25.2降次解一元二次方程（课后能力提升）2026--2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 练习聚焦一元二次方程解法及根与系数关系，通过例题示范与分层训练结合，实现从单一解法到综合应用的递进，适配新授课基础巩固与初步能力提升，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题示范|直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法|分解法类型设置例题，直观展示解题步骤，夯实基础运算能力| |基础巩固|解法辨析、基本运算、概念理解|单选题（根的情况判断）、填空题（配方转化），强化单一知识点应用| |综合应用|解法综合、根与系数关系、参数讨论|解答题（多种解法解方程）、含参问题（求参数取值范围），培养逻辑推理与模型意识|

25.2降次解一元二次 一、典型例题 直接开平方法解一元二次方程 例1.利用直接开平方法解下列方程： (1)x2=6 (2)x2-900=0 【答案】)x=V6,x,=-V6 2)x1=30,x2=-30 【详解】(1)解：x2=6, 直接开平方，得x=士V6, x=V6,x2=-V6: (2)解：x2-900=0 移项，得x=900, 直接开平方，得x=±30， .x1=30.x2=-30 配方法解一元二次方程 例2.用配方法解下列方程 1)x2+15=8x 方程 2)3x2+1=2V3x 【答案】(1)七=5，x2=3 (2)x=七2= 3 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程.先将方程整理为标准 形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全 平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可. 【详解】(1)解：x2+15=8x 移项得x2-8x=-15 配方，方程两边同时加16得x2-8x+16=-15+16 整理得(x-4)2=1 开方得x-4=±1 解得x=5,七2=3 (2)解：3x2+1=2√5x 移项得3x2-2V5x=-1 二次项系数化为1得？3+一一 3 配方，方程两边同时加 3 得 99图 整理得 =0 V3 解得=七2= 3 公式法法解一元二次方程 例3.用公式法解下列方程. 1)x2-3x-7=0. 2)x2-5=2(x+1); 3)2x2+V5-5=0 【答案】与=3+V3 2 (2)x=1+2W2,x2=1-2V2 岁 2,-V5 【详解】(1)解：x2-3x-7=0, a=1,b=-3,c=-7 b2-4ac=9+28=37>0 x=-b±Vb-4ae_3±V37_3tV37 2a 2×1 2 .3+V37.3-√37 心水2话 2 (2)解：方程整理得：x2-2x-7=0, a=1,b=-2,c=-7 b2-4ac=4+28=32>0, x=2± 2 2-1士22， x=1+2W2,x2=1-22; (3)解：2x2+V5x-5=0, a=2,b=V5,c=-5, :b2-4ac=5+40=45>0, x=5±3v5 4 2,=5 因式分解法解一元二次方程 例4.用因式分解法解下列方程： （1)3x2-6x=0, (2)x(2x+3)-4x=0 【答案】(1)x=0,x2=2 2)x=0,=2 【详解】(1)解：把方程左边分解因式，得3x(x-2)=0 因此，有3x=0或x-2=0. 解方程，得=0，x2=2: (2)解：原方程化为一般形式，得2x2-x=0. 把方程左边分解因式，得(2x-)=0 因此，有x=0或2x-1=0. 1 解方程，得=0，=2 元二次方程的根与系数的关系 例5.已知关于x的一元二次方程x-2(k-1)x+k2+2=0的两个 实数根为x和5，设1=古十3 k，则t的最大值为( ) A.-4 B.4 C.-6 D.6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出a=1,b=-2(k-1),c=k2+2, 再计算△并判断正负并求出k的取值范围，进而计算t并求出最大 值. 【详解】解：由题意可知a=1,b=-2(k-1),c=k2+2, :△=4k-)-4(k2+2）=-8%-4≥0 :ks、1 2’ x+x2=2(k-1), ..t= 2(k-1)-2_2 =2 k 1 :当k=2时，t最大1=6 例6.已知x,x2是一元二次方程x2-5x-8=0的两个根，则 x1+x2一XX2的值为( A.13 B.-13 C.3 D.-3 【答案】A 【分析】若一元二次方程ax2+br+C=0(a≠0)的两根为x,x, b 则有名+5= a, a,再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：X,x2是一元二次方程x2-5x-8=0的两个根， -5 ⊙+x三- 5=5,x=8=-8 1 .+x2-xx2=5-（-8)=13 课后训练 一、单选题 1.关于x的方程x2+(m+3)x+m+2=0,则方程根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个实数根 D.无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况， 利用判别式△≥0时方程有实数根的性质解题， 【详解】解：对于一元二次方程x+(m+3)x+m+2=0,其中 a=1,b=m+3,c=m+2, :.△=(m+3)-4x1×(m+2) =m2+2m+1 =(m+1)}2≥0 .方程有两个实数根. 2.已知一元二次方程x2-4x+m=1有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 () A.m<5 B.m<4 c.m>-4 D.m>-5 【答案】A 【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解 不等式即可. 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得x2-4x+m-1=0, ,·方程有两个不相等的实数根， ∴△>0，即(-4)-4×1×(m-1)>0, .16-4m+4>0, .20-4m>0, .m<5. 3.若七1，X2是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根，则 x2-x1+X2的值是（) A.2024 8.2026 c.2028 D 4052 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合 韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果. 【详解】解：：x是一元二次方程x2-2x-2026=0的实数根， :x2-2x-2026=0, .x2=2x+2026. .x2-x+x3=2x+2026-x+2=(x+x2)+2026, :x,x2是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根， .+x2=2 .X-x+x2=2+2026=2028 二、填空题 4.用方注解-元=次方定2-2x-5=0时.将它化为(x+a=b的形式 则2a+b的值为 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为(x+a)=b的形式，得到a和b 的值，再代入计算2a+b即可. 【详解】解：移项，得x2-2x=5, 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，得 x2-2x+1=5+1 整理得(x-1)2=6, ∴.a=-1,b=6, .2a+b=2×(-1)+6=4. 5.若2x2-3x+y=1,当X=时，x+y的最大值是 【答案】 1 3 【分析】先根据已知等式用含x的代数式表示y,再代入x+y得 到关于x的代数式，利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行求解 即可. 【详解】解：由2x2-3x+y=1可得：y=-2x2+3x+1, 将y代入x+y得 x+y=-2x2+3x+1+x=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3 -2(x-1)≤0 .-2(x-1)2+3≤3 ∴当x=1时，x+y取得最大值，最大值为3. 6.若关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围为 【答案)k之八 4且k≠0 【详解】解：：方程x2-(2k+)x+k=0是关于x的一元二次方 程 .k≠0 ,方程有两个不相等的实数根， .△=b2-4ac>0.其中a=k,b=-(2k+1),c=k, 代入得：[-(2k+1]-4k-k>0 展开得4k2+4k+1-4k2>0, 化简得4k+1>0, 解得k>、 4 综，的取值范图为> 4且k≠0： 7.我们知道方程x2+2x一3=0的解是￥=1，X3=-3,现给出另一个方程 (2x-1)+2(2x-1)-3= 0,它的解是一 【答案】X=1,x2=-1 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代 换法求解新方程. 【详解】解：设y=2x-1 则原方程化为y+2y-3=0, 因为方程x2+2x-3=0的解是=1，x3=-3, 所以y=1或y=-3,即2x-1=1或2x-1=-3, 解得x=1或x=-1. 故答案为：=1，x2=-1 三、解答题 8.解方程： (2x-3)}2-64=0. 22x2-4x-5=0(用配方法解方程). 【答案】(1)1=5.5，x2=-2.5 2 2+V14.2-V14 2 ,比2 2 【详解】(1)解：(2x-3)}-64=0 (2x-3)2=64 2x-3=±8 2x-3=8或2x-3=-8, x1=5.5,x2=-2.5. (2)解：2x2-4x-5=0, x2-2x=5 -2x+1=+1, (x-1)}2=7 x-1=± 14 2, 2+V142-V14 X1= ,X21 2 2 9.解下列方程： 4x2-6x+3=0. 1 (2) +2= x-5 x-3 6-2x 【答案】(1) x=3+V6,x,=3-V6: (2) 原方程无解。 【分析】(1)用配方法变形方程后开方求解： (2)去分母转化为整式方程求解，检验后舍去增根得到结论， 【详解】(1)解：x2-6x+3=0移项得x2-6x=-3, 配方得x2-6x+9=-3+9, 即(x-3)2=6, 开方得x-3=±√6， 解得x=3+V6,x2=3-√6 (2)解： x- +2=x-5 6-2x x-5 方程变形为x-3 +2= 2(x-3) 两边同乘2(x-3)得2+4(x-3)=-(x 去括号得2+4x-12=-x+5, 移项合并同类项得5x=15, 解得x=3. 检验：当x=3时，2(x-3)=0 因此x=3是增根。 所以原方程无解. 10.解方程： )x2-6x+5=0 2)2x2=3(2x+1) 【答案】(1)=5，X3=1； 少 当=3*5 2， 2 【详解】(1)解：x2-6x=-5, x2-6x+32=-5+32,即(x-3)2=4, .x-3=±2 .x=5,x2=1 (2)解：原方程可化为2x2-6x-3=0, .a=2,b=-6.c=-3 ∴.b2-4ac=36-4×2×(-3)=60>0 方程有两个不相等的实数根， 6±√603±V15 ..X= 4 2 3+V153-V15 .X1= 2， 2= 2 11.解方程： -10 22(x2+x-(x2+x-3=0 【答案】(1)原方程无实数根 2-+ 2, =17 2 【分析】(1)求得判别式△=-1<0，进而可得原方程无解； (2)设x2+x=t,则解方程212-t-3=0,得到t值，再解关于 x的一元二次方程即可. 【详解】4解：对于方程2-x+1=0,a-)。 2’b=-1: c=1 :.△=(-1)-4×5×1=-1<0， .原方程无实数根； (2)解：设x2+x=t,则原方程化为21-t-3=0,即 (t+1)(2t-3)=0, 3 解得t=-1,6=2 当4=-1时，x2+x=-1,即x2+x+1=0, …△=1-4×1×1=-3<0， .此方程无实数根； 3 当5=2时，r+x 2,即x2+x-3 =0 2 △=12-4×1× 3 2 =7>0 :t± 2, -1+V7-1-7 七 2= 2， 2 12.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根 X1,X2. (1)求m的取值范围. 2)当+x=6x为2时，求m的值. 【答案】(1)m≤2 (22 【分析】(1)根据判别式△≥0求解即可： (2)利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值. 【详解】(1)解：·'原方程有两个实数根， ∴△=(-22-4(m-1)≥0，即4-4m+4≥0. 解得m≤2. (2)解：x+x2=2,Xx2=m-1且x+x号=6x2, (G+广-2x=6x即(+x广-8x本=0」 .22-8(m-1)=0, 3 ..m= 2 13.已知关于x的一元二次方程x+mx-3x-9=0, (1)若方程不含x的一次项，求m的值和方程的解； (2)当m=-3时，求方程的解. 【答案】(1)m=3，方程的解为七=3，x3=-3 (2)方程的解为x=3+3V2,x2=3-3√2 【分析】(1)先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； (2)将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可. 【详解】(1)解：由x2+mx-3x-9=0得x2+(m-3)x-9=0, 方程不含X的一次项， ∴.m-3=0,解得m=3, x2-9=0,则x2=9, .=3,x2=-3 (2)解：当m=-3时，方程为x2-6 移项，得x2-6x=9 配方，得x2-6x+9=9+9 即(x-3)'=18 开方，得x-3=3√2 .x=3+3V2,x2=3-3√2 x-9=025.2降次解一元二次 一、典型例题 直接开平方法解一元二次方程 例1.利用直接开平方法解下列方程： (1)x2=6 (2)x2-900=0 配方法解一元二次方程 例2.用配方法解下列方程 )x2+15=8x 23x2+1=2V3x 公式法法解一元二次方程 例3.用公式法解下列方程. 1)x2-3x-7=0. 2)x2-5=2(x+1): 3)2x2+V5x-5=0.. 因式分解法解一元二次方程 例4.用因式分解法解下列方程： (1)3x2-6x=0, 方程 (2)x(2x+3)-4x=0 元二次方程的根与系数的关系 例5.已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2+2=0的两个 实数根为x和5，设1=十3 k。，则t的最大值为( ) A.-4 B.4 C.-6 D.6 例6.已知，x2是一元二次方程x2-5x-8=0的两个根，则 x,+X2-X2的值为( A.13 B.-13 C.3 D.-3 二、 课后训练 一、单选题 1.关于x的方程x2+(m+3)x+m+2=0,则方程根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个实数根 D.无法确定 2.已知一元二次方程X2一4x+m=1有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 () A.m<5 B.m<4 c.m>-4 D.m>-5 3.若七1，七2是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根，则 x2-1+X2的值是() A.2024 B.2026 c.2028 D. 4052 二、填空题 4用配方法解-元=次方程r-2x-5=0时，符它化为（x+a=b。 的形式， 则2a+b的值为 5.若2x2-3x+y=1,当X=时，x+y的最大值是 6.若关于x的一元二次方程c2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范国为 7.我们知道方程x2+2x-3=0的解是X=1,X3=-3,现给出另一个方程 (2x-1)2+2(2x-1)-3=0 它的解是一 三、解答题 8.解方程： a(2x-3)}-64=0: 22x2-4x-5=0(用配方法解方程). 9.解下列方程： 1)x2-6x+3=0. 1 +2=x-5 x-3 6-2x 10.解方程： x2-6x+5=0 22x2=3(2x+1) 11.解方程： 2x2-x+1=0 22(x2+x-(x2+x)-3=0 12.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根 X1,2. (1)求m的取值范围. 2)当+号=6x时，求m的值. 13.已知关于x的一元二次方程x2+mx-3x-9=0, (1)若方程不含x的一次项，求m的值和方程的解； (2)当m=-3时，求方程的解.