25.2 降次—解一元二次方程 同步达标测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年人教版九年级数学上册25.2同步达标测试题，通过基础-巩固-提升三层设计，覆盖一元二次方程解法及应用，强化运算能力与模型意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（单选）|公式法、方程解、判别式|直接考查概念应用，如第1题公式法参数识别，培养符号意识| |巩固（填空）|根与系数关系、配方法|深化单一知识点，如第9题构造方程，提升推理能力| |提升（解答）|综合应用、几何结合|结合赵爽配方等情境，如第25题操作实践，发展几何直观与创新意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册25.2降次—解一元二次方程 同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 2．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（满分24分） 9．写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 10．一元二次方程的根的判别式的值为________． 11．若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 12．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 13．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 14．设，是方程的两个根，则代数式的值为______． 15．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 16．已知，且，则的值为_______． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）小李解方程的过程如下： 解：方程的两边同除以，得，解得． 老师觉得小李的解法存在问题，请你分析问题所在，并写出正确的解答过程． 18．（6分）解方程：． 19．（6分）已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 20．（6分）已知代数式和的值互为相反数，求的值． 21．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 22．（8分）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 23．（10分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 24．（10分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 25．（12分）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 2．C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 3．D 【分析】利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 4．B 【分析】先求解一元二次方程，得到实根，确定直角三角形已知两边的长度，分情况进行讨论即可 【详解】解：∵， ∴ ∴或， ①若两边分别是方程的两根，且两边为直角边时，该直角三角形的面积是； ②若两边分别是方程的两根，且当长是8的边是斜边时，第三边是， ∴该直角三角形的面积是． 5．C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 6．B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 7．B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 8．C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 9． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出一次项系数和常数项，即可得到所求方程． 【详解】 解： 设所求一元二次方程为 由题意得，二次项系数为，两根分别为和 ∴， 计算得， 因此所求一元二次方程为． 10． 【分析】先确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再根据一元二次方程根的判别式公式代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， 则． 11． 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 12． 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 13． 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 14． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后，整体代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系可得：，， 对所求代数式因式分解：， 整体代入得：原式． 15． 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 【详解】解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 16．/1.5 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数以换元思想的应用，令，结合，则z是的根，那么，x和z为方程的两根，利用根与系数的关系即可求得． 【详解】解：令， ∵， ∴， 则， 那么，x和z为方程的两根， ∴， 则， 故答案为：． 17．两边同除以时，未考虑到可能为． 正确解答：， 移项，得， 提取公因式，得，即， 或， 解得，． 【详解】略 18． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可把看作一个整体，然后利用因式分解法可进行求解． 【详解】解： 或 ∴． 19． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分析两根之和的整数性，然后验证的可能值即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即. 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则． 方程的两根之和为整数， 整数． 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去； 当时，方程为，判别式，有实数根． ． 20．， 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 因式分解，得， 即或， 解得，． 21．(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 22．或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 23．(1)； (2)或． 【分析】根据方程的根的判别式，然后解不等式即可； 由，则最小整数的值为，此时关于的一元二次方程为，然后解得，，再根据该方程的一根是另一根的倍列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴最小整数的值为， 此时关于的一元二次方程为， ， ， 解得，， ∵该方程的一根是另一根的倍， ∴或， 解得或， ∴的值为或． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程总有两个实数根； （2）因为等腰三角形有两边的长是方程的两个根，分为腰和为底边两种情况分别求出的值，当为底边时，可得：等腰三角形的三边分别为，，，不满足三边关系，所以的值只能为． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 25．(1)，，，，， (2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； (3)， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． $