第1章 有理数 章节复习基础专题 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 以“概念-工具-应用”为逻辑主线，通过“知识点+易错点+题型变式”三维架构，系统构建有理数认知体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正数和负数|3题型+3变式|相反意义量判定法|从数的分类到实际情境表征| |有理数概念|3题型+3变式|分类讨论思想|整数分数统一与非负整数理解| |数轴|5题型+3变式|左减右加平移法则|三要素→距离公式→动点模型| |相反数|5题型+3变式|奇负偶正化简法|代数定义与几何对称统一| |绝对值|4题型+3变式|非负性与几何模型|定义→性质→最值应用| |大小比较|2题型+3变式|数轴比较与作差法|法则与直观表征结合|

第一章 有理数（复习专题）解析 一、正数和负数 【知识点1】正数和负数的概念 1.负数：比 0 小的数； 2.正数：比 0 大的数; 3.0：0 既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界线. 【注意】 判断一个数是否为正负数，应看其本质数值，而非是否带符号。 如 是负数， 既不是正数也不是负数。 【易错】 ① 误认为带“+”号的数一定是正数，带“−”号的数一定是负数。 ② 将字母 直接当作正数，忽略 可能为 0 或负数。 ③ 误认为 0 是最小的正数或最大的负数。 【知识点2】具有相反意义的量 1.含义：若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量； 【常见场景】 ① 温度：零上 ，零下 。 ② 海拔：高于海平面 ，低于海平面 。 ③ 盈亏：盈利 元，亏损 元。 ④ 方向：向东 ，向西 。 【注意】 先明确“正”所代表的含义，再根据题意判断量的正负。 【易错】 ① 忽略“基准量”的确定，导致正负判断错误。 ② 单位不统一时直接比较或运算。 ③ 将“增加 ”误认为增加，实际是减少 。 【知识点3】0 表示的意义 1.表示 “没有”.如教室里有 0 个人，表示教室里没有人； 2.是正数和负数的分界线； 3.表示一个确切的量.如 0℃，以及有些题目中的基准，如以海平面为基准，0 米就表示海平面. 【题型一】正负数的定义 ★【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）在中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：；负数有：． 【分析】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键．正数前边有“”或省略“”的形式，比要大，根据定义可以找到符合条件的正数； 负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意既不是正数，也不是负数． 解：根据正数的定义可得正数有：； 根据负数的定义可得负数有：． 【变式1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解答本题的关键． 根据负数的定义解答即可． 解：是负数的是， 故选：A． ★【变式2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【答案】 5 2 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据正数与负数的定义，直接作答即可． 解：正数有35，，，，，共5个； 负数有，共2个． 故答案为：5：2． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：①0既不是正数也不是负数，因此0不是最小的正数，故①错误； ②任意一个正数，前面加一个“”号，表示它的相反数，是负数，故②正确； ③大于0的数是正数，这是正数的定义，故③正确； ④字母a可以表示正数或负数，但不能同时既是正数又是负数，故④错误． ∴正确的说法有②③． 故答案为：②③． 【题型二】相反意义的量 ★【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 【答案】具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧ 【分析】具有相反意义的量必须是同类量，且只具有相反意义，量不一定相同，所以要先看它们是否是同一类量，再看它们是否意义相反，据此进行逐个分析即可作答．本题考查了正负数的意义． 解：依题意，具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧． ★【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【答案】C 【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． ★【变式2】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量，水位上升记为正，可得水位下降的表示方法． 解：如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作， 故答案为：． ★【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）根据正数或负数的意义填空： （1）如果收入20元记作元，那么支出100元记作 元； （2）如果水位上升2米时水位变化记作米，那么水位下降2米时水位变化记作 米； （3）如果向南走20米记作米，那么向北走70米记作 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用． （1）根据题意收入为正，则支付为负填写即可． （2）根据题意水位上升为正，则水位下降为负填写即可． （3）根据题意向南走为负，在向北走为正填写即可． 解：（1）如果收入20元记作元，那么支出100元记作元， 故答案为：． （2）如果水位上升2米时水位变化记作米，那么水位下降2米时水位变化记作米． 故答案为： （3）如果向南走20米记作米，那么向北走70米记作米． 故答案为： 【题型三】正负数的实际应用 ★★【例题3】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． （1）从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； （2）小李这四天走的步数一共是多少？ 【答案】（1）4；3；（2） 【分析】本题考查了正负数，掌握正负数的意义是关键． （1）步数超出最多的量为最多的一天，步数不足最多的量为最少的一天； （2）用每天8000步加上每天的出入量，得出总和即可． 解：（1）∵， ∴从9月2日到9月5日这四天中， 步数最多的是9月4日，步数最少的是9月3日． 故答案为：4；3； （2）（步）， 答：小李这四天走的步数一共是步． 【变式1】（26-27六年级上·上海·开学考试）如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． 【答案】 130 【分析】根据正负数的意义，题目规定向南走为正，则与南方向相反的向北走记为负，两人行走方向相反，两人的距离为两人行走路程的和，据此分析求解． 【详解】由正负数表示相反意义的量可得，向北走50米记作米， 计算两人相距的距离： （米）． 【变式2】（22-23七年级上·山东菏泽·开学考试）笑笑在一袋食用糖的包装纸上看到这样的文字：质量，意思是这袋食用糖的质量合格范围是______至______． 【答案】 【详解】解：根据正负数的意义可得，表示合格质量的最小值为，合格质量的最大值为，因此这袋食用糖的质量合格范围是至． ★★【变式3】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 【答案】 【分析】根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解． 解：∵东京与北京的时差是 则如果现在的东京时间时，那么北京时间是 ∵伦敦与北京的时差是， ∴伦敦的时间是前一天的 ∵纽约与北京的时差是 ∴纽约的时间是前一天的 【点拨】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 二、有理数的概念 【知识点1】有理数的概念 整数和分数统称有理数. 知识拓展：（1）有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数. （2）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了无限不循环小数，其他小数都属于分数； 【注意】 有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此它们也是有理数。 【易错】 ① 将 误认为有理数（它是无理数）。 ② 将 误认为分数（它含 ，不是有理数）。 ③ 误认为所有小数都是有理数（无限不循环小数不是）。 【知识点2】有理数的分类 【注意】 ① 有限小数和无限循环小数属于分数，是有理数。 ② 无限不循环小数不属于有理数。 ③ 分类时要做到“不重不漏”。 【易错】 ① 将 0 误归为正数或负数。 ② 将 误认为无理数（它是有理数）。 ③ 分类时遗漏负分数或负整数。 【知识点3】0的意义 （1） 既不是正数也不是负数，正负数以0为界；（2）为了表示没有而产生一个数0； （3）0还可以表示为一个事件的起点；（4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方。 【知识点4】带“非”字的有理数 带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等。 带“非”字有理数的相关概念： ①非正数：0、负数； ②非负数：0、正数； ③非正分数：0、负分数； ④非正分数：0、负分数； ⑤非正整数：0、负整数； ⑥非负整数：0、正整数； ⑦非正有理数：0、负有理数. 【易错】 在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是易错的地方。 【题型一】有理数概念 【例题】（26-27七年级·全国·暑假作业）在π，，，，这几个数中，有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在π，，，，这几个数中， 有理数为：，，，共有3个． ★【变式1】（24-25七年级上·广东清远·期中）下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，对各个数进行判断即可． 解：、、、、、每两个之间依次一个、， 其中有理数为、、、、，共5个， 故选：C． ★【变式2】（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于“0”的说法正确的有 个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 【答案】4 【分析】本题考查了对数字0的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数． 依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解． 解：0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故答案为：4． ★【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【题型二】有理数的分类特别是带“非”字的有理数 【例题】（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． ★★【变式1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 【答案】见分析 【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可． 解：如图： ★★【变式2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）将下列各数的序号填入相应的集合中：①，②0，③，④，⑤，⑥3.01，⑦，⑧，⑨，⑩． 有理数集合：{                  …}；负有理数集合：{                     …}； 非正分数集合：{                  …}；非负整数集合：{                     …}． 【答案】①②③④⑤⑥⑦⑨；①④⑤；④⑤；②⑦ 【分析】根据有理数的分类：整数和分数；整数分为0和负整数，正整数；分数分为负分数和正分数，即可求出答案．本题考查有理数的分类以及有理数的概念，属于基础题型． 解：有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑨…}； 负有理数集合：{①④⑤…}； 非正分数集合：{④⑤…}； 非负整数集合：{②⑦…}． ★【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）在，，，，，，，（每两个1之间依次多一个4）这8个数中非负有理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，根据非负有理数包括和正有理数，正有理数包括正整数和正分数，据此即可作答． 解：依题意，，，，这个数都是非负有理数， 故选：B． 三、数轴 【知识点1】数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴. 【知识点2】数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素. 【知识点3】数轴和画法： 1.画一条直线（通常画成水平直线）； 2.在直线上适当位置取一点为原点；原点右侧为正数，原点左侧为负数，原点表示 。 3.通常规定直线上从原点向右方向为正方向，用箭头表示出来； 4.根据需要，选取适当长度为单位长度，原点右边，每一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3...; 在原点左边用同样方法表示-1，-2，-3... 【知识点4】有理数与数轴上点的关系： 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度.即点 a到原点的距离等于该数的绝对值：点 a到原点距离 。 【知识点5】数轴上点的平移与距离： 1. 平移定理 数轴上数字平移规则：左减右加 点 向右移动 个单位： 点 向左移动 个单位： 2. 两点距离公式 设点 表示数 ，点 表示数 ，两点间距离： 推论：若 ，距离可简写为 （大数减小数）。 3. 中点核心公式 、 中点表示的数： 若折叠后、两点重合，则折叠中心： 已知折叠中心C，求的对称点： 【知识点6】数轴上的动点初步 1. 动点表达式定理 设起点表示数 ，运动速度 ，运动时间 ： 向右运动：　　向左运动： 2. 中点判定推论 若 是 、 中点，则 ；分三点轮换讨论中点可能性。 3. 距离方程推论 两点距离为定值 ，列方程：，分两种情况解方程。 【注意】 动点问题必须设时间 表示各点数值；有"中点"条件时分三类讨论。 【易错】 ① 动点左右移动符号写反 ② 中点问题漏一种分类情况 ③ 绝对值方程只解一个结果，遗漏另一解 【题型一】定义的理解——数轴三要素及其画法 ★【例题1】（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键． 解：、正方向反了，不符合题意； 、单位长度不统一，不符合题意； 、没有正方向，不符合题意； 、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意； 故选：． ★【变式1】（23-24七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）下列所示数轴正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键．根据数轴的特点进行解答即可． 解： A、没有正方向，故本选项错误； B、没有单位长度，故本选项错误； C、单位长度不一致，故本选项错误； D、有原点、正方向、单位长度，故本选项正确； 故选：D． ★【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 解：说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（    ） A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数 C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义. 根据数轴的定义和性质逐一分析选项. 【详解】A：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，但数轴本身是一条直线，这三个要素是其属性而非“组成”部分，因此表述不准确，错误. B：数轴上的点与实数一一对应，每个点只能表示一个数，正确. C：数轴上的点可以表示所有实数（如分数、小数等），错误. D：数轴包含正数、负数和原点（0），错误. 故选：B. 【题型二】用数轴上的点表示有理数与整点覆盖问题 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）已知一组数：，2，，0，0.75． 把下面这条直线补充成一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来． 【答案】见分析 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，确定原点位置：一般原点居中，若给出的正数较多，原点靠左边；若负数较多，原点靠右边．确定单位长度：一般单位长度为1，若给出数据较大，单位长度也可以是10、50或100等． 解：如图所示，即为所求； 【变式1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了了数轴表示数，根据所给数轴，得出一个单位长度为小格，据此可得出答案，能根据题意得出一个单位长度为小格是解题的关键． 解：由所给数轴可知，一个单位长度为小格， ∴点与相距个单位长度，且在的左边， ∴点表示的数为， 故答案为：． ★★【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． ★★【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 【题型三】数轴上两点之间的距离 ★【例题】（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，观察数轴，解答下面的问题： （1）请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：______，B：______； （2）列式求点A与点B的距离. 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查数轴及有理数，熟知数轴上的点所表示的特征是解题的关键． （1）根数轴上的点所表示的数的特征即可得到答案； （2）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 解：（1）解：根据数轴所知：有理数表示，表示； 故答案为：，； （2）解：． ★【变式1】（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）数轴上，到表示数2的点的距离为3个单位长度的点表示的数是（   ） A．5 B．5或 C．或1 D．或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，根据当点在2的左边和点在2的右边时，利用两点之间的距离求解即可． 解：当点在2的左边时：， 当点在2的右边时：， 故到表示数2的点的距离为3个单位长度的点表示的数是或5， 故选：D． ★【变式2】（2026·湖南株洲·三模）如图，数轴上、两点分别位于原点两侧，且，若点表示的数是，则的中点表示的数是________． 【答案】 【分析】先计算出的长，再根据数轴写出对应的数． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点表示的数为． 【变式3】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数轴上有A、B两点，如图，A为数轴上表示2的点，若点B到点A的距离是3，则B点表示的数为__________． 【答案】 5 或 【分析】分点B在点A的左边和右边两种情况，列出算式，即可求解． 【详解】解：点B在点A的左边时，点B表示的数为：， 点B在点A的右边时，点B表示的数为： 【拓展延伸】 【题型四】数轴上点的平移（动点问题） ★★【例题】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： （1）将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； （2）怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】（1）；（2）当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 解：（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【变式1】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·阶段检测）数轴上表示数的点沿数轴移动5个单位后到达原点，则x的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数加减法计算，分两种情况：当数轴上表示数的点沿数轴正方向移动5个单位后到达原点时，当数轴上表示数的点沿数轴负方向移动5个单位后到达原点时，据此结合数轴上两点距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：当数轴上表示数的点沿数轴正方向移动5个单位后到达原点时，则，解得； 当数轴上表示数的点沿数轴负方向移动5个单位后到达原点时，则，解得； 综上所述，x的值为， 故答案为：． 【变式3】（22-23七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，数轴上A点表示的数是，B点表示的数是，C点表示的数是． (1)若要使A、C两点所表示的数是一对相反数，则“原点”表示的数是：____． (2)若此时恰有一只老鼠在B点，一只小猫在C点，老鼠发现小猫后立即以每秒一个单位的速度向点A方向逃跑，小猫随即以每秒两个单位的速度追击．在小猫未抓住老鼠前，用时间t（秒）的代数式表示老鼠和小猫在移动过程中分别与点A之间的距离． 【答案】(1)4 (2)老鼠在移动过程中与点A之间的距离为：，小猫在移动过程中与点A之间的距离为：． 【分析】 （1）根据相反数的意义：互为相反数的两个点到原点的距离相等，先求出“原点”到两点的距离，再利用该距离求得“原点”的位置即可； （2）根据两点的距离直接表示即可． 【详解】（1） 解：根据相反数的意义，可知“原点”到A、C两点的距离相等，即为：， ∴“原点”表示的数为：， （2） 解：老鼠在移动过程中与点A之间的距离为：， 小猫在移动过程中与点A之间的距离为：． 【题型五】数轴上的基础规律探究 【例题7】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的规律探索； 根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解； 解：圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，， 对应的字母是． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·江西萍乡·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2025次后，数轴上数2026所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，图形类的规律探索，找到变化规律是解答的关键． 根据题意找到规律：对应的数是，对应的数是，对应的数是，对应的数是，每次翻转为一循环，进而可求解． 【详解】解：在翻转过程中，对应的数是，对应的数是，对应的数是，对应的数是， 依此类推，可知每次翻转为一循环， ， 所对应的点是B， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 【变式3】在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点表示的数是 ． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是， 故答案为：-1013. ， 所以操作次后，点表示的数为． 4、 相反数 【知识点1】相反数定义与性质： 1.代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数； 2.几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，这两点关于原点对称; 3.相反数的数学表达：若两个有理数a和b互为相反数，则a+b=0； 反之，若两个有理数相加等于零，即a+b=0，则a和b互为相反数； 相反数等于本身的数只有 0. 【知识点2】多重符号的化简： 多重符号的化简：看负号个数，奇负偶正，即数字前面“-”号的个数若有偶数个，化简结果为正；若有奇数个，化简结果为负。可总结为：“+” 的个数不影响化简结果，可以直接省略，一个正数前面有偶数个 “-”，结果为正，有奇数个 “-”，结果为负。 ① 偶数个负号，结果为正：， ② 奇数个负号，结果为负：， 【知识点3】相反数的特殊情况： 倒数等于本身的数有 1 和 - 1，而相反数等于本身的数只有 0，要注意区分这两个概念。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 【题型一】相反数的概念理解 ★【例题】（24-25七年级上·河南·单元测试）下列说法：①符号不同的两个数互为相反数；②0没有相反数；③数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数；④在任何一个数前面添加一个“”，就变成原数的相反数．其中说法错误的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题主要考查对相反数的理解．根据相反数的定义和性质，逐一判定即可． 解：①只有符号不同的两个数互为相反数，①说法错误； ②0的相反数是0，②说法错误； ③数轴上原点两旁且与原点距离相等的两个点表示的数互为相反数，③说法错误； ④在任何一个数前面添加一个“”，就变成原数的相反数，④说法正确； 综上分析可知：说法错误的是①②③． 故选：C． ★【变式1】（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与2.2互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是3 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的意义，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可． 解：A、在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，故A正确； B、与2.2互为相反数，故B正确； C、如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，故C正确； D、的相反数是，故D错误； 故选：D． ★【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习） （1）分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 【答案】（1）7，；（2） 【分析】本题考查了相反数，解题关键是明确只有符号不同的两个数互为相反数． （1）根据相反数的意义求解即可； （2）根据相反数的意义求解即可． 解：（1）的相反数是7，的相反数是； （2）因为2.4与互为相反数， 所以a的值是． ★【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）的相反数是 ，的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数，正确理解相反数的定义是解题的关键，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 解：的相反数是，的相反数是， 故答案为：，． 【题型二】“相反数和等于0”的应用 【变式1】（2025·吉林长春·模拟预测）互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查相反数，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，两个互为相反数的数之和为0，其中一个数为a，另一个数为．计算它们的商即可得出结果． 【详解】解：设这两个数分别为a和（a≠0），则它们的商为： ， 无论以哪一个数作为被除数，结果均为−1． 因此，互为相反数的两个非零数的商恒为−1． 故选A． ★【变式1】若2x﹣1的值与3﹣4x的值互为相反数，那么x的值为 ． 【答案】x=1 【分析】互为相反数的两个数的和等于0，根据题意可列出方程． 【详解】解：根据题意得：2x-1+3-4x=0， 解得x=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． ★【变式2】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）若的相反数为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据题意得到2m+1+9=0，求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 解：∵的相反数为， ∴2m+1+9=0， 解得：m=5， 故答案为：5． ★【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）若相反数是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的性质，解方程，根据相反数的性质，求得的值，代入计算即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 【题型三】多重符号化简 ★【例题5】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）________； 问： ①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________； 由①②你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）3.5；（5）5；①5；②；总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】本题考查化简多重符号，熟练掌握相反数的定义，负号的个数奇负偶正，是解题的关键： （1）（2）（3）（4）（5）根据相反数的定义，化简多重符号即可； ①②根据负号的个数，求解即可，根据结果，总结出规律即可． 解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； ①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是5； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是； 总结：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． ★【变式1】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查化简多重符号，将各数化简后，根据负数：“小于0的数”，进行判断即可．掌握化简多重符号，正负数的意义，是解题的关键． 解：，，，，， 则共有3个负数，即，，． 故选：C． ★【变式2】（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）化简： ， ， ． 【答案】 7 【分析】根据相反数的意义化简即可解答． 解：，，． 故答案为：7，，． 【点拨】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数． 【变式3】下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．5和 【答案】B 【详解】解：A、∵，，两数相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意； B、∵，，3和只有符号不同，符合相反数定义，∴两数互为相反数，该选项符合题意； C、∵，与相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意； D、∵，与5相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意． 【题型四】相反数与数轴上距离综合 【例题】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． （1）如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； （2）如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点R表示原点并结合数轴即可得解； （2）由相反数的定义结合数轴得出点R表示的数为，点表示的数为，从而得出点Q表示的数为，即可得解． 解：（1）解：如果点R表示原点，点P表示的数是，点S表示的数是，点T表示的数是； （2）解：∵点R、T表示的数互为相反数，点R、T之间的距离为6， ∴点R表示的数为，点表示的数为， ∴点Q表示的数为， ∴点Q和点R到原点的距离的和． ★★【变式1】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上点表示的数是，点到点的距离是2，且两点表示的数互为相反数，则点表示的数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点间距离，相反数定义等．根据题意先求出点表示的数，再利用相反数定义求出点表示的数即可． 解：∵点表示的数是，点到点的距离是2， ∴点表示的数为：-5或-1， ∵两点表示的数互为相反数， ∴点表示的数：或， 故选：A． ★【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）若数轴上的点和点表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离为，则这两个点表示的数分别是 和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，数轴上两点之间的距离等知识点，熟练掌握相反数的定义及数形结合思想是解题的关键． 因为数轴上的点和点表示的两个数互为相反数，则、分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等，又知这两点间的距离是，因而它们到原点的距离为，于是得解． 解：数轴上的点和点表示的两个数互为相反数， 、分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等， 这两点间的距离是， 它们到原点的距离为， 这两个点表示的数分别是和， 故答案为：，． ★【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）a与b互为相反数，a在b的右边，且表示a的点到表示b的点的距离为9，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，根据相反数的定义可得表示a的数与表示b的数到原点的距离相等，再由表示a的数与表示b的数的距离为9且点b在点a左侧即可得到答案． 解：∵与互为相反数，在的右边，且表示的点到表示的点的距离为9， ∴表b的点距离原点的距离为，且在原点左侧， ∴， 故答案为：． 【题型五】理解-a不一定是负数 【例题】下列说法中正确的是（ ） A． 一定是负数　　　　B． 一定是负数 C． 一定不是负数　　　　D． 一定是负数 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性和符号规律判断． 【详解】解：A． 不一定是负数，当 时 ，故错误；B．，不一定是负数，故错误；C．，一定不是负数，故正确；D．，当 时是负数，当 时是正数，故错误．故选C． 【变式1】若 是正数，则 是______数；若 是负数，则 是______数． 【答案】负；正 【分析】根据相反数的定义判断． 【详解】解：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数．故答案为：负；正． 【变式2】若是负数，则是______数；若是正数，则是______数． 【答案】正；负 【分析】与互为相反数，符号相反． 【详解】解：若是负数，则是正数；若是正数，则 是负数．故答案为：正；负． 【变式3】若 是有理数，则与 的大小关系是（ ） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．以上都有可能 【答案】D 【分析】分 ，， 三种情况讨论． 【详解】解：当 时，；当 时，；当 时，．故选D． 五、绝对值 【知识点1】绝对值定义： 一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点2】绝对值性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即= 核心性质：① 非负性：，绝对值最小的数为0；② 互为相反数的两数绝对值相等，即；③ 若，则或。 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有; （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 【解题模板】正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是其相反数。 【知识点3】绝对值几何意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； 的几何意义：数轴上表示数的点与数的点之间的线段距离。 通用距离公式：数轴上任意两点、，两点距离 （距离恒为非负数）。 三大万能固定模型（直接套用，无需推导） 模型1：两绝对值和 最小值：，取等条件：，即当 在 、 之间（含端点）时取得最小值。无最大值。 模型2：三绝对值和 最小值：，取等条件：（取中间数）。 模型3：两绝对值差 最大值：，最小值： 【题型一】绝对值概念理解 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法①一定是负数；②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等；③若，则a与b互为相反数；④若，则a是非正数．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．根据绝对值的意义进行解答即可． 解：①当时，不是负数，故该说法错误； ②互为相反数的两个数的绝对值也相等，故该说法错误； ③a与b也可以相等，故该说法错误； ④a是0或负数，即a是非正数，故该说法正确． 综上分析可知，说法正确的个数是1． 故选：A． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义，根据绝对值的定义，即绝对值相等的两个数互为相反数；两个负数绝对值大的反而小，解答即可． 解：A、错误，两个负数绝对值大的反而小； B、错误，两个正数绝对值大的数较大； C、正确； D、错误，绝对值相等的两个数有可能互为相反数． 故选：C． 【变式2】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）写出1，的绝对值； （2）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 【答案】（1）1，0.5，；（2）c 【分析】本题考查了数轴，绝对值． （1）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数求解即可； （2）根据数与原点的距离大小关系，判断绝对值的大小关系． 解：（1）； （2）因为在点A，B，C，D中，点C离原点最近，所以在有理数a，b，c，d中，c的绝对值最小． 【题型二】绝对值化简 ★【例题】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值运算及意义，先由，得到，结合绝对值意义即可得到答案，熟记绝对值运算及意义是解决问题的关键． 解：，， ， ， 故答案为：． ★【变式1】（24-25七年级上·河南周口·期中改编）若a与-4互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数、绝对值，掌握相反数、绝对值的定义是解答此题的关键．根据相反数、绝对值的定义解答即可求得答案． 解：∵a与4互为相反数， ∴a-4=0， ∴a=4， 故答案为：1． 【变式2】（1）如果，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）若 ，则 ______． 【答案】 【分析】先计算 ，再求绝对值等于2的数． 【详解】解：，．故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【答案】 【详解】解：根据在数轴上的位置得：且， ∴，，， ∴ 【题型三】绝对值的非负性求值 【例题】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习改编）已知． （1）求x，y的值； 【答案】（1），；（2）6或 【分析】本题主要考查了非负数的性质−绝对值和解一元一次方程等知识点， （1）根据非负数的性质求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出y+z=0，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 解：（1）∵， 又∵，， ∴，， ∴，； 由（1）知， ∴-3与z互为相反数 ★【变式1】（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴a-1=0, b-2=0, 解得a=1，b=2 ∴， 故选：A． ★【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 解：∵，说明等于0时2m+7的绝对值最小， 此时时，的值最小， 即2m+7=0,说明2m与7互为相反数，所以2m=-7, 说明2个m为-7，一个m就是-7的一半， 则； 故答案为：． 【变式3】（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． （2） 若 ，则 的值为______． 【答案】 0 0 6 0 5 【分析】根据非负数的性质求出 、 的值，再代入计算． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． （3）：，，且和为0， ，，解得 ，． ．故答案为：5． 【题型四】绝对值几何意义+动点综合★★ ★★【例题】（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且．  （1）写出数轴上点B表示的数 ； （2）表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则 ． ②的最小值为 ； （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒．求当t为 时，A，P两点之间的距离为2． 【答案】（1）；（2）①6或；②；（3）3或 【分析】（1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可； （2）依据绝对值的几何意义及两条线段之和最短的情况计算即可； （3）依据距离的非负性，分两种情况计算即可． （1）解：点B表示的数为； 故答案为：； （2）解：①因为，由绝对值的几何意义可以得到表示x的点为6和10时到表示8的点距离为2 则或； ②要求距离最小值，说明表示的点在-12和8之间，所以它们距离为12+8=20 故答案为：①6或10；②20； （3）解：由A，P两点之间的距离为2，由绝对值几何意义说明表示P点表示的数为6和10， 当P点表示数为6时，（秒）； 当P点表示的数为10时，（秒）。 所以当或秒时，A，P两点之间的距离为2． 故答案为：3或． 【点拨】本题考查了绝对值的定义及几何意义的运用，关键掌握绝对值的非负性，根据实际距离分类讨论计算． ★【变式1】（21-22七年级上·江苏南通·期末）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的应用、数轴上的点等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据数轴上的点到原点的距离公式由绝对值几何意义可得，然后分类讨论，求解即可获得答案． 解：由题意得，由绝对值定义可是∴或， 当解说明a与-（a+4）互为相反数， ∴a+a+4=0， ∴两个a的和与4互为相反数， ∴a与2互为相反数， ∴， 当时，一个数不可能等于这个数再加上4，这时的a不存在， 故答案为：． ★★【变式2】（22-23七年级上·浙江·阶段练习）式子能取得的最小值是 ，这时 ；式子能取得的最大值是 ，这时 ． 【答案】 4 1 3 0.5/ 【分析】根据绝对值都是非负数，由小学加减法可得：加数最小时，和最小，减数最小时，差最大，即可得出答案． 解：， 当时，最小，最小值，此时； ， 当时，最大，最大值，此时． 故答案为：①4，②1，③3，④． 【点睛】本题考查了非负数的性质，利用了绝对值是非负数的性质，小学所学的加数最小时和最小，减数最大时差最大． 【变式3】（1） 的最小值为______，此时 的取值范围是______． （2） 的最小值为______． （3）若 ，则整数 的值有______个． （1）【答案】2； 【分析】 表示数 到1和3的距离之和，当 在1和3之间时距离之和最小，为 ． 【详解】解：最小值为2，此时 ． （2）【答案】5 【分析】 表示数 到2和 的距离之和，当 在 和2之间时距离之和最小，为 ． 【详解】解：最小值为5．故答案为：5． （3）【答案】7 【分析】 表示数 到2和 的距离之和，最小值为 ，当 在 和2之间时取最小值，此时 ，整数 有 ，，，，0，1，2，共7个． 【详解】解：共7个．故答案为：7． 六、有理数的大小比较 【知识点1】基本法则 ① 正数 负数。 ② 正数大于一切负数。 ③ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【知识点2】数轴比较法 数轴上右侧的数一定大于左侧的数： 【知识点3】绝对值比较法 同为正数：绝对值大的数大。 同为负数：绝对值大的数反而小。 【知识点4】（1）作差比较法：若,则；若，则；若，则； （2）求商比较法：两个正数比较，若，则；若，则；若，则. 【易错】 ① 比较两个负数时，忘记“绝对值大的反而小”。 ② 在数轴上找点不准确，导致大小判断错误。 ③ 作差比较时符号运算错误。 【题型一】利用数轴比较有理数的大小 ★【例题】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【分析】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， ★【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境气温变化，冬季某天，我国三个城市的最高气温分别是，，，若是在数轴上表示，1，这三个数，通过观察数轴，用“”将它们从左到右排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴．熟练掌握用数轴表示数，数轴上数的大小排列顺序，是解题的关键． 把，1，这三个数在数轴上表示出来，根据三个点的位置，用“<”把三个数连起来． 解：在数轴上表示，1，这三个数， 观察数轴发现，它们从左到右排列为，，1， ∴． 故答案为：． ★【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 比较有理数的大小的法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数．观察数轴得出，即可逐一判断． 解：由数轴可知，， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级·全国·暑假作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴可得，且 ∴． 【题型二】其他方法比较有理数的大小 【例题】（1）比较大小：______．（填“”、“”或“”） （2）_________； （3）_________； 【答案】 【分析】根据两个负数比较大小的规则，先计算两个数的绝对值，通分比较绝对值大小后即可得到原数的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴． 【详解】解：（2）∵负数都小于， ∴； （3）∵，，， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的大小比较方法，根据负数比较大小时绝对值大的数反而小的方法即可求解，解题的关键是正确理解负数相比较，绝对值大的数反而小． 解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：_与． 【答案】 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期末）先阅读图1中的方法，再解题．如图2，在数轴上，点分别表示数，，则与1的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法，即，根据数轴中x的取值范围判断差的正负即可． 【详解】解：， 由，得， ∴， ∴． 第 1 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 （复习专题）人教版 1.1、正数和负数 【知识点1】正数和负数的概念 1.负数：比 0 小的数； 2.正数：比 0 大的数; 3.0：0 既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界线. 【注意】 判断一个数是否为正负数，应看其本质数值，而非是否带符号。 如 是负数， 既不是正数也不是负数。 【易错】 ① 误认为带“+”号的数一定是正数，带“−”号的数一定是负数。 ② 将字母 直接当作正数，忽略 可能为 0 或负数。 ③ 误认为 0 是最小的正数或最大的负数。 【知识点2】具有相反意义的量 1.含义：若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量； 【常见场景】 ① 温度：零上 ，零下 。 ② 海拔：高于海平面 ，低于海平面 。 ③ 盈亏：盈利 元，亏损 元。 ④ 方向：向东 ，向西 。 【注意】 先明确“正”所代表的含义，再根据题意判断量的正负。 【易错】 ① 忽略“基准量”的确定，导致正负判断错误。 ② 单位不统一时直接比较或运算。 ③ 将“增加 ”误认为增加，实际是减少 。 【知识点3】0 表示的意义 1.表示 “没有”.如教室里有 0 个人，表示教室里没有人； 2.是正数和负数的分界线； 3.表示一个确切的量.如 0℃，以及有些题目中的基准，如以海平面为基准，0 米就表示海平面. 【题型一】正负数的定义 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）在 中，正数有_______________________________，负数_______________________________. 【变式1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有____________个，负数有___________个． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【题型二】相反意义的量 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【变式2】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作___________． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）根据正数或负数的意义填空： （1）如果收入20元记作元，那么支出100元记作 元； （2）如果水位上升2米时水位变化记作米，那么水位下降2米时水位变化记作 米； （3）如果向南走20米记作米，那么向北走70米记作 米． 【题型三】正负数的实际应用 【例题】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． （1）从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； （2）小李这四天走的步数一共是多少？ 【变式1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，以为分界点，向东为正，向西为负，图上格表示实际距离米．明明从出发先向东走米，再向西走米，此时明明距离芳芳米，若丽丽从“”出发走了米，则此时丽丽与芳芳距离 ______米． 【变式2】（22-23七年级上·山东菏泽·开学考试）笑笑在一袋食用糖的包装纸上看到这样的文字：质量，意思是这袋食用糖的质量合格范围是______至______． 【变式3】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 1.2、有理数的概念 【知识点1】有理数的概念 整数和分数统称有理数. 知识拓展：（1）有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数. （2）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了无限不循环小数，其他小数都属于分数； 【注意】 有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此它们也是有理数。 【易错】 ① 将 误认为有理数（它是无理数）。 ② 将 误认为分数（它含 ，不是有理数）。 ③ 误认为所有小数都是有理数（无限不循环小数不是）。 【知识点2】有理数的分类 【注意】 ① 有限小数和无限循环小数属于分数，是有理数。 ② 无限不循环小数不属于有理数。 ③ 分类时要做到“不重不漏”。 【易错】 ① 将 0 误归为正数或负数。 ② 将 误认为无理数（它是有理数）。 ③ 分类时遗漏负分数或负整数。 【知识点3】0的意义 （1） 既不是正数也不是负数，正负数以0为界；（2）为了表示没有而产生一个数0； （3）0还可以表示为一个事件的起点；（4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方。 【知识点4】带“非”字的有理数 带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等。 带“非”字有理数的相关概念： ①非正数：0、负数； ②非负数：0、正数； ③非正分数：0、负分数； ④非正分数：0、负分数； ⑤非正整数：0、负整数； ⑥非负整数：0、正整数； ⑦非正有理数：0、负有理数. 【易错】 在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是易错的地方。 【题型一】有理数概念 【例题】（26-27七年级·全国·暑假作业）在π，，，，这几个数中，有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级上·广东清远·期中）下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于“0”的说法正确的有 个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【题型二】有理数的分类 【例题】（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【变式1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 【变式2】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在，，，，，，，中，正整数和负分数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】（24-25七年级上·四川成都·期中）下列各数：，，，，，，，其中分数有 个． 【题型三】带“非”字的有理数 【例题】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）将下列各数的序号填入相应的集合中：①，②0，③，④，⑤，⑥3.01，⑦，⑧，⑨，⑩． 有理数集合：{                  …}；负有理数集合：{                     …}； 非正分数集合：{                  …}；非负整数集合：{                     …}． 【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）在，，，，，，，（每两个1之间依次多一个4）这8个数中非负有理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{     …}； 正数集：{     …}； 负分数集：{     …}； 负数集：{     …}； 非负整数集：{     …}； 分数集：{    …}． 【变式3】（25-26七年级上·四川达州·期中）在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 1.3、数轴 【知识点1】数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴. 【知识点2】数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素. 【知识点3】数轴和画法： 1.画一条直线（通常画成水平直线）； 2.在直线上适当位置取一点为原点；原点右侧为正数，原点左侧为负数，原点表示 。 3.通常规定直线上从原点向右方向为正方向，用箭头表示出来； 4.根据需要，选取适当长度为单位长度，原点右边，每一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3...; 在原点左边用同样方法表示-1，-2，-3... 【知识点4】有理数与数轴上点的关系： 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度.即点 a到原点的距离等于该数的绝对值：点 a到原点距离 。 【知识点5】数轴上点的平移与距离： 1. 平移定理 数轴上数字平移规则：左减右加 点 向右移动 个单位： 点 向左移动 个单位： 2. 两点距离公式 设点 表示数 ，点 表示数 ，两点间距离： 推论：若 ，距离可简写为 （大数减小数）。 3. 中点核心公式 、 中点表示的数： 4. 最值推论 最小值为 ，当 在 、 之间（含端点）时取得最小值。 【知识点6】数轴上的动点初步 1. 动点表达式定理 设起点表示数 ，运动速度 ，运动时间 ： 向右运动：　　向左运动： 2. 中点判定推论 若 是 、 中点，则 ；分三点轮换讨论中点可能性。 3. 距离方程推论 两点距离为定值 ，列方程：，分两种情况解方程。 【注意】 动点问题必须设时间 表示各点数值；有"中点"条件时分三类讨论。 【易错】 ① 动点左右移动符号写反 ② 中点问题漏一种分类情况 ③ 绝对值方程只解一个结果，遗漏另一解 【题型一】定义的理解——数轴三要素及其画法 【例题1】（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）下列所示数轴正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（    ） A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数 C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分 【题型二】用数轴上的点表示有理数及整点问题 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）已知一组数：，2，，0，0.75． 把下面这条直线补充成一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来． 【变式1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（     ） A．0.5 B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【题型三】数轴上两点之间的距离 【例题】（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，观察数轴，解答下面的问题： （1）请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：______，B：______； （2）列式求点A与点B的距离. 【变式1】（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）数轴上，到表示数2的点的距离为3个单位长度的点表示的数是（   ） A．5 B．5或 C．或1 D．或5 【变式2】（2026·湖南株洲·三模）如图，数轴上、两点分别位于原点两侧，且，若点表示的数是，则的中点表示的数是________． 【变式3】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数轴上有A、B两点，如图，A为数轴上表示2的点，若点B到点A的距离是3，则B点表示的数为__________． 【题型四】数轴上点的平移（动点问题） 【例题】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： （1）将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； （2）怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【变式1】（24-25七年级上·四川德阳·阶段检测）数轴上表示数的点沿数轴移动5个单位后到达原点，则x的值为_______． 【变式2】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【变式3】（22-23七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，数轴上A点表示的数是，B点表示的数是，C点表示的数是． (1)若要使A、C两点所表示的数是一对相反数，则“原点”表示的数是：____． (2)若此时恰有一只老鼠在B点，一只小猫在C点，老鼠发现小猫后立即以每秒一个单位的速度向点A方向逃跑，小猫随即以每秒两个单位的速度追击．在小猫未抓住老鼠前，用时间t（秒）的代数式表示老鼠和小猫在移动过程中分别与点A之间的距离． 【题型五】数轴上的基础规律探究 【例题】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·江西萍乡·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2025次后，数轴上数2026所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【变式3】（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 1.4、相反数 【知识点1】相反数定义与性质： 1.代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数； 2.几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，这两点关于原点对称; 3.相反数的数学表达：若两个有理数a和b互为相反数，则a+b=0； 反之，若两个有理数相加等于零，即a+b=0，则a和b互为相反数； 相反数等于本身的数只有 0. 【知识点2】多重符号的化简： 多重符号的化简口诀：奇负偶正，即数字前面“-”号的个数若有偶数个，化简结果为正；若有奇数个，化简结果为负。可总结为：“+” 的个数不影响化简结果，可以直接省略，一个正数前面有偶数个 “-”，结果为正，有奇数个 “-”，结果为负。 【知识点3】相反数的特殊情况： 倒数等于本身的数有 1 和 - 1，而相反数等于本身的数只有 0，要注意区分这两个概念。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 【题型一】相反数的概念理解 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）有下列说法：①两个符号相反的数互为相反数；②数轴上原点两旁的点所表示的数互为相反数；③若两个数互为相反数，则数轴上表示它们的点到原点的距离相等．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．0个 D．1个 【变式1】（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与2.2互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是3 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习） （1） 分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）的相反数是 ，的相反数是 ． 【题型二】“相反数和等于0”的应用 【例题4】（2025·吉林长春·模拟预测）互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 【变式1】若2x﹣1的值与3﹣4x的值互为相反数，那么x的值为 ． 【变式2】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）若的相反数为9，则的值为 ． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）若相反数是，则 ． 【题型三】多重符号的化简 ★【例题】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）________； 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________； 由①②你能总结出什么规律？ ★【变式1】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 ★【变式2】（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）化简： ， ， ． 【变式4-1】下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．5和 【题型四】相反数与数轴上距离综合 【例题】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． （1）如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； （2）如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 【变式1】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上点表示的数是，点到点的距离是2，且两点表示的数互为相反数，则点表示的数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）若数轴上的点和点表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离为，则这两个点表示的数分别是 和 ． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）a与b互为相反数，a在b的右边，且表示a的点到表示b的点的距离为9，则 ． 【题型五】理解-a不一定是负数 【例题】下列说法中正确的是（ ） A． 一定是负数　　　　B． 一定是负数 C． 一定不是负数　　　　D． 一定是负数 【变式1】若 是正数，则 是______数；若 是负数，则 是______数． 【变式2】若是负数，则是______数；若是正数，则是______数． 【变式3】若 是有理数，则与 的大小关系是（ ） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．以上都有可能 1.5、绝对值 【知识点1】绝对值定义： 一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点2】绝对值性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即= 核心性质：① 非负性：，绝对值最小的数为0；② 互为相反数的两数绝对值相等，即；③ 若，则或。 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有; （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 【解题模板】正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是其相反数。 【知识点3】绝对值几何意义 （1）几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； 的几何意义：数轴上表示数的点与数的点之间的线段距离。 通用距离公式：数轴上任意两点、，两点距离 （距离恒为非负数）。 三大万能固定模型（直接套用，无需推导） 模型1：两绝对值和 最小值：，取等条件：，无最大值。 模型2：三绝对值和 最小值：，取等条件：（取中间零点）。 模型3：两绝对值差 最大值：，最小值：。 【题型一】绝对值概念理解 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法①一定是负数；②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等；③若，则a与b互为相反数；④若，则a是非正数．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ★【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 【变式2】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）写出1，的绝对值； （2）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 【题型二】基础绝对值化简 【例题】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 【变式1】（24-25七年级上·河南周口·期中改编）若a与-4互为相反数，则 ． 【变式2】（1）如果，则_____． （2） 若 ，则 ______． 【变式3】（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【题型三】绝对值的非负性求值 【例题】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习改编）已知． （1）求x，y的值； 【变式1】（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【变式3】（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． （3）若 ，则 的值为______． 【题型四】绝对值几何意义+动点综合★★ 【例题1】（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且．  （1）写出数轴上点B表示的数 ； （2）表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则 ． ②的最小值为 ； （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒．求当t为 时，A，P两点之间的距离为2． 【变式1】（21-22七年级上·江苏南通·期末）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【变式2】（22-23七年级上·浙江·阶段练习）式子能取得的最小值是 ，这时 ；式子能取得的最大值是 ，这时 ． 【变式3】（1） 的最小值为______，此时 的取值范围是______． （2） 的最小值为______． （3）若 ，则整数 的值有______个． 1.6、有理数的大小比较 【知识点1】基本法则 ① 正数 负数。 ② 正数大于一切负数。 ③ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【知识点2】数轴比较法 数轴上右侧的数一定大于左侧的数： 【知识点3】绝对值比较法 同为正数：绝对值大的数大。 同为负数：绝对值大的数反而小。 【知识点4】（1）作差比较法：若,则；若，则；若，则； （2）求商比较法：两个正数比较，若，则；若，则；若，则. 【易错】 ① 比较两个负数时，忘记“绝对值大的反而小”。 ② 在数轴上找点不准确，导致大小判断错误。 ③ 作差比较时符号运算错误。 【题型一】利用数轴上比较有理数的大小 【例题】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境气温变化，冬季某天，我国三个城市的最高气温分别是，，，若是在数轴上表示，1，这三个数，通过观察数轴，用“”将它们从左到右排列为 ． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级·全国·暑假作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型二】其他方法比较有理数的大小 【例题】比较大小：（1）______．（填“”、“”或“”） （2）_________； （3）_________； 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：与． 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期末）先阅读图1中的方法，再解题．如图2，在数轴上，点分别表示数，，则与1的大小关系为（     ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $