精品解析：吉林省长春市吉林省第二实验远洋学校2025-2026学年九年级上学期开学考数学试卷

吉林省第二实验远洋学校2025—2026学年度 上学期九年级假期验收数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形 中，对角线 和相交于点O，下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 在 中，， ，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 7. 图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若连接，则 8. 近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 （米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距 的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是________． 10. 若函数的图象与x轴有交点，则常数m的取值范围是________． 11. 如图，某小区物业想对小区内的三角形广场 进行改造，已知 与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根号） 12. 学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为1.92米，方差分别为米，米，则身高较整齐的球队为__________队（填“甲”或“乙”）． 13. 如图， 的顶点在抛物线上，将 绕点O顺时针旋转，得到，边 与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 14. 如图，在正方形 中，，对角线 、相交于点O，过点O作射线、分别交边、 于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形 面积； ⑤若的中点为K，则的最小值为2． 上述结论中，所有正确的序号是________． 三、解答题（本大题共8小题，共58分） 15. （1）计算： （2）解方程： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 某花卉商店用1000元购进一批多肉植物，很快售完；该商店又用1500元购进第二批同种多肉植物，所购数量是第一批的倍，但每株多肉植物的进价比第一批的多2元．求第一批多肉植物每株的进价． 18. 如图，在 中，，是 的角平分线，作交 于点E，作交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则的值为　　　　． 19. 如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，点 为 的中点．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，在 上找点 ，连结，使得； （2）在图②中，在 上找点 ，使得； （3）在图③中，在 上找点 ，连结，使得． 20. 某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题： 七年级代表队的学生成绩条形统计图八年级代表队的学生成绩扇形统计图 （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中m的值是________； （3）七年级代表队学生成绩的平均数是________，中位数是________，众数是________． 21. “绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： （1）甲品牌共享电动车每分钟收费_____________元． （2）当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式． （3）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱． 22. 【模型特征】小亮发现：如果两个等腰三角形顶角相等且顶角的顶点重合，就能构造出全等三角形．例如图①， 与均为等腰直角三角形，，易证．应用此模型可以解决一些几何问题． 【模型应用】问题：如图②，四边形 中，，求线段 的长．小亮尝试作出辅助线：如图③，过点 作的垂线交 的延长线于点 ，连结．请你接着完成下面的问题： （1）求证：； （2） 的长为_____； 【拓展应用】如图④，四边形 中，，，，则线段 的长为_____． 23. 在矩形 中，，，点P在折线上，以为边向下作等边三角形，射线交线段于点Q，连接． （1）当点Q与点B重合时，线段的长为__________； （2）当点M落在边上时，求等边三角形的面积； （3）当P在边 上，是直角三角形时，求的长； （4）当点Q将线段分成两部分线段长度比为 时，直接写出． 24. 在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线（ 是常数）经过点，点 是该抛物线在第四象限上的点，点 在 轴上，点 、点 的横坐标分别为、，射线 交 轴于点 ． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点 在该抛物线的顶点时，求的面积； （3）当是等腰直角三角形时，求点 的坐标； （4）当线段和抛物线有公共点时，设公共点为 （点 不与点 、 、 重合），连结 、 ．若．则的值为________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验远洋学校2025—2026学年度 上学期九年级假期验收数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝，不是最简最简二次根式，故A不符合题意； B、原式＝3，不是最简最简二次根式，故B不符合题意； C、原式＝，不是最简最简二次根式，故C不符合题意； D、是最简最简二次根式，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，令，再逐一通过计算判断各选项，从而可得答案. 【详解】解：当，时， ，，故A不符合题意； ，故B不符合题意； 而 故C符合题意； ．故D不符合题意 故选：C． 【点睛】本题考查的是利用特值法判断分式的变形，同时考查分式的基本性质，掌握“利用特值法解决选择题或填空题”是解本题的关键. 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键． 4. 如图，在矩形 中，对角线和相交于点O，下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，，，，， ∴不一定成立，不一定成立，，不一定等于，， 从而可得：选项A，B，C不一定成立，选项D一定成立， 故选：D． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 5. 在 中，， ，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，结合题意再根据直角三角形中余弦的定义得，代值计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出 的值，再根据题意作答即可． 【详解】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 7. 图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若连接，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据基本作图可知，，根据证明，即可得出，从而判断A、B、D不符合题意，C符合题意． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，故D不符合题意； 而不一定成立，故C符合题意． 故选：C． 8. 近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 （米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距 的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距 的取值范围是米． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式的定义；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，由此可得答案． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 10. 若函数的图象与x轴有交点，则常数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与x轴交点问题，熟练掌握二次函数与x轴交点问题是解题的关键．分和两种情况分别进行解答即可， 【详解】解：若，则函数为一次函数，一次函数的图象与x轴有交点，故符合题意； 若，则函数是二次函数， ∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， 解得且． 综上可知，常数m的取值范围是． 故答案为： 11. 如图，某小区物业想对小区内的三角形广场 进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点 作，交的延长线于点 ，根据解直角三角形的方法即可求解. 【详解】如解图，过点 作，交的延长线于点 ， ∵， ∴. ∵在中，，， ∴. ∵，， ∴（平方米）. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 12. 学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为1.92米，方差分别为米，米，则身高较整齐的球队为__________队（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【详解】解：由于，故身高较整齐的球队为甲队． 故答案为：甲． 13. 如图， 的顶点在抛物线上，将 绕点O顺时针旋转 ，得到，边 与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得， 且轴，从而求得的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得的坐标． 【详解】解：的顶点在抛物线上， ， 解得 ， 抛物线为， 点， 将 绕点 顺时针旋转 ， 得到， 点 在 轴上，且， 轴， 点的纵坐标为2， 代入， 得， 解得， 故答案为． 14. 如图，在正方形 中，，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、 于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形 面积； ⑤若的中点为K，则的最小值为2． 上述结论中，所有正确的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． ①根据正方形性质得，由此得，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论①进行判定；②由得，据此可对结论②进行判定；③由得，则，再根据正方形的性质得，据此可对结论④进行判定；④由结论②正确得，在中由勾股定理得，则，再根据为斜边得，则，据此可对结论③进行判定；根据直角三角形斜边中线性质得到，设，利用勾股定理求出 ，结合完全平方式判断⑤，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形 为正方形，对角线相交于点 ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，故结论①正确； ②由①的结论正确得：， 故结论②正确； ③结论②正确得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，为斜边， ， ， ， 故结论③不正确， ④由①的结论正确得：， ， ， ∵四边形 为正方形， ， ， ∴， ∴，故结论④正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∵的中点为K， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当 时， 最小，最小值为， 故⑤错误； 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共8小题，共58分） 15. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． （1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， 或， 所以，． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键，根据分式混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： 原式 ． 当时， 原式． 17. 某花卉商店用1000元购进一批多肉植物，很快售完；该商店又用1500元购进第二批同种多肉植物，所购数量是第一批的倍，但每株多肉植物的进价比第一批的多2元．求第一批多肉植物每株的进价． 【答案】第一批多肉植物每株的进价为8元 【解析】 【分析】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确找出等量关系． 设第一批多肉植物每株的进价为 元，则第二批每株的进价为元，根据某花卉商店用1000元购进一批多肉植物，很快售完；该商店又用1500元购进第二批同种多肉植物，所购数量是第一批的倍，列方程组求解． 【详解】解：设第一批多肉植物每株的进价为 元，则第二批多肉植物每株的进价为元， 根据题意得， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第一批多肉植物每株的进价为8元． 18. 如图，在 中，，是 的角平分线，作交 于点E，作交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则的值为　　　　． 【答案】（1） 证明： ， ， ， ． 四边形是平行四边形． ， 平分 ， ． 四边形 是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，求正弦； （1）根据已知条件证明四边形是平行四边形，根据角平分线的定义以及平行线的性质得出，即可得证； （2）根据得出，结合已知以及菱形的性质，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ 19. 如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，点 为 的中点．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，在 上找点 ，连结，使得； （2）在图②中，在上找点 ，使得； （3）在图③中，在上找点 ，连结，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识， （1）取格点M、N，连接 交 于E，连接即可； （2）取点 ，使得，，连接,交于点 ，即可求解； （3）取格点N、M、E，连接 交于F，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 由图知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴E是 中点， 又D为的中点， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点M即为所求， 由图知：，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，点M即为所求． 【小问3详解】 解：如图， 即为所求， 由图知：，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又D为的中点， ∴． 20. 某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题： 七年级代表队的学生成绩条形统计图八年级代表队的学生成绩扇形统计图 （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中m的值是________； （3）七年级代表队学生成绩的平均数是________，中位数是________，众数是________． 【答案】（1）见详解 （2）25 （3）8，8，7 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、平均数、众数、中位数，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先求得七年级代表队，成绩为10分的学生人数，然后补画条形统计图即可； （2）结合扇形统计图求得八年级代表队成绩为8分的学生人数占比，即可获得答案； （3）根据平均数、众数和中位数的定义，分别求解即可． 【小问1详解】 解：七年级代表队，成绩为10分的学生人数为（人）， 条形统计图如下图所示： 【小问2详解】 八年级代表队，成绩为8分的学生人数占比为， 即m的值是25． 故答案为：25； 【小问3详解】 七年级代表队学生成绩的平均数是， 将七年级代表队学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的均为8分， 所以，七年级代表队学生成绩的中位数是， 七年级代表队学生成绩中出现次数最多的是7分，共计6次， 所以，七年级代表队学生成绩的众数是7． 故答案为：8，8，7． 21. “绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： （1）甲品牌共享电动车每分钟收费_____________元． （2）当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式． （3）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱． 【答案】（1）0.2 （2） （3）小明选择甲品牌的共享电动车更省钱 【解析】 【分析】（1）由20分钟收4元即可得甲品牌共享电动车每分钟收费； （2）用待定系数法可得乙品牌共享电动车在骑行时间不低于10分钟时y与x之间的函数关系式； （3）求出骑行时间，由图象直接可得答案． 【小问1详解】 解：由图可得：甲品牌共享电动车每分钟收费（元） 故答案为：0.2； 【小问2详解】 当时，设乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式是 将，代入得： ， 解得， ∴； 【小问3详解】 小明需要骑行的时间是（分）， 从图象可知，当时，，即骑行甲品牌的共享电动车更省钱， ∴小明选择甲品牌的共享电动车更省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的根据是读懂题意，能正确识图． 22. 【模型特征】小亮发现：如果两个等腰三角形顶角相等且顶角的顶点重合，就能构造出全等三角形．例如图①， 与均为等腰直角三角形，，易证．应用此模型可以解决一些几何问题． 【模型应用】问题：如图②，四边形 中，，求线段的长．小亮尝试作出辅助线：如图③，过点 作的垂线交 的延长线于点 ，连结．请你接着完成下面的问题： （1）求证：； （2）的长为_____； 【拓展应用】如图④，四边形 中，，，，则线段的长为_____． 【答案】（1）证明：如图③，∵过点 作的垂线交 的延长线于点 ， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质； （1）先证明和是等腰直角三角形，即可证明； （2）由可得，，得到，在根据勾股定理计算即可； （3）在 延长线上取一点 ，使，连接 ，过 作于 ，先证明和是等边三角形，即可证明，得到，，，再在中，利用勾股定理得到，在中， 得到，则，最后在中根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴，， ∴， ∴中； （3）在 延长线上取一点 ，使，连接 ，过 作于 ， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴中，，， ∴中， ， ∴， ∴中，， 故答案为：． 23. 在矩形 中，，，点P在折线上，以为边向下作等边三角形，射线交线段于点Q，连接． （1）当点Q与点B重合时，线段的长为__________； （2）当点M落在边上时，求等边三角形的面积； （3）当P在边 上，是直角三角形时，求的长； （4）当点Q将线段分成两部分线段长度比为 时，直接写出． 【答案】（1）2 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出图形，然后求出，得到，然后根据勾股定理求解即可； （2）首先根据题意画出图形，求出，得到，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）首先得到，，然后利用勾股定理得到，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可； （4）根据题意分和两种情况讨论，然后分别根据相似三角形的性质和正切值的概念求解即可． 【小问1详解】 如图所示， ∵是等边三角形 ∴ ∵四边形 是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 如图所示，当点M落在边上时，此时点M和点Q重合， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴等边三角形的面积； 【小问3详解】 如图所示，当P在边 上，是直角三角形时， ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问4详解】 如图所示，当时，过点Q作 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴同理可得，， ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，过点Q作， ∵， ∴ ∴设，则， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴； 综上所述，或． 【点睛】此题考查了四边形综合题，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线求解． 24. 在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线（ 是常数）经过点，点 是该抛物线在第四象限上的点，点 在 轴上，点 、点 的横坐标分别为、，射线 交 轴于点 ． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点 在该抛物线的顶点时，求的面积； （3）当是等腰直角三角形时，求点 的坐标； （4）当线段和抛物线有公共点时，设公共点为 （点 不与点 、 、 重合），连结 、 ．若．则的值为________ 【答案】（1） （2） （3）点 的坐标为 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）将抛物线解析式化为顶点式可得，从而可得，即，待定系数法求出直线 的解析式为，求出，得到，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）由题意可得，，得出，求出直线 的解析式为，得到，结合是等腰直角三角形，得出，即，由此计算即可得解； （4）由（3）可得，，，则点 为的中点，结合，可得点 是线段的中点或点 是线段 的中点，根据中点坐标公式分别得到两种情况下点 的坐标，代入二次函数的解析式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线（ 是常数）经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，点 在该抛物线的顶点， ∴， ∵点 是该抛物线在第四象限上的点，点 在 轴上，点 、点 的横坐标分别为、， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线 的解析式为， ∵射线 交 轴于点 ，当 时，，即， ∴， ∴的面积， 【小问3详解】 解：∵点 是该抛物线在第四象限上的点，点 在 轴上，点 、点 的横坐标分别为、， ∴，， ∴ 设直线 的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线 的解析式为， ∵射线 交 轴于点 ，当 时，， ∴，即， ∵是等腰直角三角形，， ∴，即， 解得：或或或， ∵ 在第四象限，即且， ∴和舍去， 当时，，舍去， 当时，，符合题意， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：由（3）可得：，，， ∴点 为的中点， ∵线段和抛物线有公共点时，设公共点为 （点 不与点 、 、 重合），且， 又∵四点共线， ∴， 又∵点 为的中点， ∴①当点 是线段的中点时，如图所示， 此时点 的横坐标为，纵坐标为， ∵点 在抛物线上， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴的值为． ②当 为 的中点时，如图所示， 同理得， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—特殊三角形问题，一次函数的综合应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $