25.3 一元二次方程：握手、循环赛问题、动态几何问题专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用的两大核心场景，通过真实情境与动态几何问题构建从实际数量关系到方程模型的转化路径，强化抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |握手、循环赛问题|3例+3变式|单双循环情境（球赛/通信/评审），求对象数量|从“每两对象一次关系”抽象出n(n-1)/2（单循环）、n(n-1)（双循环）模型，体现模型意识| |动态几何问题|3例+3变式|三角形/矩形中动点运动，求时间/距离/面积|用含t代数式表示线段长度，结合面积公式、勾股定理列方程，展现几何直观与运算能力的结合|

一元二次方程：握手、循环赛问题、动态几何问题专项训练 一元二次方程：握手、循环赛问题、动态几何问题专项训练 考点目录 握手、循环赛问题 动态几何问题 考点一 握手、循环赛问题 例1．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 例2．（2026·安徽·二模）某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】原规划个充电桩，根据题意得出个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，列出方程求解即可． 【详解】解：设原规划建设的充电桩个数为， ∵ 原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵ 其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴ 实际总线路满足方程：， 解得 （负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11． 例3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系是关键． 每人给其他人都发一个红包，则每人发红包数为个，x人共发个红包，总红包数为420，故列方程． 【详解】解：设该群共有x人，则每人需要给其他人发红包， ∴每人发红包数为个，由于有x人， ∴总红包数为个， ∴列方程得， 故答案为：． 变式1．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 变式2．（2026·湖南长沙·二模）每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，且本次青创赛一共进行了240次评审，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵共有名学生参加，每名学生不需要评审自己的方案，只需给其余所有同学的方案评审， ∴每名学生对应产生次评审， ∵已知总评审次数为， ∴可列方程为 . 变式3．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛，单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为，然后列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛.单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为， ∴列出的方程为， 故答案为：． 考点二 动态几何问题 例1．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图， 在中，，点P从点B开始沿边以的速度向点 A移动；同时，点Q也从点 B开始沿边以的速度向点 C移动．经过几秒后的面积为?此时之间的距离是多少？ 【答案】， 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，设经过秒后的面积为，根据题意可得，，由三角形的面积公式可得：，代入即可得到的值，再根据勾股定理可得到的长度即之间的距离． 【详解】解：设经过秒后的面积为， ∵点P沿边以的速度向点 A移动；点Q沿边以的速度向点 C移动． ∴，， ∵， 解得：（负值舍去）， 此时，在中，由勾股定理得： ， 答：经过6秒后的面积为，此时之间的距离是． 例2．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)_______，_______（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． 【答案】(1)； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 例3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，使得的面积等于 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； （3）由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 变式1．（25-26九年级上·吉林四平·期中）如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)2.4秒 (2) 设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； (3)经过秒或5秒或秒后，的面积为 【分析】（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是，列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，点P和点Q间的距离是，依题意有 ， 解得：， 经检验，符合题意． 故经过2.4秒点P和点Q间的距离是； （2）略 （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意有 ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过）秒或5秒或秒后，的面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 变式2．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，中，，，．点P从点A开始，沿边向点B以每秒的速度移动，点Q从点B开始，沿着边向点C以每秒的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问： (1)经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为． (2)经过几秒钟后，四边形的面积是？ 【答案】(1)2秒或秒 (2)3秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理， 对于（1），设经过x秒钟后，P、Q两点间的距离为，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； 对于（2），设经过t秒钟后，四边形的面积是，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设经过x秒钟后，P、Q两点间的距离为， 由题意，得，则， 由勾股定理得： ， 解得：或， 答：经过2秒钟或秒钟后，P、Q两点间的距离为； （2）设经过t秒钟后，四边形的面积是， 由题意，得，则， 由题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴， 答：经过3秒钟后，四边形的面积是. 变式3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． (1)当_________时，？当_________时，的长度为？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4 (2)存在， (3)存在， 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． （1）根据题意可得：，，再根据题意分别列出方程求解即可； （2）根据，列出方程求解即可； （3）根据当时，，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 则， 当时，，解得：； 当的长度为时，， 解得：或（舍去）； 故答案为：；4． （2）解：存在． ∵， ， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积为． （3）解：存在． 若，则， 即， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积与四边形的面积之比等于． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程：握手、循环赛问题、动态几何问题专项训练 一元二次方程：握手、循环赛问题、动态几何问题专项训练 考点目录 握手、循环赛问题 动态几何问题 考点一 握手、循环赛问题 例1．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·安徽·二模）某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 例3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 变式1．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·湖南长沙·二模）每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 考点二 动态几何问题 例1．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图， 在中，，点P从点B开始沿边以的速度向点 A移动；同时，点Q也从点 B开始沿边以的速度向点 C移动．经过几秒后的面积为?此时之间的距离是多少？ 例2．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)_______，_______（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． 例3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·吉林四平·期中）如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 变式2．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，中，，，．点P从点A开始，沿边向点B以每秒的速度移动，点Q从点B开始，沿着边向点C以每秒的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问： (1)经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为． (2)经过几秒钟后，四边形的面积是？ 变式3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． (1)当_________时，？当_________时，的长度为？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $