平面向量及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量概念、运算及几何应用，以典型问题构建从基础到综合的知识网络，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选3/4/12/18|结合几何图形考查线性运算、数量积|从向量概念生成线性运算规则，通过坐标法实现数与形转化| |几何应用|单选1/2/3/6/7/8、填空13/14|三角形五心、面积最值、射影问题|以解三角形为载体，构建向量与几何性质的推理链条| |综合应用|解答15/16/17/19|向量与三角函数、面积公式综合|通过函数建模体现数学语言表达现实问题的应用意识|

高中数学人教A版必修二平面向量及其应用 一、单选题 1．早在公元前十一世纪，西周数学家商高就提出了“勾三股四弦五”，《周髀算经》中也有相关记载，故勾股定理也称“商高定理”．现有的三边满足商高定理，其中勾的长为3，，点在弦上的射影为点，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 3．如图，在中，是的中点，，设，，则（    ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的部分图象如图所示，，是图象与轴的交点，且，，．则（    ） A． B． C． D． 6．已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点是的重心 C．若，则点的轨迹必过的内心 D．若，且，则的面积是面积的 11．下列说法错误的是（    ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量，相等，则，重合 D．若，则 三、填空题 12．向量，，且，则______. 13．在中，若，当的最小值为时，则实数______. 14．已知是的垂心，且，则角的值为______. 四、解答题 15．已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 16．已知的三个角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积为，且，求的周长； 17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小． (2)若M为的内心，，求周长的取值范围． 18．已知向量，. (1)若，求； (2)若，，求在上的投影向量坐标. 19．在中，角的对边分别为.已知，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修二平面向量及其应用 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B D A A A AC BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】作出图形，计算出的值，然后利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，，，则， ，，所以，. . 2．B 【分析】显然，所以，所以只需写出和的面积即可，此时，最适宜引入的参数就是，用表示出两个三角形的面积，再用正弦型函数的最值即可解决本题. 【详解】在中，设，则. 由余弦定理知， 因为是等边三角形，所以. 又，为等边三角形， 所以，所以， 故 ， 所以，当，即时，. 3．D 【分析】利用向量的线性运算法则，将 表示为 与 的线性组合，进而解出 . 【详解】由题意可知， 是 的中点，所以 . 因为 ，根据向量减法的三角形法则， 可得： . 又因为 ，且 ， 所以 . 整理可得 ， 解得 . 4．B 【分析】将平行四边形两条对角线用邻边向量表示，通过模长平方的乘积结合已知条件求解余弦平方，进而得到正弦值. 【详解】设，，记，，则，, 由平行四边形向量关系得 ，， 因此， , 由，得，两边平方得，所以 ，即，解得， 因，故. 5．D 【分析】根据点求出点横坐标，进而确定的周期，得出，再利用向量数量积公式得到，再将点坐标代入函数即可求解. 【详解】由图可知，点的横坐标为，则，所以． 因为，所以，得． 因为，所以．将点坐标代入函数，得，即． 所以，即．因为，所以． 6．A 【分析】利用两组三点共线条件，将目标向量用同一组基底表示出两种形式，再根据平面向量基本定理比较系数列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 由题意得三点共线，三点共线， 所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以有，解得， 则， 所以，. 7．A 【分析】利用向量线性运算将用和表示，对比系数得到与参数的关系，结合参数范围求解的取值范围. 【详解】设，由点在线段上，得. 由，得，所以. 又，， 所以. 又，所以. 因为，所以. 8．A 【分析】设交于，交于，可求得，进而得到，然后利用向量的运算和平面向量基本定理即可求解． 【详解】如图所示，设交于，交于， 由于， 故，又，故， 同理可得，故， 而，故，， 根据三点共线，三点共线，可得，， 解得． 9．AC 【详解】由，即，整理得， 所以，结合题设，经验证均满足. 10．BCD 【分析】利用平面向量的线性运算、三角形重心和内心的性质、三角形面积与高的比例关系逐一判断各选项. 【详解】因为，所以， 所以，所以点在射线上，故A错误； 设为中点，则， 代入可得， 即在中线上且，符合重心的性质，故B正确； 分别是与同向的单位向量，二者的和向量沿的角平分线方向， 因为， 即， 所以，所以在的角平分线上， 故的轨迹必过的内心，故C正确； 因为，设，此时， 故在直线上，为上靠近的三等分点， 则到的距离是到距离的. 与同底，面积比等于高的比， 因此，故D正确. 11．ABD 【分析】根据向量数量积的运算性质可判断A；根据向量共线定理可判断B；根据向量的减法可判断 C；根据垂直关系的向量表示可判断 D. 【详解】对于A，与共线，与共线，而与不一定共线，所以等式不一定成立，故A错误； 对于B，若，，则不存在实数使，故B错误； 对于C，因为，所以，即，所以重合，故C正确； 对于D，由，得，则可能，不一定有，故D 错误. 12．/ 【分析】记，得出，再以为原点建系，利用坐标运算得出. 【详解】如图，记，则满足， 所以，则， 因为，，所以，解得，则， 故以为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 得，则. 13．3 【分析】切化弦后，结合诱导公式、两角和的正弦公式，正弦定理、余弦定理得出关于的等式，然后利用基本不等式求得的最小值，再由已知条件求得值. 【详解】在中，， ， 由得， 所以， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得，， 再由余弦定理得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 由题意，解得. 14． 【分析】建立坐标系，利用向量的坐标运算可求解. 【详解】建立如图坐标系， 设， ∵，∴，∴①， ∵是的垂心，∴， ∴，∴②， 由①②得，，∴，∴. 15．(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2) 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间. （2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围. 【详解】（1）∵ ，， ∴ . ∴ . 函数的最小正周期. 令， 解得， 即的单调递增区间为. （2）∵ ，∴ ，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，则， ∴ ，得. 由正弦定理得， ∴ ，. 又，故. ∵ 为锐角三角形，∴ ，解得. 的周长， ∵， ∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即周长的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再用正弦和角公式可得，即可求得； （2）由面积公式可得，再结合余弦定理求得，相加可得周长. 【详解】（1）由，得， 由正弦定理可得， 所以， 因为，所以， 又，所以． （2）因为，所以， 由余弦定理，得，即， 又因为，所以， 所以的周长为. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简，可得，即可求解： （2）由M为的内心及，可得，设，利用余弦定理结合基本不等式即可求得周长的取值范围． 【详解】（1）已知，由正弦定理得：， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，所以. （2） 因为M为的内心，由(1)知， 所以， 所以， 设，又，即， 在中，由余弦定理得，， 所以，， ，当且仅当时等号成立， 又，所以， 所以周长的取值范围为：. 18．(1) (2) 【详解】（1）已知向量，，则， ，，代入坐标得：. ，. （2）， 已知，，根据向量平行的坐标公式，有： ，则. 投影向量的公式为，其中，， 则投影向量为. 19．(1) (2)3 (3). 【分析】（1）由正弦定理边角互化即可； （2）由余弦定理计算； （3）利用正弦定理和倍角公式、两角和的正弦公式计算. 【详解】（1）由正弦定理以及可得， 显然，得，由，故. （2）由（1）知 ，且 ，， 由余弦定理得， 解得（ 舍去），故. （3）由正弦定理，且，，，得， 因为，所以为锐角，故，故， 则； 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $