1.1探索勾股定理自主学习同步练习题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学勾股定理新授课同步练，分层设计从基础计算到综合应用，以“概念理解-情境应用-推理拓展”路径巩固知识，适配新授课学情，培养抽象能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一勾股定理计算|直接应用定理求边长（如已知勾股求弦），夯实运算能力| |情境应用|实际问题解决|结合生活场景（如梯子安全距离、两树间小鸟飞行），发展几何直观| |综合提升|定理证明与综合应用|通过赵爽弦图证明定理、复杂图形计算（如折竹抵地），培养推理意识|

2026-2027学年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（     ） A．10 B．12 C．16 D．18 2．要登上高的建筑物，为了安全需使用梯子，梯子底端需至少离建筑物，则梯子的长度至少为（    ） A． B． C． D． 3．一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是（   ） A．斜边长为625 B．三角形的周长为84 C．斜边长为25 D．三角形的面积为168 4．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 5．一个长方形零件如图所示，根据所给尺寸（单位：）可知两孔中心A，B之间的距离是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 6．如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（    ） A． B． C． D． 7．现有一个可调节角度的平板支架放在桌面上，如图所示，其支撑臂长度固定，当点A到桌面的高度时，；当压低支撑臂到的位置时，点到桌面高度，则此时的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在中，，，则_______． 9．一个直角三角形的两条直角边分别为 和 ，则斜边的长为__________． 10．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 11．如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．则长为______． 12．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 13．医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的市民正对门缓慢走到离门1.2米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶到测温仪的距离等于______米． 14．如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，则钟摆的长度为________． 三、解答题 15．在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 16．如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． 17．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 18．如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的两段构成（即），若段长度为，、两点之间的距离比段长，求段的长度． 19．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． (1)求小凳子顶点与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 20．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 参考答案 1．A 解：∵在直角三角形中，勾和股分别是两条直角边，长度为和，弦为斜边，根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和， ∴弦． 2．B 【分析】根据墙面与地面垂直，可知建筑物高度、梯子底端到墙面的水平距离、梯子长度构解：∵建筑物墙面垂直于地面， ∴建筑物高度、梯子底端到建筑物的水平距离、梯子长度构成直角三角形，梯子为该直角三角形的斜边， ∵建筑物高为，梯子底端离建筑物至少，即直角三角形两条直角边长分别为和， ∴由勾股定理得，梯子长度为， ∴梯子长度至少为． 3．C 解：∵一个直角三角形的两直角边长分别为和， ∴由勾股定理可得该直角三角形的斜边长为 ， ∴该三角形的周长为， 该直角三角形的面积为， ∴四个选项中只有C选项中的说法正确，符合题意． 4．D 解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． 5．C 解：如图， 根据题意得：， ，． 在中，由勾股定理，得 ． 答：两孔中心A，B之间的距离为． 6．A 解：设竹子折断处离地面x尺，则折断处离抵地处尺， 根据勾股定理可得． 7．C 解：由题意得，，， 在中，， ， 在中，． 8．解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 9．解：由勾股定理得，斜边的长为． 10．解：根据勾股定理，， 设斜边上的高为，直角三角形的面积有两种计算方式： 以两条直角边为底和高：， 以斜边和斜边上的高为底和高：， 联立得：， 解得：． 11．解：∵，，， ∴， ∴长为． 12．解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为:（米）. 故答案为：10． 13．解：过点D作，如图所示，    ∵，，， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：（米）． 14．解：如图所示： 由题意可得，，， 设， 则， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 即， ， 则钟摆的长度为， 故答案为：． 15．（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 16．（1）解：如图1，当在三角形的内部时， 在中,      在中,      ∴； （2）如图2，当在三角形的外部时， 在 中,      在 中,      ∴． 17．解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 18．解：由题意可得，，， ∴， ∵，， ∴， 解得， 答：段的长度为． 19．（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，则， 由题意可知，， 由勾股定理得：， 答：小凳子顶点与墙面的距离为； （2）如图②，延长交墙面于点，则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，      ， 答：小凳子宽的长度为，木杆的长度为． 20．(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 学科网（北京）股份有限公司 $