精品解析：吉林长春市2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

九年级（五四制）开学考试 数学试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】460 000 000=4.6×108． 故选C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 图中的几何体是由几个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的俯视图，从正上方向下观察几何体所得到的平面图形就是答案． 【详解】从正上方向下观察，从左往右总共有三排，第一排是两个小正方体的平面图，第二排是一个小正方体的平面图，在上方，第三排是一个小正方体的平面图，也在上方，所以综合考虑，选A． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，A正确； ，，B、C均错误； 与不是同类项，无法合并，D错误． 5. 如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ）. A. 55° B. 60° C. 70° D. 75° 【答案】A 【解析】 【详解】∵∠1=∠2， ∴a∥b ∴∠3的对顶角＋∠4=180º，∠3的对顶角=∠3=125°， ∴∠4=180º-125º=55º， 故选：A 6. 如图，长方形的长为，宽为，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为，则空白部分的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用面积分割的办法，先求得长方形的面积，再求出阴影部分小长方形和两个平行四边形的面积，再相减即可. 【详解】由图形可得：长方形面积为，长方形阴影部分面积为，两平行四边形的面积为， 则空白部分的面积为， 故选：B. 【点睛】本题考查列代数式表示图形面积，求不规则图形面积通常采用割补法. 7. 如图，在中，,分别以B,C为圆心，大于BC的一半为半径作弧，两弧相交于D,E，作直线DE交AB,BC于点F,G，连接CF，若，则的长为（ ） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图，可得直线DE垂直平分BC，FG为中位线，根据中垂线的性质定理和勾股定理及斜中线定理，即可求解． 【详解】根据尺规作图，可得直线DE垂直平分BC，FG为中位线 ∴CG=BG=2，即得BC=4， ∴根据勾股定理可知AB=5， 又FG为中位线，即F为AB中点， ∴根据斜中线定理可知 故选：C． 【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的尺规作图以及垂直平分线的性质和勾股定理及斜中线定理，掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 8. 如图，直线（）与轴、轴分别交于点、，平行于x轴的直线与轴、线段分别交于点、．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．先求出长度，然后根据线段比例关系求出长度，从而求得点坐标． 【详解】直线（k＜0）与y轴交于点A， 点横坐标为，纵坐标， ， ， ， ， ， ，， 点坐标是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算绝对值和算术平方根，再做减法运算即可得到结果． 【详解】解：， ． 10. 分解因式： ________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：设点的坐标为，其中， 轴于点 ， 点的坐标为 ， ， 的底边为，高为点到直线的距离， 点到直线的距离为， 高， 由题意， ， . 12. 如图，在中，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧分别相交于点E、F，连结并延长交边于点D，连结．若，，则的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为：． 13. 今年某市部分大桥进行翻新，在翻新大桥的过程中，为了测量河的宽度，在河的一边沿岸边选取B、C两点，在对岸岸边选择点A．测得，，米．则河的宽度(即点A到直线的距离)为_____________．(结果保留根号) 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形得到，再利用米列出方程求出CD，从而得解． 【详解】过点作，则 又∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴米， 解得：(米)， ∴(米)， 即河的宽度(即点A到直线的距离)为米 14. 已知抛物线过原点，对称轴为直线，与x轴交于、两点，为抛物线上纵坐标相同的两点，是对称轴与x轴交点，连接，结合图像给出下列结论： ①；②轴；③；④；⑤． 其中正确的结论有_____________（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质可依次排除选项，然后问题可求解． 【详解】解：根据二次函数的对称性可知：点O、C关于对称轴对称， ∴，即，故①正确； ∵为抛物线上纵坐标相同的两点， ∴轴，故②正确； ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴根据轴对称的性质可知：，故③正确； 由图象可知：当时，则有，故④错误； ∵抛物线过原点， ∴当时，则，故⑤错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先利用平方差、完全平方展开，再去括号合并同类项，最后把m的值代入计算． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的乘法，熟练掌握乘法公式是关键． 16. 某地铁线路全长约，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 【答案】地铁的平均速度为，私家车的平均速度为 【解析】 【分析】根据速度=路程时间，设未知数，找等量关系，列分式方程求解． 【详解】解：设私家车速度为． . 解得. 经检验是原方程的解，且符合题意． 地铁速度为． 答：地铁的平均速度为，私家车的平均速度为． 【点睛】分式方程的解要注意检验，要符合实际意义． 17. 在一个不透明的盒子里装有三张卡片，分别标有数字1,2,5，这些卡片处数字外均相同，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是偶数的有5种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是偶数的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．解题关键是用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果，然后利用概率=所求情况数÷总情况数． 18. 四边形是菱形，O为中点，点E在上，点F在上． （1）添加一个条件，使得，并证明； （2）补充什么条件，能让四边形为菱形？写出条件并证明． 【答案】（1）添加条件：． 证明：四边形是菱形， ∴，， 在和中， ； （2）补充条件：为中点，为中点， 证明：四边形是菱形，是中点，分别为中点， 分别是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， 又 菱形中， ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，进而根据全等三角形的判定添加条件即可； （2）可以补充条件：为中点，为中点，利用三角形的中位线定理以及菱形的判定可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图②、图③中仿照图①，只用无刻度的直尺，各画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分． 要求：所画线段CD的位置不同，点C、D均在格点上 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】根据两条直线平行对应线段成比例即可画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分． 【详解】如图1：∵AC∥DB， ∴EB：AE= DB：AC=2：3； 如图２：∵AC∥DB， ∴AE：EB=AC：DB=2：3； 如图3：∵AC∥DB， ∴EB：AE= DB：AC=2：3； 故图中各画出了一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分． 【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图．熟记两条直线平行对应线段成比例的性质是解题的关键所在． 20. 某区积极开展“阳光体育大课间”活动，各校学生坚持每天锻炼一小时，某校根据学校实际情况，决定主要开设羽毛球、跳绳、踢毽子三种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了n名学生进行调查（每名同学只选择一种体育项目），并将调查结果绘制成如下两个统计图．请结合上述信息解答下列问题： （1）求n的值． （2）请把条形统计图补充完整． （3）已知该校有1600人，请你根据统计图中的资料估计全校最喜欢踢毽子的人数． 【答案】（1）80 （2）条形统计图补充完整如图所示： （3）估计全校最喜欢踢毽子的大约有720人 【解析】 【分析】（1）根据喜欢“羽毛球”的人数及其所占百分比求解即可； （2）用调查人数减去已知人数求得喜欢“跳绳”人数即可补充条形统计图； （3）由该校总人数乘以样本中喜欢“踢毽子”所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 解：由题意，喜欢“跳绳”的人数为（人）， 图略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校最喜欢踢毽子的大约有720人． 21. 有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，以各自速度匀速行走，各自到达点C停止．甲机器人前3分钟速度不变，3分钟后与乙机器人的行走速度相同，甲、乙机器人各自与B地之间的距离(m)与各自的行走时间(min)之间的函数图象如图所示： (1)A、B两点之间的距离是____m,甲机器人前3分钟的速度为____m/min； (2)在甲机器人到达B地后和改变速度前这段时间内，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲、乙两机器人相距30m时，直接写出的取值范围. 【答案】（1）60，90；（2）y=90x-60，；（3）x=1或． 【解析】 【分析】(1)结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前3分钟的速度； (2)利用待定系数法求出函数解析式即可； (3)分两种情况进行讨论即可. 【详解】（1）由图象可知，A.B两点之间的距离是60米， 甲机器人前3分钟的速度为：(60+210)÷3=90米/分； 故答案为60，90； （2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b． 由题意，得 解得 所以y与x之间的函数关系式为y=90x-60 当y=0时，． 所以自变量x的取值范围是． （3）设乙机器人y与x之间的函数关系式为y=kx． 由题意，得 解得 所以乙机器人y与x之间的函数关系式为y=60x， 当时，解得： 当时，甲机器人y与x之间的函数关系式为y=60x+30． 令y=60x+30=420， 解得： 即当时，甲、乙两机器人始终相距30m. 故答案为x=1或． 【点睛】考查一次函数的综合运用，掌握待定系数法求一次函数解析式，灵活的运用数形结合思想是解题的关键. 22. 教材原型：课本例题以菱形边角关系为基础，结合平移、最短路径几何模型综合命题．现有菱形纸片，对角线与对角线相交于中心点，已知菱形两组对角满足数量关系，菱形四条边长均为；我们过顶点作直线平行于对角线，直线交线段的延长线于点，依次得到图①、图②、图③三组几何图形，完成下列探究问题． 图①为基础菱形，仅连接两条对角线交于点，无额外辅助线． （1）问题解决：结合图①图形，下面给出完整解题框架，请补全方框内缺失的全部证明推导过程，要求逻辑完整、步骤规范． 解：∵四边形是菱形 ，且，可证是等边三角形． 图②在图①菱形基础上，延长至点，作，连接线段． （2）如图②，结合菱形性质、平行四边形判定与勾股定理相关知识，连接线段，请完整计算出线段的长度，书写完整推导步骤． 图③图形与图②完全一致，在对角线上任取一动点，不与两点重合，分别连接两条线段． （3）如图③，点是对角线上任意一个动点，连接，请结合菱形对角线的轴对称性质、两点之间线段最短原理，求出的最小值，并准确说明此时动点所在的具体位置． 【答案】（1）补全证明过程：， ， ， ，即； （2）解：∵， ∴， 又， ∴为等边三角形， ， 又由菱形对角线互相垂直得， ， 四边形是平行四边形， 在中，， 过点作于点， ∵是的中点，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 中， （3）最小值为；取最小值时，直线与对角线的交点即为动点 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）证明为等边三角形，得，由菱形对角线互相垂直得，证明四边形是平行四边形，在中，由勾股定理得，过点作于点，再运用勾股定理求解即可； （3）由菱形的性质得，可得出，根据两点之间线段最短，当三点共线时，取得最小值，最小值为线段长度．过点作于点，由勾股定理求出线段长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵菱形对角线垂直平分，垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ∴， ， 根据两点之间线段最短，当三点共线时，取得最小值，最小值为线段长度． 过点作于点，则， ∴，， 最小值为；取最小值时，直线与对角线的交点即为动点． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒． （1）线段MP的长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围． （3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值． 【答案】（1）3t；（2）满足条件的t的值为≤t≤ ；（3）S＝ ；（4）满足条件的t的值为或或. 【解析】 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系再结合题意解答即可. （2）分别出点M、N落在BC上时的t的范围即可； （3）分重叠部分是矩形PQNM和五边形PQNEF两种情况进行解答即可； （4）按以下三种情形：当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件.作FELBC于E；当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EFLBC于F；当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件.分别求解即可解答. 【详解】解：（1）由题意AP＝2t，AQ＝PQ＝t， ∵PM＝3PQ， ∴PM＝3t． 故答案为3t． （2）如图2﹣1中，当点M落在BC上时， ∵PM∥AC， ∴， ∴， 解得t＝ 如图2﹣2中，当点N落在BC上时， ∵NQ∥AC， ∴， ∴， 解得t＝， 综上所述，满足条件的t的值为≤t≤． （3）如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQNM，S＝3t2 如图3﹣2中，当＜t≤时，重叠部分是五边形PQNEF． S＝S矩形PQNM﹣S△EFM＝3t2﹣•[3t﹣（4﹣2t）]•[3t﹣（4﹣2t）]＝﹣t2+18t﹣6， 综上所述， ． （4）如图4﹣1中，当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件．作FE⊥BC于E． ∵∠FAB＝∠FEB＝90°，∠FBA＝∠FBE，BF＝BF， ∴△BFA≌△BFE（AAS）， ∴AF＝EF，AB＝BE＝4，设AF＝EF＝x， ∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4， ∴BC＝＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1， 在Rt△EFC中，则有x2+12＝（3﹣x）2， 解得x＝， ∵PM∥AF， ∴， ∴， ∴t＝ 如图4﹣2中，当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EF⊥BC于F． 同法可证：△ECA≌△ECF（AAS）， ∴AE＝EF，AC＝CF＝3，设AE＝EF＝y， ∴BF＝5﹣3＝2， 在Rt△EFB中，则有x2+22＝（4﹣x）2， 解得x＝， ∵PM∥AC， ∴， ∴， 解得t＝ ． 如图4﹣3中，当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件． 设MC的延长线交BA的延长线于E，作EF⊥BC交BC的延长线于分， 同法可证：AC＝CF＝3，EF＝AE，设EF＝EA＝x， 在Rt△EFB中，则有x2+82＝（x+4）2， 解得x＝6， ∵AC∥PM， ∴， ∴， 解得t＝， 综上所述，满足条件的t的值为或或. 【点睛】本题考查了矩形的性质，多边形的面积，角平分线的性质等知识，掌握分类讨论的思想思是解答本题的关键. 24. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，这条抛物线的顶点为D． （1）求点D的坐标． （2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E．当CE＝2AB时，求点D的坐标． （3）这条抛物线与直线y＝﹣x相交，其中一个交点的横坐标为﹣1．过点P（m，0）作x轴的垂线，交这条抛物线于点M，交直线y＝﹣x于点N，且点M在点N的下方．当线段MN的长度随m的增大而增大时，求m的取值范围． （4）点Q在这条抛物线上运动，若在这条抛物线上只存在两个点Q，满足S△ABQ＝3S△ABC，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）(2，﹣4a﹣)；（2）(2，)；（3）﹣1＜m≤1；（4）0＜a＜或﹣＜a＜﹣． 【解析】 【分析】（1）将y＝ax2﹣4ax﹣化为顶点式即可写出点D的坐标； （2）由对称轴方程x＝2及抛物线的对称性可推出CE，AB的长，推出点A，B的坐标，将A或B的坐标代入y＝ax2﹣4ax﹣中，即可求出a的值，进一步写出点D的坐标； （3）先把x＝-1代入y＝﹣x中，求出交点坐标，代入y＝ax2﹣4ax﹣中，求出抛物线解析式，用含m的代数式分别表示出M，N的坐标，进一步表示出MN的长度，为二次函数，可根据增减性确定结果； （4）分情况讨论，当a＞0时和当a＜0时，分别列出不等式或不等式组即可． 【详解】（1）y＝ax2﹣4ax﹣ ＝a（x﹣2）2﹣4a﹣， ∴点D的坐标为（2，﹣4a﹣）； （2）∵对称轴为直线x＝2，CE∥x轴， ∴CE＝4． ∵CE＝2AB，∴AB＝2， ∴点A、B的坐标为（1，0）、（3，0）， 将（1，0）代入y＝ax2﹣4ax﹣中， 得，a﹣4a﹣＝0， 解得，a＝﹣， ∴﹣4a﹣＝4×（﹣）﹣＝， ∴点D的坐标为（2，）； （3）把x＝-1代入y＝﹣x中，得y＝1， 将（﹣1，1）代入y＝ax2﹣4ax﹣中， 得a+4a﹣＝1， 解得a＝， ∴y＝x2﹣2x﹣， ∴点M，N的坐标分别为（m，m2﹣2m﹣），（m，-m）， ∴MN＝﹣m﹣（m2﹣2m﹣）＝﹣m2+m+， ∵﹣＜0，对称轴为直线， ∴当线段MN的长度随m的增大而增大时，m的取值范围是﹣1＜m≤1； （4）①当a＞0时，抛物线开口方向向上， 点C坐标为（0，﹣）， 由（1）知，点D的纵坐标为﹣4a﹣， ∴由题意可列，﹣4a﹣＞﹣×3， 解得，a＜， ∴0＜a＜； ②当a＜0时，抛物线开口方向向下， 点C坐标为（0，﹣）， 由（1）知，点D的纵坐标为﹣4a﹣， ∴由题意可列，， 解得，﹣＜a＜； 综上所述，a的取值范围为0＜a＜或﹣＜a＜． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，本题应用了待定系数法求二次函数解析式，以及一元一次不等式组的解法，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（五四制）开学考试 数学试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 图中的几何体是由几个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ）. A. 55° B. 60° C. 70° D. 75° 6. 如图，长方形的长为，宽为，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为，则空白部分的面积（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，,分别以B,C为圆心，大于BC的一半为半径作弧，两弧相交于D,E，作直线DE交AB,BC于点F,G，连接CF，若，则的长为（ ） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 8. 如图，直线（）与轴、轴分别交于点、，平行于x轴的直线与轴、线段分别交于点、．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 分解因式： ________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 12. 如图，在中，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧分别相交于点E、F，连结并延长交边于点D，连结．若，，则的周长为________． 13. 今年某市部分大桥进行翻新，在翻新大桥的过程中，为了测量河的宽度，在河的一边沿岸边选取B、C两点，在对岸岸边选择点A．测得，，米．则河的宽度(即点A到直线的距离)为_____________．(结果保留根号) 14. 已知抛物线过原点，对称轴为直线，与x轴交于、两点，为抛物线上纵坐标相同的两点，是对称轴与x轴交点，连接，结合图像给出下列结论： ①；②轴；③；④；⑤． 其中正确的结论有_____________（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某地铁线路全长约，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 17. 在一个不透明的盒子里装有三张卡片，分别标有数字1,2,5，这些卡片处数字外均相同，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率． 18. 四边形是菱形，O为中点，点E在上，点F在上． （1）添加一个条件，使得，并证明； （2）补充什么条件，能让四边形为菱形？写出条件并证明． 19. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图②、图③中仿照图①，只用无刻度的直尺，各画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分． 要求：所画线段CD的位置不同，点C、D均在格点上 20. 某区积极开展“阳光体育大课间”活动，各校学生坚持每天锻炼一小时，某校根据学校实际情况，决定主要开设羽毛球、跳绳、踢毽子三种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了n名学生进行调查（每名同学只选择一种体育项目），并将调查结果绘制成如下两个统计图．请结合上述信息解答下列问题： （1）求n的值． （2）请把条形统计图补充完整． （3）已知该校有1600人，请你根据统计图中的资料估计全校最喜欢踢毽子的人数． 21. 有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，以各自速度匀速行走，各自到达点C停止．甲机器人前3分钟速度不变，3分钟后与乙机器人的行走速度相同，甲、乙机器人各自与B地之间的距离(m)与各自的行走时间(min)之间的函数图象如图所示： (1)A、B两点之间的距离是____m,甲机器人前3分钟的速度为____m/min； (2)在甲机器人到达B地后和改变速度前这段时间内，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲、乙两机器人相距30m时，直接写出的取值范围. 22. 教材原型：课本例题以菱形边角关系为基础，结合平移、最短路径几何模型综合命题．现有菱形纸片，对角线与对角线相交于中心点，已知菱形两组对角满足数量关系，菱形四条边长均为；我们过顶点作直线平行于对角线，直线交线段的延长线于点，依次得到图①、图②、图③三组几何图形，完成下列探究问题． 图①为基础菱形，仅连接两条对角线交于点，无额外辅助线． （1）问题解决：结合图①图形，下面给出完整解题框架，请补全方框内缺失的全部证明推导过程，要求逻辑完整、步骤规范． 解：∵四边形是菱形 ，且，可证是等边三角形． 图②在图①菱形基础上，延长至点，作，连接线段． （2）如图②，结合菱形性质、平行四边形判定与勾股定理相关知识，连接线段，请完整计算出线段的长度，书写完整推导步骤． 图③图形与图②完全一致，在对角线上任取一动点，不与两点重合，分别连接两条线段． （3）如图③，点是对角线上任意一个动点，连接，请结合菱形对角线的轴对称性质、两点之间线段最短原理，求出的最小值，并准确说明此时动点所在的具体位置． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒． （1）线段MP的长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围． （3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，这条抛物线的顶点为D． （1）求点D的坐标． （2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E．当CE＝2AB时，求点D的坐标． （3）这条抛物线与直线y＝﹣x相交，其中一个交点的横坐标为﹣1．过点P（m，0）作x轴的垂线，交这条抛物线于点M，交直线y＝﹣x于点N，且点M在点N的下方．当线段MN的长度随m的增大而增大时，求m的取值范围． （4）点Q在这条抛物线上运动，若在这条抛物线上只存在两个点Q，满足S△ABQ＝3S△ABC，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $