-16.5,∴此时点 B在数轴上所表示的数的相反数是16.5. 7.解:(1)-5 - 2 (2)3 (3)因为先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度， 所以每移动2次相当于向右移动1个单位长度，同理，操作2024次后，即向右移动1012个单位长度，由于点P从-5处出发，通过数轴可得操作2025次后，点 P表示的数为-5+1012-2025=-1018. 培优提升专题4 绝对值的 几何意义、绝对值的性质 1.(1)x 原点 (2)1 (3)x 3 4或2 (4)x - 2 0或-4 2.(1)7 (2)-3,-2,-1,0,1,2 (3)3 3.解:(1)3 3 (2)①|x+1| ②|1或-3 (3)因为|x+11+|x-4|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和4所对应的两点距离之和， 所以当-1≤x≤4时,|x+1|+|x-4|的最小值是4+1=5. 4.2 5.2 6.1 -2 7.1 8.解:(1)由题意得x-2=0,y+3=0, 所以x=2,y=-3. (2)2lx|-ly|=2×|2|-|-3|=4-3=1. 9.解:因为|a|=a,所以a≥0, 又表示a的点A到原点的距离为5，所以a=5. 因为|b|=-b,所以b≤0, 又表示b的点B 到原点的距离为8，所以b=-8. 所以A,B两点的距离为5+8=13. 10.解：根据绝对值的几何意义， 由|a-1|=2,得a=-1或3; 由|b+1|=5,得b=-6或4. 因为|a|=a,所以a≥0,所以a=3, 所以|a|+|b|=|3|+|-6|=9, 或|a|+|b|=|3|+|4|=7. 培优提升专题5 教材难题生长题 1.【例】解:经过“+5,-2,+3”后,标记线对准的是6. 开锁密码是“-15，+10，-5”时，应先按顺时针方向旋转15个小格(对准25)，再按逆时针方向旋转10个小格(对准35)，最后按顺时针方向旋转5个小格(对准30)，锁打开时标记线对准的是30. 2.解:(1)+3 +4 - 2 - 1 (2)∵甲虫的行走路线为A→B→C→D→A, ∴1+3+2+1+1+2+4+2=16,即甲虫走过的路程为16. (3)如图,点M,N,Q即为所求. 3.【例】解：(1)∵点A，B分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离为5， ∴这两点到原点的距离为5÷2=2.5， ∴这两个点表示的数分别是-2.5和2.5. (2)∵|2|=2,|-2|=2,∴如果|x|=2,那么x=2或-2; ∵lOI=0,∴如果|x|=0,那么x=0; ∵x=-x,∴x=0. 4.解:(1)①3 ②4 ③7 (3)①10或-4 ②若数轴上表示数a的点位于-4与3之间，则|a+4|+|a-3|的值为4+3=7. (4)①当表示数a的点在-6与2之间时,|a+6|+|a-2|的值最小，最小值是6+2=8. ②当a=1时,|a+4|+|a-1|+|a-3|取最小值,最小值是7, 理由：当a=1时，所求的值正好是3与-4两点间的距离. 培优提升专题6 全国视野培优特训 1. 解:(1)-1 3 (2)①当点P在点A 左侧时,PA<PB,不合题意,舍去; ②当点 P 位于A，B 两点之间时， ∵PA=2PB, ∴x+1=2(3-x),解得 ③当点 P 位于点 B右侧时， ··PA=2PB, . x+1=2(x-3),解得x=7. 故x的值为\frac{5}{3}或7. (3)t秒后,点A 对应的数为( -1-t),点 P 对应的数为2t,点B对应的数为(3+3t), ..3PB-PA =3(3+3t-2t)-[2t-(-1-t)] =9+3t-(2t+1+t) =9+3t-3t-1 =8. 所以3PB-PA 的值为定值，不随时间t的变化而变化. 2.解:(1)5 (2)①1 ②3 ③∵折痕C点表示的数是1,AB=12, ∴点A，B到1的距离均为6， 又∵A在B 的左侧， ∴A点表示的数是a=-5,B表示的数是b=7. 画数轴表示如图： 3.解:(1)①5 ②原点O 的位置如图1所示. (2)①原点O 的位置如图2 所示.②4 (3)①c-a ②数轴上的原点是B点. 4.解：(1)7-5与2这两个数所对的两点之间的距离 (2)∵使|x+5|=7成立的所有整数，就是满足数轴上x与-5这两个数所对的两点之间的距离等于7的整数， ∴使 lx+5|=7成立的所有整数为2,-12. (3)-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2. (4)由题意可知,AB=BC=CD,则有A到BC 之间的距离较近，D到BC之间的距离也较近， 所以超市的位置应在B，C两个村庄之间. 学科网（北京）股份有限公司 $