25.3 实际问题与一元二次方程 解答题题型分类专题训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，通过四大模块20道题构建"问题情境-模型建立-方程求解"的完整解题链，强化数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |握手问题|5题|含单双循环、握手次数、对角线计算|从组合问题抽象数量关系，建立n(n-1)/2模型| |商品销售|5题|涉及降价促销、增长率、成本利润|围绕"利润=单件利润×销量"构建方程| |几何图形|5题|矩形面积、路径规划、古代数学问题|结合图形性质转化为二次函数求最值| |动态几何|5题|动点面积、折叠问题|通过运动过程变量关系建立含t的方程|

2026-2027学年人教版九年级数学上册25.3实际问题与一元二次方程 解答题题型分类专题训练（附答案） 一、握手问题 1．我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 2．2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 3．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 4．某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 5．九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 二、商品销售问题 6．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时． (1)每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由． 7．某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 8．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 9．阜新盛产玛瑙，有着“世界玛瑙之都”的美誉．玛瑙制品也成为阜新文旅的消费爆款．某门店主营玛瑙饰品，现购进一批成本固定的玛瑙饰品，分为线上和线下两种销售方式，以单件元（含元，元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量（件）关于销售单价（元）满足一次函数关系：，当售价为元时，线下月利润为元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为件，线上每件饰品商家需多付元快递费． (1)求出每件饰品的成本； (2)三月份线上、线下的月利润共可达到元，求三月份每件饰品的售价． 10．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3、4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加．则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 三、几何图形问题 11．为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． (1)若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） (2)当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 12．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22000平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． (1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ (2)该项绿化工程中有一块长为30米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 13．如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料． (1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为； (2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？ 14．如图1，某劳动基地的形状为矩形，，． (1)如图1，活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ (2)学校准备扩建基地，如图2，扩建后的新劳动基地的形状为矩形．因场地受限，的最大长度为，的最大长度为．当时，新劳动基地的面积可以为吗？若可以，请求出和的长；若不可以，请说明理由． 15．我国古代数学家_________（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即面积为_________，因此________． (1)将空白处补充完整； (2)作出方程解法的构图． 四、动态几何问题 16．在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．问： (1)经过几秒，的面积等于？ (2)的面积会等于吗？如果会，求出运动时间；如果不会，说明理由． 17．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 18．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、、设点、运动的时间为． (1)当___________时，四边形是矩形； (2)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，沿着把翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 19．如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，运动时间为t． (1)经过______秒后，点P运动到B点；经过______秒后，点Q运动到C点； (2) ______；（用含t的代数式表示） (3)如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？ (4)如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿的路线以的速度移动，点Q在边上沿的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为． 20．如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 参考答案 1．解：∵赛程计划安排9天，每天安排5场比赛， 总比赛场数为 场， 设比赛组织者应邀请个队参赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场， 比赛总场数为， 由此可得方程：， 解得 （不符合题意，舍去）， 比赛组织者应邀请10个队参赛． 2．13个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设共有x个球队参加比赛，则可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设共有x个球队参加比赛． ．    整理得：． 解得： （不合题意，舍去）     答：共有13个球队参加比赛． 3．(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 4．(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 5．(1)15场 (2)说法正确，理由见解析 (3)14 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为，即可求解； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有人参赛，则比赛的总场数为，然后取当，，，计算的值，结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解： 故按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小博的说法正确． 理由：设有人参赛， 由题意得， 整理得， 解得 的取值不为整数，即方程的解不符合实际， 小博的说法正确； （3）解：设有人参赛，则比赛的总场数为， 当时，； 当时，； 当时，； 又比赛场次控制在90~100之间， ∴应该安排14名参赛者， 故答案为：14． 6．(1)； (2)20元或10元 (3)不能，理由见详解 【分析】（1）根据降价1元多售出2件可得：降价x元多售出件，从而得出答案； （2）根据 “总利润单件利润数量”列出方程，从而求出方程的解得出答案； （3）根据题意列出方程，根据方程是否有解得出答案． 【详解】（1）解：设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元； （2）解：根据题意，得：， 解得：，， 答：每件童装降价20元或10元，平均每天盈利1200元； （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得：， 化简得， 方程无解， 故不可能做到平均每天盈利2000元． 7．(1)， (2) 【分析】（1）令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据题意，根据总利润列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元， 由题意可得方程组， 解得， 故答案为：，． （2）解：甲单件利润为1元，乙单件利润也为元， 根据题意可得， ∴， 化简得， 解得（舍去）或． 当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元． 8．(1) (2)55元 【分析】（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得： 解这个方程得：，（不符合题意，舍去） 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为． （2）解：设该品牌头盔的销售价定为y元． 解这个方程得，，． 因为要尽可能的让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 9．(1)每件产品的成本为元 (2)三月份每件饰品的售价为元 【分析】（1）首先求出当售价为元时，线下月销量为件，设每件产品的成本为元，根据线下月利润为元，列方程求解即可； （2）设三月份每件产品的售价为元，用含的代数式表示出三月份的线上利润和线下利润，根据三月份的总利润为元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当售价为元时，线下月销量（件）， 设每件产品的成本为元， 则， 解得：，                 答：每件产品的成本为元； （2）解：设三月份每件产品的售价为元， 则线下月销量为：（件）， 则线下月利润为：（元）， 线上月利润为（元）， 可得：， 解得：或，             ， （舍去）， 答：三月份每件饰品的售价为元． 10．(1)4月份再生纸的产量为500吨； (2)m的值为20； (3)6月份每吨再生纸的利润是1500元． 【分析】（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为吨，根据“该厂3、4月份共生产再生纸800吨”列方程，据此求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，据此求解即可； （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，根据题意列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为吨， 依题意得：， 解得：， ， 答：4月份再生纸的产量为500吨； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：m的值为20； （3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨， 依题意得：， ， 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 11．(1) (2)当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，得的长为，即可作答． （2）理解题意，根据围成一个面积为的矩形菜地，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，设， ∴， 则的长为； （2）解：由（1）得，则， ∵围成一个面积为的矩形菜地， ∴， 整理得， 解得． 当时，； 当时，； 答：当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 12．(1)该项绿化工程原计划每天完成2000平方米 (2)人行通道的宽度是1米 【分析】（1）设该项绿化工程原计划每天完成平方米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设人行通道的宽度是米，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该项绿化工程原计划每天完成平方米， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴该项绿化工程原计划每天完成2000平方米； （2）解：设人行通道的宽度是米， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴人行通道的宽度是1米． 13．(1)米； (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设矩形与墙平行的边的长度为米，根据总砌墙长度表示出垂直于墙的边的长度，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后结合墙的最长利用长度筛选出符合条件的解； （2）同样根据面积公式列出方程，求解后判断所得的长度是否符合墙的限制条件，若超出则不能围成． 【详解】（1）解：设的长度为米()，则垂直于墙的边的长度为米， 根据题意，得， 整理为：， 因式分解得：， 解得：，(舍去)， 答：当矩形的长为米时，矩形花园的面积为． （2）解：假设能围成面积为的矩形花园，设的长度为米()，同理可得垂直于墙的边的长度为米， 根据面积列方程：， 整理为：， 解得：，， ∵墙最长可利用，，，均不符合题意， ∴不能围成面积为的矩形花园． 答：不能围成面积为的矩形花园． 14．(1) (2)当时，新劳动基地的面积不可以为，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设小路宽度应为，依题意列出方程，解得（不符合题意，舍去），即可解答． （2）根据新劳动基地的面积为，列出关于y的一元二次方程，解之得出y的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设小路宽度应为，依题意，得 ， 即， 解得（不符合题意，舍去）． 答：小路宽度应为； （2）解：当时，新劳动基地的面积不可以为，理由如下： 假设新劳动基地的面积可以为， 设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，新劳动基地的面积不可以为． 15．(1)赵爽；144；5 (2)见解析 【分析】（1）由数学常识可得第一空的答案；根据所给图形可求出中间小正方形的边长，进而可求出大正方形的面积，进而可得答案； （2）根据题意可得中间小正方形的边长为，大正方形的边长为，据此作图即可． 【详解】（1）解：由题意得，该数学家为赵爽； 中间的小正方形的边长为，则大正方形的面积为， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 故答案为：赵爽，5； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴中间小正方形的边长为，大正方形的边长为， 如图所示，即为所求． 16．(1)经过2秒或4秒，的面积等于 (2)的面积不会等于，理由见详解 【分析】本题考查了动点问题，三角形面积公式，一元二次方程的应用及一元二次方程根的判别式． （1）根据题意设未知数，利用未知数表示相关线段的长度，根据三角形面积公式列出方程后化简并求解方程即可得到结果； （2）根据题意设未知数，利用未知数表示相关线段的长度，根据三角形面积公式列出方程后化简并判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，的面积等于， 则：，， ∴， 即，解得或4， ∴经过2秒或4秒，的面积等于． （2）解：的面积不会等于， 理由：设经过y秒，的面积等于， ∴， 即， ∵， ∴的面积不会等于． 17．(1) (2)的面积不能为，理由见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据计算即可； （）由题意得，，即得，，进而得到，再根据根的判别式判断方程的解的情况即可求解． 【详解】（1）解：当时，由题意得，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：的面积不能为，理由如下： 由题意得，，， ∴，， ∴ ， 当的面积为时，则， 即， ∵， ∴方程无实数解， ∴的面积不能为． 18．(1)3 (2)不存在，理由见解析 (3)1或3 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （3）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （3）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19．(1)6，4 (2) (3)经过2或4秒钟后，的面积为 (4)经过2或8秒钟后，的面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、三角形面积以及分类讨论；通过分类讨论得出方程是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据的面积为，列出关于t的方程，即可求解； （4）分三种情况：当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时；当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时； 当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时；根据的面积为，列出关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：经过秒后，点P运动到B点； 经过秒后，点Q运动到C点； 故答案为：6；4 （2）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （3）解：根据题意得：， ∵的面积为， ∴，即， 解得：或4， 即经过2或4秒钟后，的面积为； （4）解：根据题意得：点P到达终点的时间为秒，点Q到达终点的时间为秒， 当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即， 解得：或8（舍去）； 当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即，此方程无解； 当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即， 解得：（舍去）或8； 综上所述，经过2或8秒钟后，的面积为． 20．(1)， (2) (3)的值为7 (4)2秒 【分析】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【详解】（1）当点在边上运动时， ， 则， ； （2）矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； （3）点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． （4）当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． 学科网（北京）股份有限公司 $