精品解析：陕西省西安市师范大学附属小学2025-2026学年北师大版六年级上学期1月阶段考试数学试题（AB卷）

数学练习题A 一、计算题（每题5分，共4题，计20分） 1. 计算题。 2. 解方程。 二、填空题（每题3分，共10题，计30分） 3. 若的等于的，则的最简整数比为___________。 4. 有一枚质地均匀、各面标有数字1－6的正方体骰子，将其投掷两次，朝上一面的两个数字之和为3的倍数的可能性是___________。 5. 如图，用“十字形”分割正方形，分割1次，分成了4个正方形，分割2次。分成了7个正方形（不计组合成的正方形）。分割3次，分成了10个正方形，…，分割20次，分成了___________个正方形。 6. 如图，在正方形中，，分别为线段的中点，若三角形的面积为1，则阴影部分的面积为___________。 7. 有一种熏香，材质不均匀，但是每一根这样的熏香燃烧完所用的时间都一样。小明做了如下试验：取两根薰香，将第一根的两端及第二根的一端同时点燃；当第一根薰香烧完时，再点燃第二根薰香的另一端，并开始计时，从开始计时至第二根燃尽时共用时10分钟。则一根熏香从一端开始完全燃烧需要________分钟。 8. 如图，有一透明水壶，壶体为圆柱形，壶盖及开口部分形状不规则，水壶装满水时的总容量为500毫升。现在壶中装有一些水，正立放置时水面距壶底15厘米，倒立放置时水面距壶底10厘米，则现在壶中有___________毫升水。 9. 抽屉里有10只黑袜子、6只白袜子、8只蓝袜子，那么需从抽屉中至少随机拿出___________只袜子，才能保证拿到一双同色的袜子。小明已经从抽屉中拿出一只黑袜子，那么至少要再随机拿出___________只袜子才能保证凑成一双黑袜子。 10. 如图：有一块长方形小公园，长30米，宽20米，现准备在其中建一个直径为6米的圆形喷泉水池，以及一条宽2米的笔直小路，其余部分为草地，要求小路贯穿草地连接长方形的一组对边，喷泉水池完全位于公园内且不与小路重叠。则草地部分的最大面积为___________。（保留） 11. 如图，有一些小圆柱体分组整齐堆叠放置，每个小圆柱体底面直径及高均为2。第一组只有1个，第二组为2列、2层，第三组为3列、3层，以此类推，第四组图形的表面积为___________。（保留π） 12. 如图，点是三角形内一点，且到三边的垂线段的长都为3，三角形的面积为54，则三角形的周长为___________。 三、解答题（每题10分，共5题，计50分） 13. 已知图中△ABC的每边长都是48厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，求线段CE和CF的长度之和。 14. 当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100。请问爸爸比小明大多少岁？ 15. 在三角形中，点为线段中点，点在线段上且，若三角形CEF的面积为4，则三角形的面积为多少？ 16. 小明和小红在200米长的环形跑道上练习跑步，两人始终匀速奔跑。若两人同时从同一起点出发，同向奔跑，1分40秒后小明第一次追上小红；若小明让小红先跑10秒再出发同向追小红，则小明跑15秒后第一次追上小红。现在两人从同一起点同时出发，背向奔跑，则出发后2分钟内两人共相遇多少次？（不包含出发时） 17. 我们可以将一个纸片通过剪切，结合图形的平移、旋转、翻折，重新拼接成一个新的图形。如图①，沿两边中点剪切，将绕点顺时针旋转，可得到平行四边形。请尝试解决下列问题： （1）将梯形纸片剪拼成平行四边形。请在图②中画出示意图，并简要说明是如何剪拼和变换的。 （2）如图③，将四边形剪拼成平行四边形。请在图中画出示意图，并简要说明是如何剪拼和变换的。 （3）如图④，分别是四边形各边的中点，若的面积分别为，且，则四边形的面积是___________。（不要求说明理由） 数学练习题B 一、计算题（每题5分，共4题，计20分） 18. 计算题。 19. 解方程。 二、填空题（每题3分，共10题，计30分） 20. 若的等于的，则∶的最简整数比为___________。 21. 有一枚质地均匀的硬币，将其投掷3次，正面朝上的次数为偶数的可能性是___________， 22. 如图，用相邻两边中点连线分割正方形，分割1次，分成了5个子图形（1个正方形＋4个三角形，不计组合成的图形），分割2次，分成了9个子图形（1个正方形＋8个三角形），分割3次，分成了13个子图形，…，分割20次，分成了___________个子图形。 23. 如图，在正方形中，分别为线段的中点，若阴影部分的面积为10，则三角形的面积为___________。 24. 有一种熏香，材质不均匀，但是每一根这样的熏香燃烧完所用的时间都一样。小明做了如下试验：取两根熏香，将第一根的两端及第二根的一端同时点燃；当第一根熏香烧完时，再点燃第二根熏香的另一端，并开始计时，从开始计时至第二根燃尽时共用时15分钟。则一根熏香从一端开始完全燃烧需要___________分钟。 25. 如图，有一透明水壶，壶体为圆柱形，壶盖及开口部分形状不规则，水壶装满水时的总容量为500毫升。现在壶中装有一些水，正立放置时水面距壶底17厘米，倒立放置时水面距壶底8厘米，则现在壶中有___________毫升水。 26. 抽屉里有8只黑袜子、6只白袜子、2只蓝袜子、4只红袜子，那么若从抽屉中至少随机拿出___________只袜子，才能保证拿到一双同色的袜子。小明已经从抽屉中拿出一只黑袜子，那么至少要再随机拿出___________只袜子才能保证凑成一双黑抹子。 27. 如图，有一块长方形小公园，长25米，宽20米，现准备在其中建一个直径为10米的圆形喷泉水池，以及一条宽1.5米的笔直小路，其余部分为草地。要求小路贯穿草地连接长方形的一组对边，喷泉水池完全位于公园内且不与小路重叠，则草地部分的最大面积为___________平方米。（保留π） 28. 如图，有一些小圆柱体分组整齐堆叠放置，每个小圆柱体底面直径及高均为2，第一组只有1个，第二组为2列、2层，第三组为3列、3层，以此类推，第四组图形的表面积为___________。（保留π） 29. 如图，点是三角形内一点，且到三边的垂线段的长都为2，三角形的面积为40。则三角形的周长为___________。 三、解答题（每题10分，共5题，计50分） 30. 如图，在中，，用折线将分割成面积相等的6个三角形，求的长度之和。 31. 当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100，请问爸爸比小明大多少岁？ 32. 在三角形中，点为线段中点，点在线段上且，若三角形CEF的面积为18，则三角形的面积为多少？ 33. 小明和小红在400米长的环形跑道上练习跑步，两人始终匀速奔跑。若两人同时从同一起点出发，同向奔跑，3分20秒后小明第一次追上小红：若小明让小红先跑20秒再出发同向追小红，则小明跑30秒后第一次追上小红。现在两人从同一起点同时出发，背向奔跑，则出发后3分钟内两人共相遇多少次？（不包含出发时） 34. 我们可以将一个纸片通过剪切，结合图形的平移、旋转、圆折，重新拼接成一个新的图形。如图①，沿两边中点剪切，将绕点顺时针旋转180°，可得到平行四边形。请尝试解决下列问题： （1）将梯形纸片剪拼成平行四边形。请在图②中画出示意图，并简要说明是如何剪拼和变换的。 （2）如图③，将四边形剪拼成平行四边形。请在图中画出示意图，并简要说明是如何剪拼和变换的。 （3）如图④，分别是四边形各边的中点，若，的面积分别为，，，，且，，则四边形的面积是___________。（不要求说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习题A 一、计算题（每题5分，共4题，计20分） 1. 计算题。 【答案】 ； 【解析】 【分析】括号外是分数乘，括号内是分数加，且括号内的分母与括号外的分子或分母有倍数关系，适合运用乘法分配律进行简便计算； 观察各分数的分母，每个分母都可以写成两个相差的数的乘积。分子都是，可以提取共同的因数，再利用裂项公式，将每个分数拆分成两个分数的差，最后中间项相互抵消进行计算。 【详解】 2. 解方程。 【答案】； 【解析】 【分析】（1）先将改写成，方程两边同时减去，将方程变成，然后方程两边先同时加上，再同时除以，求出方程的解； （2）先将方程改写成，方程两边先同时减去，将方程变成，然后方程两边先同时加上，再同时除以，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： 二、填空题（每题3分，共10题，计30分） 3. 若的等于的，则的最简整数比为___________。 【答案】3∶10 【解析】 【分析】先根据题干描述写出等式：，利用比例的基本性质（比例内项积等于外项积），把a和​放在外项侧、b和​放在内项侧，直接得到，给分数比的前后项同乘分母的最小公倍数15消分母：，得到最简整数比。 【详解】 4. 有一枚质地均匀、各面标有数字1－6的正方体骰子，将其投掷两次，朝上一面的两个数字之和为3的倍数的可能性是___________。 【答案】 【解析】 【分析】先算投掷两次骰子总共有多少种不同的结果 骰子第一次扔，朝上的数字可以是1、2、3、4、5、6，共6种情况；因为两次扔骰子互不影响，第二次扔也有6种情况。全部结果数就是：种，而且因为骰子质地均匀，每一种结果出现的可能性都一样大。逐个找出“两个数字的和是3的倍数”的情况，我们按第一次扔出的数字分类数，计算可能性用“符合要求的情况数 ÷ 全部情况数”。 【详解】共有6×6＝36（种）结果。 和是3的有2种：1和2，2和1。 和是6的有5种：1和5，2和4，3和3，4和2，5和1。 和是9的有4种：3和6，4和5，5和4，6和3。 和是12的有1种：6和6。 符合条件的结果有2＋5＋4＋1＝12（种）。 12÷36＝。 5. 如图，用“十字形”分割正方形，分割1次，分成了4个正方形，分割2次。分成了7个正方形（不计组合成的正方形）。分割3次，分成了10个正方形，…，分割20次，分成了___________个正方形。 【答案】61 【解析】 【分析】由题已知：分割1次，分成4个正方形（）；分割2次，分成7个正方形（）；分割3次，分成10个正方形（）。则分割n次，能分成个正方形。令，代入计算即可。 【详解】当时， (个） 因此，分割20次，分成了61个正方形。 6. 如图，在正方形中，，分别为线段的中点，若三角形的面积为1，则阴影部分的面积为___________。 【答案】5 【解析】 【分析】由图可知，正方形ABCD的面积相当于8个三角形CEF的面积，用三角形CEF的面积乘8算出正方形ABCD的面积； 三角形ADF的底与三角形CEF的底相等，三角形ADF的高是三角形CEF高的2倍，三角形面积＝底×高÷2，所以三角形ADF的面积是三角形CEF面积的2倍，用三角形CEF的面积乘2算出三角形ADF的面积； 最后用正方形的面积减去三角形ADF的面积和三角形CEF的面积即可得到阴影部分的面积。 【详解】正方形ABCD的面积：1×8＝8 三角形ADF的面积：1×2＝2 阴影部分的面积： 8－1－2 ＝7－2 ＝5 7. 有一种熏香，材质不均匀，但是每一根这样的熏香燃烧完所用的时间都一样。小明做了如下试验：取两根薰香，将第一根的两端及第二根的一端同时点燃；当第一根薰香烧完时，再点燃第二根薰香的另一端，并开始计时，从开始计时至第二根燃尽时共用时10分钟。则一根熏香从一端开始完全燃烧需要________分钟。 【答案】40 【解析】 【分析】香两端点燃，速度是原来的2倍，时间减半。第二根剩下的部分两头烧用了10分钟，如果一端烧这一段就要10×2分钟，这正好是半根香，整根再乘2，所以用10×2×2计算。 【详解】10×2×2＝40（分钟） 8. 如图，有一透明水壶，壶体为圆柱形，壶盖及开口部分形状不规则，水壶装满水时的总容量为500毫升。现在壶中装有一些水，正立放置时水面距壶底15厘米，倒立放置时水面距壶底10厘米，则现在壶中有___________毫升水。 【答案】300 【解析】 【分析】正立时水对应的圆柱高度15厘米，倒置后空余部分对应的圆柱高度10厘米，先假设圆柱底面积为S，则可以算出水的体积和空余部分的体积，根据关系式“水壶总容量等于水的体积加上倒置后空余部分的体积”求出底面积，再计算水的体积。 圆柱体积＝底面积×高；1立方厘米＝1毫升 【详解】解：设水壶的底面积为S，正立放置时水的体积为立方厘米；因为水壶的总容量是500毫升（500立方厘米），倒立放置时，空的部分体积相当于底面积为S，高为10厘米的圆柱体积，即立方厘米。 水的体积：（立方厘米） 因此，壶中有300毫升水。 9. 抽屉里有10只黑袜子、6只白袜子、8只蓝袜子，那么需从抽屉中至少随机拿出___________只袜子，才能保证拿到一双同色的袜子。小明已经从抽屉中拿出一只黑袜子，那么至少要再随机拿出___________只袜子才能保证凑成一双黑袜子。 【答案】 ①. 4 ②. 15 【解析】 【分析】一共有黑、白、蓝三种颜色的袜子，先每种颜色各取出1只，这时还没有同色的一双，再任意拿1只，就一定能和前面某一只颜色相同。 已经拿走1只黑袜子，要保证再凑出一双黑袜子，就要先把所有白袜子、蓝袜子全部取完，把最不利的情况都考虑到，之后再取1只，就一定都是黑袜子，凑成一双黑袜。 【详解】3＋1＝4（只） 6＋8＋1＝15（只） 10. 如图：有一块长方形小公园，长30米，宽20米，现准备在其中建一个直径为6米的圆形喷泉水池，以及一条宽2米的笔直小路，其余部分为草地，要求小路贯穿草地连接长方形的一组对边，喷泉水池完全位于公园内且不与小路重叠。则草地部分的最大面积为___________。（保留） 【答案】平方米 【解析】 【分析】由题知，修的小路是笔直的，且要求草地部分面积最大，则圆形喷泉水池和小路的面积应该要最小，而圆形喷泉水池的面积是固定的，因此，只有小路的面积最小，草地的面积才能最大。 当小路的长度与长方形的边垂直时，小路为长方形，此时小路的长度最短。小路宽为 2 米，分两种情况：小路长为 30 米或者长为 20 米，对比两种情况的小路面积，选出最小值。再依次求出长方形公园的总面积、圆形喷泉水池的面积和草地的面积。 草地的面积＝长方形公园的面积－小路的面积－圆形喷泉水池的面积；长方形的面积＝长×宽；圆的面积 【详解】若小路连接长方形的宽边时，面积为：（平方米） 若小路连接长方形的长边时，面积为：（平方米） ，所以，当小路连接长方形的宽边时，面积最小，为40平方米。 圆形水池的面积：（平方米） 长方形的面积：（平方米） 草地的面积：平方米 11. 如图，有一些小圆柱体分组整齐堆叠放置，每个小圆柱体底面直径及高均为2。第一组只有1个，第二组为2列、2层，第三组为3列、3层，以此类推，第四组图形的表面积为___________。（保留π） 【答案】72π 【解析】 【分析】先根据圆柱侧面积公式S＝πdh、底面积公式S＝πr2，求出单个圆柱的侧面积和底面积。堆叠时贴合的面被遮住不算，从上面能看到n个圆，从下面也能看到n个圆，底面总面积是2×n×π；圆柱总个数是n×n，全部侧面积相加，依次求出前几组，找到规律后求第四组。 【详解】侧面积：π×2×2＝4π 底面积：π×（2÷2）2 ＝π×12 ＝π×1 ＝π 第一组：1×1×4π＋2×1×π ＝4π＋2π ＝6π 第二组：2×2×4π＋2×2×π ＝16π＋4π ＝20π 第三组：3×3×4π＋2×3×π ＝36π＋6π ＝42π 第四组：4×4×4π＋2×4×π ＝64π＋8π ＝72π 12. 如图，点是三角形内一点，且到三边的垂线段的长都为3，三角形的面积为54，则三角形的周长为___________。 【答案】36 【解析】 【分析】分别连接AO、BO、CO，那么三角形ABC被分成了三个三角形。将三个三角形的面积分别表示出来，再相加，即可将三角形ABC的面积表示出来。通过整理式子，求出AB＋BC＋CA的值，即三角形ABC的周长。三个边的长度和为三角形的周长，三角形面积＝底×高÷2。解答即可。 【详解】 根据题意，得 AB×3÷2＋BC×3÷2＋AC×3÷2＝54 解：（AB＋BC＋AC）×3÷2＝54 （AB＋BC＋AC）×3÷2÷3×2＝54÷3×2 AB＋BC＋AC＝36 所以，三角形ABC的周长是36。 三、解答题（每题10分，共5题，计50分） 13. 已知图中△ABC的每边长都是48厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，求线段CE和CF的长度之和。 【答案】50厘米 【解析】 【分析】根据三角形ABC的边长都是48厘米，用折线把三角形分割成面积相等的四个三角形，可得△ABD和△BDC的面积之比是1∶3，根据三角形的高一定时，面积与底成正比的性质可得：AD∶DC＝1∶3；因为AC＝48厘米，即可求得CD＝48×＝36厘米。同理即可求得CF和CE的长度；据此解答。 【详解】根据题干可得：△ABD＝△BDE＝△DEF＝△EFC △ABD和△BDC的面积之比是1∶3，根据三角形的高一定时，面积与底成正比的性质可得：AD∶DC＝1∶3；因为AC＝48厘米，即可求得CD＝48×＝36（厘米）。 △DEF和△EFC的面积之比是1∶1，根据三角形的高一定时，面积与底成正比的性质可得：DF∶FC＝1∶1；因为DC＝36厘米，即可求得CF＝36×＝18（厘米）。 △BDE和△EDC的面积之比是1∶2，根据三角形的高一定时，面积与底成正比的性质可得：BE∶EC＝1∶2；因为BC＝48厘米，即可求得CE＝48×＝32（厘米）。 CF＋CE＝18＋32＝50（厘米） 答：线段CE和CF的长度之和是50厘米。 14. 当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100。请问爸爸比小明大多少岁？ 【答案】24岁 【解析】 【分析】先按爷爷与小明的年龄倍数关系，把年龄和分成4份，求出两人的年龄差。首先明确最小质数是2，即小明2岁时，用不变的年龄差求出爷爷年龄；再根据“爷爷年龄是爸爸年龄的2倍”用除法求出爸爸年龄，最后求父子年龄差。 【详解】3＋1＝4（份） 100÷4＝25（岁） 25×3＝75（岁） 75－25＝50（岁） 2＋50＝52（岁） 52÷2＝26（岁） 26－2＝24（岁） 答：爸爸比小明大24岁。 15. 在三角形中，点为线段中点，点在线段上且，若三角形CEF的面积为4，则三角形的面积为多少？ 【答案】1.5 【解析】 【分析】燕尾模型：如图：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有S△AOB∶S△AOC＝BD∶CD，S△AOB∶S△COB＝AE∶CE，S△BOC∶S△AOC＝BF∶AF；等高模型：等高的三角形面积比等于底边之比； 连接AF，由等高模型可得：三角形EFC的面积∶三角形AFE的面积＝CE∶AE，因为三角形EFC的面积已知，可以求出三角形AFE的面积； 由燕尾模型可得：D是中点，三角形BFC的面积∶三角形AFC的面积＝三角形BFC的面积∶（三角形AFE的面积＋三角形CFE的面积）＝BD∶AD＝1∶1，求出三角形BFC的面积，因为三角形BFC的面积∶三角形BFA的面积＝CE∶AE；求出三角形BFA的面积，，所以三角形BDF的面积＝三角形BFA的面积÷2； 【详解】连接AF： 因为D是AB中点，所以BD∶AD＝1∶1 因为CE＝2AE，所以EC∶AE＝2∶1 根据等高模型： 三角形EFC的面积∶三角形AFE的面积 ＝CE∶AE ＝2∶1 所以三角形AFE的面积＝4÷2＝2 根据燕尾模型： 三角形BFC的面积∶三角形AFC的面积＝BD∶AD＝1∶1 所以三角形BFC的面积＝三角形AFC的面积＝4＋2＝6 三角形BFC的面积∶三角形BFA的面积 ＝CE∶AE ＝2∶1 三角形BFA的面积＝三角形BFC的面积÷2 ＝6÷2 ＝3 根据等高模型，三角形BDF的面积＝三角形BFA的面积÷2＝3÷2＝1.5 答：三角形BDF的面积为1.5。 16. 小明和小红在200米长的环形跑道上练习跑步，两人始终匀速奔跑。若两人同时从同一起点出发，同向奔跑，1分40秒后小明第一次追上小红；若小明让小红先跑10秒再出发同向追小红，则小明跑15秒后第一次追上小红。现在两人从同一起点同时出发，背向奔跑，则出发后2分钟内两人共相遇多少次？（不包含出发时） 【答案】 4次 【解析】 【分析】环形跑道追及、相遇问题，用到追及公式：路程差＝速度差×追及时间；相遇公式：路程和＝速度和×相遇时间。先求出两人速度差，再求出各自速度，接着算出背向跑每次相遇的用时，最后统计2分钟内相遇次数。 【详解】1分40秒＝100秒，2分钟秒 （米/秒） （米） （米/秒） （米/秒） （米/秒） （秒） ，余下的20秒不够完成一次相遇，所以共相遇4次。 答：出发后2分钟内两人共相遇4次。 17. 我们可以将一个纸片通过剪切，结合图形的平移、旋转、翻折，重新拼接成一个新的图形。如图①，沿两边中点剪切，将绕点顺时针旋转，可得到平行四边形。请尝试解决下列问题： （1）将梯形纸片剪拼成平行四边形。请在图②中画出示意图，并简要说明是如何剪拼和变换的。 （2）如图③，将四边形剪拼成平行四边形。请在图中画出示意图，并简要说明是如何剪拼和变换的。 （3）如图④，分别是四边形各边的中点，若的面积分别为，且，则四边形的面积是___________。（不要求说明理由） 【答案】（1） （2） （3）68 【解析】 【分析】（1）利用取边中点，剪开后旋转180°完成图形重拼； （2）利用取边中点，剪开后旋转 180° 完成图形重拼； （3）利用四边形中点分割的面积规律，对角两个三角形面积之和相等，求出总面积。 【小问1详解】 找到AB的中点，沿着中点与CD平行的方向剪开；把剪下的小三角形绕AB的中点顺时针旋转180°，就拼成平行四边形。 【小问2详解】 找到AD的中点，沿着中点与BC平行的方向剪开；把剪下的小三角形绕AD的中点顺时针旋转 180°，就拼成梯形，再按照（1）的方法剪拼成平行四边形。 【小问3详解】 四边形边上中点分割出来的4个角落三角形，有规律：S1＋S3＝S2＋S4。 已知S1＝8，S3＝9，S1＋S3＝17，所以4个三角形总面积是17＋17＝34。 中间中点四边形的面积等于四个三角形面积之和，也就是34。 大四边形面积是34＋34＝68。 数学练习题B 一、计算题（每题5分，共4题，计20分） 18. 计算题。 【答案】 ； 【解析】 【分析】第一题：观察到括号外的乘数与括号内各分数的分母存在约分可能，所以可利用乘法分配律，将括号内的每一项分别与​相乘，再计算加减得到结果。 第二题：观察每个分数的分母可拆为两个相邻自然数的乘积，分子是这两个数的和，所以可使用裂项相消法，将每个分数拆成两个分数的和，再抵消中间项简化计算。 【详解】 19. 解方程。 【答案】x＝0.75；x＝52 【解析】 【分析】（1）先根据等式的性质2，方程两边同时乘5；接着化简方程，然后根据等式的性质1，方程两边同时减去x，再同时加上3.5；最后根据等式的性质2，方程两边同时除以6求解。 （2）先根据等式的性质2，方程两边同时乘20；接着化简方程，然后根据等式的性质1，方程两边同时减去4x，再同时加上40求解。 【详解】（1）1.4x－0.7＝ 解：（1.4x－0.7）×5 ＝×5 7x－3.5＝x＋1 7x－3.5－x＝x＋1－x 6x－3.5＝1 6x－3.5＋3.5＝1＋3.5 6x＝4.5 6x÷6＝4.5÷6 x＝0.75 （2）＝－2 解：×20＝（－2）×20 4（x＋3）＝5x－40 4x＋12＝5x－40 4x＋12－4x＝5x－40－4x 12＝x－40 x－40＝12 x－40＋40＝12＋40 x＝52 二、填空题（每题3分，共10题，计30分） 20. 若的等于的，则∶的最简整数比为___________。 【答案】7∶6 【解析】 【分析】先根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，列出等式，并设等式的结果为1，分别求出、的值，进而写出与的比，并根据比例的基本性质，化成最简整数比。 【详解】由题意可知：×＝×，设×＝×＝1。 ＝1÷＝1×＝ ＝1÷＝1×3＝3 ∶＝∶3 ＝（×2）∶（3×2） ＝7∶6 21. 有一枚质地均匀的硬币，将其投掷3次，正面朝上的次数为偶数的可能性是___________， 【答案】 ##50%##0.5 【解析】 【分析】投掷一枚硬币3次，每次都有正面、反面2种可能，通过列举法找出符合条件的情况数和总情况数，再用符合条件的情况数除以总情况数，即可求出可能性。 【详解】总情况数：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反，共有8种可能的结果。 其中正面朝上次数为偶数的情况有： 正面朝上2次：正正反，正反正，反正正，共3种； 正面朝上0次：反反反，共1种。 符合条件的情况共有：3＋1＝4（种） 正面朝上的次数为偶数的可能性是：4÷8＝＝ 22. 如图，用相邻两边中点连线分割正方形，分割1次，分成了5个子图形（1个正方形＋4个三角形，不计组合成的图形），分割2次，分成了9个子图形（1个正方形＋8个三角形），分割3次，分成了13个子图形，…，分割20次，分成了___________个子图形。 【答案】81 【解析】 【分析】观察已知条件，分割1次有5个图形，写成1＋4×1＝5；分割2次有9个，写成1＋4×2＝9；分割3次有13个，写成1＋4×3＝13，可以发现每次分割都增加4个图形，规律是子图形个数＝1＋4×分割次数，再把分割20次代入式子计算。 【详解】1＋4×20 ＝1＋80 ＝81（个） 23. 如图，在正方形中，分别为线段的中点，若阴影部分的面积为10，则三角形的面积为___________。 【答案】 【解析】 【分析】正方形面积公式是边长×边长，三角形面积公式是底×高÷2。E、F是中点，设正方形边长为2a，依次求出△ADF、△ABE、△CEF的面积，用正方形的总面积减去三块空白三角形的面积，得到阴影部分的面积，列等式求出a2，再代入三角形面积公式求出△CEF的面积。 【详解】设正方形边长为2a。 正方形面积：2a×2a＝4a2 S△ADF＝S△ABE＝2a×a÷2＝2a2÷2＝a2 S△CEF＝a×a÷2＝a2÷2＝a2 4a2－a2－a2－a2＝10 解：a2＝10 a2÷＝10÷ a2＝10× a2＝ S△CEF＝×＝ 24. 有一种熏香，材质不均匀，但是每一根这样的熏香燃烧完所用的时间都一样。小明做了如下试验：取两根熏香，将第一根的两端及第二根的一端同时点燃；当第一根熏香烧完时，再点燃第二根熏香的另一端，并开始计时，从开始计时至第二根燃尽时共用时15分钟。则一根熏香从一端开始完全燃烧需要___________分钟。 【答案】 60 【解析】 【分析】突破口是明确两端同时点燃的熏香，燃烧完的时长是一端点燃燃烧完时长的一半。 设一根熏香一端点燃烧完的总时长为，因为第一根两端同时点燃，所以第一根烧完的用时为​。 第一根烧完时，第二根只点燃了一端，已经燃烧了​，所以此时第二根剩余的燃烧量如果只点一端的话，还需要​才能烧完。 此时点燃第二根的另一端，那么剩余部分的燃烧时长会变为原来的一半，即，结合题目给出该时长为15分钟，建立对应关系即可求解。 【详解】根据分析，设一根熏香一端点燃烧完的总时长为，那么 解：T＝15×4 T＝60 25. 如图，有一透明水壶，壶体为圆柱形，壶盖及开口部分形状不规则，水壶装满水时的总容量为500毫升。现在壶中装有一些水，正立放置时水面距壶底17厘米，倒立放置时水面距壶底8厘米，则现在壶中有___________毫升水。 【答案】340 【解析】 【分析】正立时水在圆柱形壶体内，对应高度是17厘米；倒立后，不规则的壶盖开口部分都被空出的空间占满，剩下的空出部分也在圆柱形壶体内，对应高度是8厘米。整个水壶的总容量，就相当于底面积相同、总高为17＋8＝25厘米的圆柱的体积，也就是500毫升。根据水的体积∶总容量＝水的高度∶与水壶等底的圆柱的高度。 【详解】解：设现在壶中有x毫升的水。 17＋8＝25（厘米） x∶500＝17∶25 25x＝500×17 x＝500×17÷25 x＝340 26. 抽屉里有8只黑袜子、6只白袜子、2只蓝袜子、4只红袜子，那么若从抽屉中至少随机拿出___________只袜子，才能保证拿到一双同色的袜子。小明已经从抽屉中拿出一只黑袜子，那么至少要再随机拿出___________只袜子才能保证凑成一双黑抹子。 【答案】 ①. 5 ②. 13 【解析】 【分析】一共有4种颜色的袜子，要保证拿到一双同色的，先考虑最不凑巧的情况，每种颜色各摸出1只，再摸1只就一定有一双； 已经预先拿出了1只黑袜子，现在要保证再摸出的袜子里能凑成一双，一双只要两只同色即可。最不利的情况是先把白、蓝、红所有别的颜色全部摸出来，一共12只，这些都配不成对，接下来再摸1只，只能是黑袜子，和手里已有的黑袜子配成一双。 【详解】4＋1＝5（只） 6＋2＋4＋1＝13（只） 27. 如图，有一块长方形小公园，长25米，宽20米，现准备在其中建一个直径为10米的圆形喷泉水池，以及一条宽1.5米的笔直小路，其余部分为草地。要求小路贯穿草地连接长方形的一组对边，喷泉水池完全位于公园内且不与小路重叠，则草地部分的最大面积为___________平方米。（保留π） 【答案】470－25π 【解析】 【分析】要让草地面积最大，那么小路和喷泉水池的占地面积之和要最小，首先确定宽1.5米的笔直小路的最小面积，因为小路是平行四边形，宽为高，所以如果连接长方形的短边对边，那么小路底边长为长方形的宽，用平行四边形面积公式计算小路面积。 计算圆形喷泉水池的面积，用到圆的面积公式，其中半径由直径可得。 因为草地面积等于长方形总面积减去小路面积再减去喷泉水池面积，所以代入相应数值即可得到结果。 【详解】小路面积：20×1.5＝30（平方米） 喷泉水池半径：10÷2＝5（米） 喷泉水池面积：π×5×5＝25π（平方米） 小公园面积：25×20＝500（平方米） 草地最大面积：500－25π－30＝（470－25π）平方米 28. 如图，有一些小圆柱体分组整齐堆叠放置，每个小圆柱体底面直径及高均为2，第一组只有1个，第二组为2列、2层，第三组为3列、3层，以此类推，第四组图形的表面积为___________。（保留π） 【答案】72π 【解析】 【分析】先根据圆柱侧面积公式S＝πdh、底面积公式S＝πr2，求出单个圆柱的侧面积和底面积。堆叠时贴合的面被遮住不算，从上面能看到n个圆，从下面也能看到n个圆，底面总面积是2×n×π；圆柱总个数是n×n，全部侧面积相加，依次求出前几组，找到规律后求第四组。 【详解】侧面积：π×2×2＝4π 底面积：π×（2÷2）2 ＝π×12 ＝π×1 ＝π 第一组：1×1×4π＋2×1×π ＝4π＋2π ＝6π 第二组：2×2×4π＋2×2×π ＝16π＋4π ＝20π 第三组：3×3×4π＋2×3×π ＝36π＋6π ＝42π 第四组：4×4×4π＋2×4×π ＝64π＋8π ＝72π 29. 如图，点是三角形内一点，且到三边的垂线段的长都为2，三角形的面积为40。则三角形的周长为___________。 【答案】40 【解析】 【分析】把大三角形分成3个小三角形后，它们的高相同。根据三角形面积公式，，每个小三角形的面积与对应底边长度相等，因此总面积就是三角形的周长。 【详解】三角形面积＝底×2÷2。 三角形面积＝底。 大三角形的面积＝三条边长的和。 三角形的周长＝40。 三、解答题（每题10分，共5题，计50分） 30. 如图，在中，，用折线将分割成面积相等的6个三角形，求的长度之和。 【答案】36 【解析】 【分析】因为高相同的三角形面积比等于底边长的比，根据同高三角形面积与底边的比例关系，逐步计算各段边长，再求和。 【详解】求AD的长度：6个小三角形面积相等，△AGD占了2份小三角形的面积，△AGC占了3份小三角形的面积，△AGD和△AGC同高，所以AD是AC边的： ； 求CE的长度：6个小三角形面积相等，△BEH占了1份小三角形的面积，△CEH占了1份小三角形的面积，△BEH和△CEH同高，所以CE是BC边的： ； 求BH的长度：6个小三角形面积相等，△BHC占了2份小三角形的面积，△ABC占了6份小三角形的面积，△BHC和△ABC同高，所以BH是AB边的： ； 最后相加： 31. 当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100，请问爸爸比小明大多少岁？ 【答案】24岁 【解析】 【分析】把现在小明的年龄看作1份，爷爷的年龄就是3份，总份数是（1＋3）份，用年龄和除以总份数，求出1份也就是小明现在的年龄，接着算出爷爷年龄，得到爷爷和小明不变的年龄差；最小的质数是2，即小明2岁时，算出当时爷爷的年龄，此时爷爷年龄是爸爸的2倍，求出那时爸爸的年龄，最后用爸爸当时的年龄减小明当时的年龄，就是爸爸比小明大的岁数。 【详解】总份数：1＋3＝4（份） 小明现在：100÷4＝25（岁） 爷爷现在：25×3＝75（岁） 爷爷比小明大：75－25＝50（岁） 小明2岁时，爷爷：2＋50＝52（岁） 爸爸当时：52÷2＝26（岁） 爸爸比小明大：26－2＝24（岁） 答：爸爸比小明大24岁。 32. 在三角形中，点为线段中点，点在线段上且，若三角形CEF的面积为18，则三角形的面积为多少？ 【答案】4 【解析】 【分析】燕尾定理：如图：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有S△AOB∶S△AOC＝BD∶CDS△AOB∶S△COB＝AE∶CES△BOC∶S△AOC＝BF∶AF；等高模型：等高的三角形面积比等于底边之比； 连接AF，三角形EFC与三角形AFE同高，因为CE＝3AE，所以三角形EFC面积＝3×三角形AFE的面积，可以求出三角形AFE的面积； 点D是AB的中点，即BD＝AD；根据燕尾定理，三角形BFC的面积∶三角形AFC的面积＝BD∶AD＝1∶1，从而得出三角形BFC的面积＝三角形AFC的面积＝三角形EFC面积＋三角形AFE的面积； 根据燕尾模型：三角形BFC的面积∶三角形BFA的面积＝CE∶AE＝3∶1，所以三角形BFA的面积＝三角形BFC的面积÷3； 三角形BDF面积＝三角形BFA的面积÷2。 【详解】连接AF： 因为CE＝3AE，所以： S△AFE＝S△CFE÷3 ＝18÷3 ＝6 因为D是中点，所以：S△CBF∶S△CAF=BD ∶AD=1∶1 S△CBF＝S△CAF ＝S△AFE＋S△CFE ＝6＋18 ＝24 因为CE＝3AE，所以：S△CBF∶S△BFA=CE∶AE=3∶1 S△BFA＝S△CBF÷3 =24÷3 ＝8 因为D是AB中点，即BD＝AD，所以： S△BDF＝S△ABF÷2 ＝8÷2 ＝4 答：三角形BDF的面积为4。 33. 小明和小红在400米长的环形跑道上练习跑步，两人始终匀速奔跑。若两人同时从同一起点出发，同向奔跑，3分20秒后小明第一次追上小红：若小明让小红先跑20秒再出发同向追小红，则小明跑30秒后第一次追上小红。现在两人从同一起点同时出发，背向奔跑，则出发后3分钟内两人共相遇多少次？（不包含出发时） 【答案】 3次 【解析】 【分析】先根据环形同向追及的路程差（1圈）算出两人的速度差，再结合第二次追及的条件求出小红的速度，进而得到小明的速度；再根据环形背向相遇的路程和（1圈）算出相遇间隔时间，最后计算3分钟内的相遇次数。 【详解】分秒秒 分秒 两人的速度差： （米/秒） 小红先跑20秒的路程（也就是两人的路程差用两人速度差乘同时跑的时间30秒）：（米） 小红的速度：（米/秒） 小明的速度：（米/秒） 两人的速度和：（米/秒） 背向奔跑每次相遇的间隔时间：（秒） （次）（秒） 余下30秒不够相遇1次。 答：出发后3分钟内两人共相遇3次。 34. 我们可以将一个纸片通过剪切，结合图形的平移、旋转、圆折，重新拼接成一个新的图形。如图①，沿两边中点剪切，将绕点顺时针旋转180°，可得到平行四边形。请尝试解决下列问题： （1）将梯形纸片剪拼成平行四边形。请在图②中画出示意图，并简要说明是如何剪拼和变换的。 （2）如图③，将四边形剪拼成平行四边形。请在图中画出示意图，并简要说明是如何剪拼和变换的。 （3）如图④，分别是四边形各边的中点，若，的面积分别为，，，，且，，则四边形的面积是___________。（不要求说明理由） 【答案】（1） （2） （3）52 【解析】 【分析】（1）利用取边中点，剪开后旋转180°完成图形重拼； （2）利用取边中点，剪开后旋转 180° 完成图形重拼； （3）利用四边形中点分割的面积规律，对角两个三角形面积之和相等，求出总面积。 【小问1详解】 找到AB的中点，沿着中点与CD平行的方向剪开；把剪下的小三角形绕AB的中点顺时针旋转180°，就拼成平行四边形。 【小问2详解】 找到AD的中点，沿着中点与BC平行的方向剪开；把剪下的小三角形绕AD的中点顺时针旋转 180°，就拼成梯形，再按照（1）的方法剪拼成平行四边形。 【小问3详解】 四边形边上中点分割出来的4个角落三角形，有规律：S1＋S3＝S2＋S4。 已知S1＝6，S3＝7，S1＋S3＝13，所以4个三角形总面积是13＋13＝26。 中间中点四边形的面积等于四个三角形面积之和，也就是26。 大四边形面积是26＋26＝52。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $