4.3用一元一次方程解决问题 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按配套、数字、古代问题分类，通过基础到拓展的解答题设计，强化模型意识与推理能力，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一配套/古代问题|如工人分配（题1）、鸡兔同笼（题15），直接建立等量关系，巩固方程建模基础| |综合提升|多步骤情境问题|如含人员调配的配套问题（题3）、数字规律探索（题7），需分析复杂关系，培养推理能力| |拓展探究|跨学科/开放问题|如幻方构造（题12）、丢番图年龄问题（题18），融合规律探究与历史文化，发展创新意识|

4.3用一元一次方程解决问题 题型分类解答题专题训练 一、配套问题 1．某车间有24名工人，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 2．某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 3．某校七年级四班共有学生人，其中男生比女生人数的多人．劳技课上，老师组织同学们自己动手制作便携式收纳盒，要求每名学生做盒身个或盒底个． (1)七年级四班男生和女生各多少人？ (2)原计划男生做盒身，女生做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么同学们做出的盒身与盒底不能完全配套，老师决定调一部分男生去支援女生，使制作的盒身与盒底刚好配套．调去支援的男生有多少人？ 4．某眼镜厂车间有名工人，每个工人每天生产镜架个或者镜片片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，则应安排多少名工人生产镜片？ 5．某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要200h完成． 现计划由一部分人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作． 假设这些人的工作效率相同． (1)求具体应先安排多少人工作？ (2)在增加人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产个螺钉或个螺母，个螺钉需要配个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 6．巢湖某工厂主要生产各种样式的包装盒，现收到一批糖果盒的订单，主管要安排工人即刻生产．已知该工厂共有84名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少36人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底110个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 二、数字问题 7．观察下列按一定规律排列的三行数： 第一行：，4，，16，…： 第二行：0，6，，18，…； 第三行：，2，，8，… 解答下列问题： (1)每一行的第6个数依次是：___________，___________，_________． (2)分别写出第二行和第三行的第n个数_______，_________． (3)第一行中是否存在某三个相邻数的和为1536？若存在，求出这三个数；若不存在请说明理由． 8．（1）如图，用十字框框住月历中的五个数无论怎样上下左右移动，框中五个数的和与最中间的数有关，请写出这个关系，并说明理由；这五个数的和可以是95吗？为什么？ （2）一个两位数，交换它的十位和个位，得到一个新的两位数，减去原数，差是9的倍数吗？请说明理由． 9．把的数字如图排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87．如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数分别是多少？ 10．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 11．小刚是个爱动脑筋的同学，他将连续的奇数，，，，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，求十字形框架中的五个数的和．（用含的式子表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于吗？若能，写出这五个数；若不能，请说明理由． 12．图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 三、古代问题 13．《孙子算经》中有这样一个问题，原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？ 14．《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？ 15．“鸡兔同笼”是中国古代数学名题之一，记载于《孙子算经》之中，其大意为，若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问：笼中鸡和兔各有多少只？ 16．《九章算术》卷第七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数，琎价各是多少？ 17．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？ 18．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，根据题目中的等量关系式列方程解答． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， 由题意，得：， 解得：． ∴． 答：应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母． 2．(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 3．(1)七年级四班有男生24人，女生21人 (2)需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设女生人数为x人，则男生人数为人，根据七年级四班共有学生45人列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设a名男生去支援女生，根据每个盒身匹配2个盒底为等量关系，列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：七年级四班有男生24人，女生21人． （2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 4．应安排名工人生产镜片． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应安排名工人生产镜片，则生产镜架的工人人数为名，由题意列出方程，然后求解即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产镜片，则生产镜架的工人人数为名， 由题意，得：， 解得：， 答：应安排名工人生产镜片． 5．(1)人 (2)安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设应先安排人工作，根据题意得，即可求解； （2）设应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解：设应先安排人工作， 根据题意得，， 解得：， 应先安排人工作； （2）设应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母， 根据题意得，， 解得：， ， 应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母． 6．(1)该工厂有男工30人，有女工54人 (2)调14名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，根据“男工人数女工人数”列出方程并解答； （2）首先设设调名女工帮男工制作盒身，根据题意可得等量关系：盒身数量盒底数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工30人，有女工54人； （2）解：设调名女工帮男工制作盒身， 由题意得：， 解得：， 答：调14名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 7．(1)64；66；32 (2)； (3) 解：第一行不存在某三个相邻数的和为1536，理由如下： 假设存在某三个相邻数的和为1536， 设最前面的那个数为x，则剩下两个数为， ∴， 解得， ∵第一行第n个数为， ∴第一行第9个数为， ∴512不是第一行的数， ∴第一行不存在某三个相邻数的和为1536． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，一元一次方程的应用： （1）观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的倍，第二行第n个数比第一行第n个数大2，第三行的后面一个数是前面一个数的倍，据此求解即可； （2）根据（1）所求可得第一行第n个数为，第三行第n个数为，则第二行第n个数为； （3）假设存在某三个相邻数的和为1536，设最前面的那个数为x，则剩下两个数为，则，解方程求出x的值，再验证x的值是否是第一行的数即可得到结论． 【详解】（1）解：观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的倍， ∴第一行第6个数为； 观察可知，第二行第n个数比第一行第n个数大2， ∴第二行第6个数为； 观察可知，第三行的后面一个数是前面一个数的倍， ∴第三行第6个数为； 故答案为：64；66；32； （2）解：由（1）可知第一行第n个数为，第三行第n个数为， ∴第二行第n个数为； 故答案为：；； （3）略 8． 解：（1）设十字框正中间的数为x，则正中间数的上、下、左、右的数分别为，，，， ∴这五个数的和为， 令， 解得， ∵19是第三行最右边的数，不能是正中间的数， ∴不能为95， ∴这五个数的和不能是95； （2）设这个十位数个位上的数字为b，十位数字为a，则这个两位数为， 交换它的十位和个位，得到一个新的两位数为， ∴， ∴新的两位数减去原数，差是9倍数． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，观察表格中的数据，找出十字框中的五个数的和是中间的数的5倍是解题的关键． （1）设中间的数为x，则另外四个数分别为，，，，将五个数相加即可得出结论；根据5个数的和=95得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，由x的位置确定结论即可； （2）设这个十位数个位上的数字为b，十位数字为a，则这个两位数为，作差得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 9．这六个数分别是135，136，137，142，143，144 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据长方形框中数字的规律，横的两数相差1，纵的两数相差7；设长方形框中第一个数为x，则其它五个数依次为，，，，，根据框出的六个数的和是837，列出一元一次方程解答即可． 【详解】解：设长方形框中第一个数为x，则其它五个数依次为，，，，， 根据题意得：， 解得：， 则第二个数是， 第三个数是， 第四个数是， 第五个数是， 第六个数是． 答：这六个数分别是135，136，137，142，143，144． 10．(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2022，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2022除以5，得2022不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2022，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． 11．(1)十字形框架中的五个数的和为， (2)能，，，，，． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及整式的加减，熟练掌握一元一次方程的解法及整式的加减是解题的关键． （）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）由（）可得若可以使这五个数的和等于，需要满足由（）所得的代数式的和为，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为， （2）解：能，理由： ∵五个数的和能等于， ∴， 解得：， ∴这个数分别为：，，，，． 12．(1)解：由题意，构造三阶幻方，如图1， (2)解：构造一个新的三阶幻方，如图： (3)解：位于中间位置的数始终不变，理由如下： 设幻方9个位置的数如图3所示，每行，每列，每条对角线上的和均为， 则； ①； ②； ③； ④； ，得； ∴， ∴位于中间位置的数为定值，始终不变； (4)解：能，构造幻方如图所示： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 13．共有39人，15辆车 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设共有辆车，根据“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘”，结合总人数不变，即可列出关于的一元一次方程． 【详解】解：设共有辆车，则有人， 故可得， 解得， 人， 答：共有39人，15辆车． 14．醇酒有10瓶，薄酒有 9瓶 【分析】设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，根据“醇酒瓶醉了位客人，薄酒瓶醉了位客人，且共醉了位客人”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出醇酒的瓶数，再将其代入中即可求出薄酒的瓶数． 【详解】解：设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：醇酒有瓶，薄酒有瓶． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 15．鸡有23只，兔有12只 【分析】设鸡为只，根据有94只脚列出方程，解之即可． 【详解】解：设鸡为只，那么兔有只，鸡的脚有只，兔的脚有只， 则有， 解得， 所以（只）． 答：鸡有23只，兔有12只． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 16．人数是42，琎价是17钱 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．设有x人合伙购物，物价为y钱，根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”即可得出关于x的方程组，解方程组即得答案． 【详解】解：设有x人合伙买琎石，根据题意，得： ， 解得：， （钱）， 答：有42人合伙购物，物价为17钱． 17．天 【分析】首先设经过天相遇，根据题意可得等量关系：野鸭天的路程＋大雁天的路程，再根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设经过天相遇， 根据题意，得∶ ， 解得：． 答：经过天相遇． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 18．(1) 丢番图去世时的年龄为岁 (2) 丢番图结婚时的年龄是多少？岁 【分析】设丢番图的年龄为x岁，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设他去世时的年龄为x，根据题意，得 解得． 答：丟番图去世时的年龄是84岁． （2）解：提出问题：丢番图结婚时的年龄是多少？ 设丢番图结婚时的年龄是y， 则， 解得， 答丟番图结婚时的年龄是33岁． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $