5.3实际问题与一元一次方程 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程实际应用，分基础、提升、综合三层设计，覆盖和差倍分、销售盈亏等典型问题，通过问题情境深化模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一等量关系直接应用|如第1题车间人数计算，通过简单倍数关系建立方程，巩固方程建模基础| |提升层|多条件关联与简单综合|如第7题成本利润问题，结合定价、折扣等多因素，培养运算能力与推理意识| |综合层|跨知识点融合与复杂情境|如第12题四套丛书购买方案，整合方程与不等式，发展数据意识与问题解决能力|

5.3 实际问题与一元一次方程  题型分类解答题专题训练 一、和差倍分问题 1．某口罩生产企业第一车间有工人150名，第二车间工人数比第一车间的多10人． (1)求第二车间工人数； (2)现因生产需要，给两个车间都增加了工人，已知第二车间增加的工人数是第一车间增加的工人数的2倍，若此时第二车间工人数比第一车间多10人，求第一车间增加的工人数． 2．某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 3．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本． (1)这些书有多少本？共有多少人？ (2)这些同学都是在本次竞赛中表现优异的同学，学校又给这些同学中每个男生奖励一个价值100元的篮球，每个女生奖励一个价值90元的排球，学校共花去580元．那么共有多少名男生，多少名女生？ 4．今年红红的年龄是妈妈年龄的，5年后红红的年龄是妈妈年龄的，妈妈今年多少岁？ 5．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个． (1)该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？ 6．某同学在相邻的A、B两家超市看到他喜欢的MP5和书包单价都分别相同，两者价格之和是420元，且MP5比书包单价的4倍少40元．MP5和书包单价各多少元？A超市所有商品七五折销售，B超市每购满100元返购物券30元（不足100元不返券）．如果这位同学两样东西都买，他在哪一家超市购买便宜？ 二、销售盈亏问题 7．甲、乙两种商品，成本共3500元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按10%的利润定价．后来都按定价的九折出售，结果仍获利154元．问甲、乙两种商品的成本各是多少元？ 8．有甲、乙两家超市，春节来临之际分别给出了不同的促销方案．甲超市购物全场八八折．乙超市购物：①不超过元，不给予优惠；②超过元而不超过元，打九折；③超过元，其中的元仍打九折，超过元的部分打八折．假设两家超市相同商品的标价都一样．当一次性购物标价的总额为多少元时，甲、乙两家超市实付款一样？ 9．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 10．水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利（毛利润）元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出千克． (1)若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ (2)若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ (3)若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要价格尽可能低，则每千克水果应降价多少元？ 11．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元． (1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？ (2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值． 12．今年4月23日是第31个世界读书日．新华书店推出文学、科普、传记、艺术四套中学生阅读丛书售卖：已知一套文学丛书的售价比一套科普丛书的售价高16元，一套传记丛书的售价为36元，一套艺术丛书的售价为38元．买2套文学、3套科普共花费132元．现准备用不超过560元选购这四套丛书若干． (1)求1套文学、1套科普丛书的售价？ (2)若只购买文学、科普两种丛书，且两种都要买，恰好用完560元，则有几种购买方案？ (3)若四种丛书都购买，且购买科普的套数是购买总套数的，总花费恰好560元，求艺术丛书的购买套数？ 三、比例分配问题 13．某校四个班为“希望工程”捐款，甲班捐的钱数是另外三个班捐款总和的一半，乙班捐的钱数是另外三个班捐款总和的，丙班捐的钱数是另外三个班捐款总和的，丁班共捐了169元，求这四个班捐款数的总和． 14．工业园区某机械厂一个生产螺丝和螺母的车间有工人共44人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个，已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？ 15．某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片120片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作镜架，女工负责制作镜片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，那么要调多少名女工帮男工制作镜架？ 16．一种农药，用药液和水按配制而成．要配制这种农药505千克，需要药液多少千克？ 17．某公路收费站的收费标准是大客车20元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的这三种车辆的数量之比是，共收费4800元，问这天通过收费站的三种车各是多少辆？ 18．某学校六年级学生分成甲、乙两组参加航模比赛，甲、乙两组的人数比是8：7．如果从乙组调8人到甲组，则乙组人数是甲组人数的80%．六年级参加航模比赛的一共有多少人？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)130人 (2)30人 【分析】（1）列式计算即可． （2）设第一车间增加x名工人，则第二车间增加人，根据题意列出方程计算即可． 【详解】（1）∵第一车间有工人150名，第二车间工人数比第一车间的多10人， ∴第二车间工人数为（人）． （2）设第一车间增加x名工人，则第二车间增加人，根据题意，得 ， 解方程得， 故第一车间增加的工人数为30． 【点睛】本题考查了列代数式计算，一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 2．水果店原来运来苹果160千克，梨180千克 【分析】设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克， 根据题意，得 （千克） 答：水果店原来运来苹果160千克，梨180千克． 3．(1)共有26本书，共有6人 (2)共有4名男生，则有2名女生 【分析】（1）设共有x人，根据如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本列出不等式组，解之取整数解即可； （2）设共有m名男生，根据学校共花去580元列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：设共有x人， 由题意可得：， 解得：， ∵x为非负整数， ∴，即共有6人， ∴这些书共有：（本）； （2）设共有m名男生，则有名女生， 由题意可得：， 解得：， 名， ∴共有4名男生，则有2名女生． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式组和方程即可求解． 4．妈妈今年40岁． 【分析】根据今年及5年后红红与妈妈的年龄的关系，设妈妈今年的年龄为未知数，列方程求解即可． 【详解】解：设妈妈今年岁， 则红红今年岁，5年后妈妈年龄为岁，红红年龄为岁． 由题意得：， 两边同乘12得：， 解得：， 答：妈妈今年40岁． 5．(1)该车间有男生18人，则女生人数是26人 (2)分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母 【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答； （2）首先设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ． 解得 则． 答：该车间有男生18人，则女生人数是26人． （2）设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，由题意得： 解得：， 答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 6．单价为328元，书包单价为92元，在超市购买更省钱 【分析】 设书包的单价为元，的单价为元．根据的单价比书包的单价的4倍少40元，可得方程求解即可；根据两件商品单价之和是420元，首先计算超市，打七五折的价格是315元，再根据全场购物满100元返购物券30元销售，则先拿328元购买，返还90元购物券，再拿2元现金即可购买，共花钱330元．然后比较两个超市的价钱，进行判断． 【详解】 解：设书包的单价为元，的单价为元． 根据题意，得 （元）， 则该同学看中的单价为328元，书包单价为92元． 在超市购买与书包各一件需花费现金：（元）． 在超市可先花费现金328元购买，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：（元）， 因为， 所以在超市购买更省钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据实际问题中的条件列方程时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程．同时要理解透彻两个超市的优惠政策． 7．甲商品的成本是元，乙商品的成本是元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列方程是正确解答本题的关键．设甲商品的成本是元，那么乙商品的成本则是元，根据获利154元列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设甲商品的成本是元，那么乙商品的成本则是元，根据题意得： ， 解得：． 则， 答：甲商品的成本是元，乙商品的成本是元． 8． 【分析】本题考查了商品销售问题，先确定时甲乙两超市的实付款，确定的取值范围，再在的情况下列出方程求解. 【详解】解：设当一次性购物标价的总额是元时，甲、乙两家超市实付款一样． 当一次性购物标价的总额恰好是元时， 甲超市实付款是（元）， 乙超市实付款是（元）． 因为，所以． 根据题意，得， 解得． 答：当一次性购物标价的总额是元时，甲、乙两家超市实付款一样． 9．(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 10．(1)千克 (2)元 (3)5元 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，有理数四则混合运算的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设降价元，可用表示出盈利，由此列出方程求解，从而可求出销量； （2）每千克盈利元，乘以（1）中算出的销量即可； （3）设每千克应降价元，根据题意，列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设降价元， 盈利（元/千克）， 每千克盈利元， 则， 解得：， 销量千克； （2）以每千克盈利元的价钱出售， 此时能盈利元； （3）设每千克应降价元， 则， 解得：，， 因为同时又要价格尽可能低， 所以每千克水果应降价5元． 11．(1)第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克 (2)m的值为10 【分析】本题主要考查了列一元一次方程和一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． （1）设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克，根据购买的总价列出方程求解即可； （2）根据利润列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克， 依题意得， 解得 当时，． 答：第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克； （2）解：依题意得 整理得 解得（不合题意，舍去） 答：m的值为10． 12．(1)1套文学丛书售价为元，1套科普丛书售价为元； (2)共有种购买方案； (3)艺术丛书的购买套数为套． 【分析】（1）设1套科普丛书售价为元，则1套文学丛书售价为元，根据题意列出一元一次方程，据此求解即可； （2）设购买文学丛书套，购买科普丛书套，根据题意列出二元一次方程，根据、都是正整数，求解即可； （3）设总购买套数为（为正整数），则购买科普丛书套，文学a套、传记b套、艺术c套，a，b，且为正整数，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设1套科普丛书售价为元，则1套文学丛书售价为元， 根据题意得， 解得， ， 答：1套文学丛书售价为元，1套科普丛书售价为元； （2）解：设购买文学丛书套，购买科普丛书套， 由题意得， 整理得， ∵、都是正整数， ∴，；，；，； ∴共有种购买方案； （3）解：设总购买套数为（为正整数），则购买科普丛书套， 文学a套、传记b套、艺术c套，a，b，且为正整数， 满足：，即， 总花费方程：， 整理得， ∴，即， 由得，解得， ， ∵a，b都大于等于1， ∴，解得， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴． 答：艺术丛书的购买套数为套． 13．四个班捐款数的总和为780元． 【分析】设四个班捐款的总和为元，则甲，乙，丙.再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设四个班捐款的总和为元，则甲，乙，丙. 根据题意，得， 解得. 答：四个班捐款数的总和为780元． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握找等量关系列方程，解方程是解题的关键． 14．应该分配24个工人负责生产螺丝，20个工人负责生产螺母 【分析】结合题意，设负责生产螺丝的工人数为：x，则负责生产螺母的工人数为：44-x，通过列方程并求解，即可得到答案． 【详解】设负责生产螺丝的工人数为：x，则负责生产螺母的工人数为：44-x 根据题意得： 解得： ∴应该分配24个工人负责生产螺丝，20个工人负责生产螺母． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 15．(1)该工厂有男工36人，女工52人； (2)12名女工． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，确定等量关系列方程是解题的关键． （1）设该工厂有男工x人，则女工有人，利用总人数是88人列方程求解即可． （2）设调y名女工帮男工制作镜架，利用镜片是镜架的二倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人． 由题意得， 解得， 所以女工有（人）． 答：该工厂有男工36人，女工52人． （2）设调名女工帮男工制作镜架． 由题意得， 解得． 答：如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，要调12名女工帮男工制作镜架． 16．5千克 【分析】首先设需要药液千克，根据条件“用药液和水按配制而成．”可得需要水千克，根据题意可得等量关系：药液的质量水的质量千克，由等量关系可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设需要药液千克，则需要水千克，由题意得： ， 解得：， 答：需要药液5千克． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 17．这天通过收费站的大客车120辆，大货车168辆，轿车144辆． 【分析】设这天通过收费站的大客车辆，大货车辆，轿车辆，根据“大客车20元，大货车10元，轿车5元，共收费4800元”列出方程并解答． 【详解】解：设这天通过收费站的大客车辆，大货车辆，轿车辆， 依题意得：， 解得， 则（辆），（辆），（辆）． 答：这天通过收费站的大客车120辆，大货车168辆，轿车144辆． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找到题中的等量关系列出方程． 18．360人． 【分析】原来甲、乙两组的人数比是8：7，设出甲组、乙组人数，根据人数比，求出总人数． 【详解】设甲组人，乙组人， 则，∴，解得：， 故六年级共有：（人）． 答：六年级共有360人参加航模比赛． 【点睛】根据甲、乙两组的人数比列出等式，依据等式，进行求解． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $