精品解析：四川达州市通川区第七中学校2026-2027学年八年级上学期学情自测数学试题

四川省达州市通川区第七中学校2026-2027学年八年级上学期开学自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，、、的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A. B. C. D. 5. 若最简二次根式与能合并，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 9 D. 12 7. 如图，直线，的平分线EF交CD于点F，，则等于（ ） A. 132° B. 138° C. 156° D. 159° 8. 若△ABC的三边a，b，c，满足，则△ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 9. 如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是（　　） A. 爸爸的爬山速度为 B. 1.5小时的时候爸爸与小明的距离为 C. 山脚到山顶的总路程为 D. 小明最后一段速度为 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在实数，，，，中，无理数有______个． 12. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为________． 13. 如图，在中，，，垂足为D．如果，，则的长为_________． 14. 如图，点C是线段AB上一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝60，则图中阴影部分的面积为 _____． 15. 如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，E为延长线上一点，．若，则的面积为_______．（用含a，b，c的式子表示） 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知2a+1的平方根是±3，1-b的立方根为-1． （1）求a与b的值； （2）求3a+2b的算术平方根． 18. 如图，点、、在同一直线上，和都是等边三角形． 求证：． 19. 我区某中学就新冠疫情对青少年价值观产生的影响做了一个问卷调查，其中一项调查内容是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？A．生命，B．感恩，C．责任，D．奉献．每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请份根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了__________名同学； （2）扇形统计图中___________，并补全条形统计图； （3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词“感恩”的学生的概率是多少． 20. 在四边形中， （1）求证：为直角三角形； （2）求四边形的面积． 21. 图①长方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿A－Ｂ－C－D的路线以每秒2cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，的面积与时间的关系图象． （1）根据题目提供的信息，求出a，b，c的值； （2）写出点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式： （3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？ 22. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c， ，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为 ； （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 23. 观察下列等式： ；；；；… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． （1）利用以上规律直接写出结果：______； （2）设两个因数的十位数字为a，用含a的代数式表示上述速算法则：__________________； （3）善于思考的小聪通过计算 … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为a，个位数字分别为m，n，且，请用含a、m、n的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 24. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是____； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 25. 如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． （1）如图1，连接，当点在外部时，试说明； （2）如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； （3）如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市通川区第七中学校2026-2027学年八年级上学期开学自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 2. 在中，、、的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则， ∴是直角三角形，故 A 选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，零指数幂等知识，掌握这些知识是解题的关键；根据这些知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、满足的条件是，在没有指明的情况下，计算是错误的，不符合题意； C、非同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，， 不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 若最简二次根式与能合并，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数必须相同，由此建立方程求解. 【详解】解：最简二次根式与能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，即：， ∴，即， 两边同时除以， ∴， 当时，被开方数为，此时是最简二次根式，符合题意； 因此，的值为， 故选：A 6. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，已知正方形的面积，利用面积公式，即可求解边长；三个正方形的边长恰好构成直角三角形，由勾股定理可求解． 【详解】由题可知三个正方形，利用正方形面积公式可得： 面积为16的正方形的边长为：4； 面积为25的正方形的边长为：5； 如图：又三个正方形边长恰好构成直角三角形， ∴ 第三个正方形的边长为：； ∴ 第三个正方形面积为：9； 故选C． 【点睛】本题主要考查正方形及直角三角形的性质；重点在于面积和边长之间的转换和对图形的分析． 7. 如图，直线，的平分线EF交CD于点F，，则等于（ ） A. 132° B. 138° C. 156° D. 159° 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质可得∠GEB＝∠1＝48°，∠FEB+∠2＝180°，再利用角平分线性质可得∠FEB＝24°，进而可得答案． 【详解】解：∵∠1＝48°，AB∥CD， ∴∠GEB＝∠1＝48°， ∵∠GEB的平分线EF交CD于点F， ∴∠FEB＝24°， ∵AB∥CD， ∴∠FEB+∠2＝180°， ∴∠2＝156°， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补． 8. 若△ABC的三边a，b，c，满足，则△ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的性质可得关于a、b、c的等式，继而可得a、b、c三边的数量关系，进而可判断出△ABC的形状． 【详解】解：∵， ∴a-b=0且a2+b2-c2=0， ∴a=b且a2+b2=c2， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键． 9. 如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：由条件可知， 在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ． 故选：C． 10. 清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是（　　） A. 爸爸的爬山速度为 B. 1.5小时的时候爸爸与小明的距离为 C. 山脚到山顶的总路程为 D. 小明最后一段速度为 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可直接判断A正确；小明累了之后减速继续爬山，此时速度是，可得1.5小时的时候，小明爬山的路程，爸爸爬山的路程为，可判断B正确；爸爸用2个小时爬上了山顶，可判断C正确；小明最后一段速度为，可判断D错误；即可得到答案．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确识图． 【详解】解：A、由图象可知，爸爸的爬山速度为，故A正确，不符合题意； B、小明累了之后减速继续爬山，此时速度是， 小时的时候，小明爬山的路程为：， 1.5小时的时候，爸爸爬山的路程为：， 小时的时候，爸爸与小明的距离是，故B正确，不符合题意； C、爸爸的爬山速度为，爸爸用2个小时爬上了山顶， 山脚到山顶的总路程为，故C正确，不符合题意； D、小明最后一段速度为，故D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在实数，，，，中，无理数有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个之间增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解：，，是有理数， ，是无理数，共有个， 故答案为：． 12. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，得出，即可求出a的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，垂足为D．如果，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积．根据勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点C是线段AB上一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝60，则图中阴影部分的面积为 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】设AC=m，BC=n，可得m+n=10，m2+n2=60，然后根据完全平方公式求出mn即可． 【详解】解：设AC＝m，BC＝n， ∵AB＝10， ∴m+n＝10， 又∵S1+S2＝60， ∴m2+n2＝60， 由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴102＝60+2mn， ∴mn＝20， ∴S阴影部分＝mn＝10， 即：阴影部分的面积为10． 故答案是：10． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键． 15. 如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，E为延长线上一点，．若，则的面积为_______．（用含a，b，c的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点A作于点F，过点C作于点G，证明，由全等三角形的性质得出．得出、，由等腰直角三角形的性质可得出，即；再根据求解即可． 【详解】解：如图：过点A作于点F，过点C作于点G， ∴． 又∵， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用平方差公式和完全平方公式展开，去括号合并常数项化简； （2）根据二次根式乘除法则分别计算，分式部分先化简分子根式再约分，最后合并同类二次根式． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知2a+1的平方根是±3，1-b的立方根为-1． （1）求a与b的值； （2）求3a+2b的算术平方根． 【答案】（1）a=4,b＝2；（2）3a+2b的算术平方根4． 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义，立方根的定义列式计算即可； （2）先计算3a+2b的值，再根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】（1）∵2a+1的平方根是±3， ∴2a+1＝＝9， 解得a＝4； ∵1-b的立方根为-1， ∴1﹣b＝＝-1， 解得b＝2． （2）∵a＝4，b＝2， ∴3a+2b ＝3×4+2×2 ＝16， ∴3a+2b的算术平方根为＝4． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握三个定义是解题的关键． 18. 如图，点、、在同一直线上，和都是等边三角形． 求证：． 【答案】 证明：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，涉及等边三角形性质、全等三角形判定与性质，熟练掌握手拉手模型证全等是解决问题的关键． 根据题意，由“手拉手”模型求证，结合全等三角形的性质及等边三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 我区某中学就新冠疫情对青少年价值观产生的影响做了一个问卷调查，其中一项调查内容是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？A．生命，B．感恩，C．责任，D．奉献．每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请份根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了__________名同学； （2）扇形统计图中___________，并补全条形统计图； （3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词“感恩”的学生的概率是多少． 【答案】（1）300 （2）15，补全条形统计图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答； （2）用D所对应的人数除以其所占的百分比，再乘以100得到a的值；用总人数×30%求出C所对应的人数，用总人数-A所对应的人数-C所对应的人数-D所对应的人数得到B所对应的人数，即可补全条形统计图； （3）根据概率公式，即可解答． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人）； 故答案为：300 【小问2详解】 解：，即a=15； ∴C所对应的人数为300×30%=90（人）， B所对应的人数为：300-105-90-45=60（人）， 补全条形图如图所示： 故答案为：15； 【小问3详解】 解：随机抽取一个最关注热词“感恩”的学生的概率是． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了概率的知识，概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 在四边形中， （1）求证：为直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，， 由勾股定理得：，即 在中，，， 是直角三角形 （2）36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）由勾股定理求出，进而根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据割补法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 21. 图①长方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿A－Ｂ－C－D的路线以每秒2cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，的面积与时间的关系图象． （1）根据题目提供的信息，求出a，b，c的值； （2）写出点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式： （3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？ 【答案】（1）a=160；b=18；c=28 （2）y= （3）4秒或24秒 【解析】 【分析】（1）根据△DAB的面积求出a的值；再根据时间=路程÷速度求出b的值，再根据c=10+b求出c的值； （2）分0≤x≤10，10＜x≤18，18＜x≤28三种情况，分段写出y与x的关系式即可； （3）先求出矩形面积，再根据△APD的面积是长方形ABCD面积的，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：由图②知，当x=10时，AP=10×2=20（cm）， 此时点P与点B重合， ∴S△DAP=S△DAB=AB•AD=×20×16=160（cm2）， ∴a=160； 当点P在BC边上运动时，△ADP的面积为定值160不变， ∵BC=AD=16cm， ∴b=10+=18； ∵CD=AB， ∴点P在CD上运动的时间与在AB上运动时间相同， ∴c=10+8+10=28； 【小问2详解】 ①当0≤x≤10时，如图甲所示： 由勾股定理可得：DP=， ∴y=； ②当10＜x≤18时，如图乙所示： 由勾股定理可得：DP=， ∴y=； ③当18＜x≤28时，点P在CD上运动，此时DP=AB+BC+CD-（AB+BC+CP）=CD-CP， ∴y=20-2（x-18）=-2x+56． 综上所述，点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式为： y=； 【小问3详解】 ∵AD=16cm，AB=20cm， ∴矩形ABCD的面积为20×16=320（cm2）， 当△APD的面积是长方形ABCD面积的时，S△APD=S矩形ABCD=×320=64（cm2）， 当0≤x≤10时，SAPD=AD•AP=×16×2x=64， 解得：x=4， 根据矩形的性质和点P的运动过程可知，当x=28-4=24时，△APD的面积是长方形ABCD面积的， ∴点P出发4秒或24秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c， ，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为 ； （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】 （1）证明：，，，且， ， ， ； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据建立等式证明即可． （2）用两种方法表示三角形的面积，建立等式，解答即可； （3）根据题意，得，，分别表示后，建立等式解答即可． 本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，熟练掌握证明和应用是解题的关键． 【详解】（1） 略 （2）解：设边上的高为h， 根据题意，，且， 又 故， 解得， 故答案为：； （3）解：在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：，， 解得． 23. 观察下列等式： ；；；；… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． （1）利用以上规律直接写出结果：______； （2）设两个因数的十位数字为a，用含a的代数式表示上述速算法则：__________________； （3）善于思考的小聪通过计算 … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为a，个位数字分别为m，n，且，请用含a、m、n的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 【答案】（1）7221 （2）；； （3） ，理由如下： 两个因数分别表示为：，， 则 ， ∵， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法中的相关数学规律，数字规律探究，用代数式表示数字规律，解题的关键在于理解题意，熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据题意直接写出答案即可； （2）根据观察规律可得，即可求解； （3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 故答案为：7221； 【小问2详解】 解：由题意可知： … ∴， 故答案为：；；； 【小问3详解】 略 24. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是____； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，进而估算出的范围，即可得其整数部分； （2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可； （3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是； 故答案为：，； 【小问2详解】 ， ， 的小数部分为，即， ， ， 的整数部分为，即， ； 【小问3详解】 ， ， ， ，其中是整数，且， ，， ， 的平方根为． 25. 如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． （1）如图1，连接，当点在外部时，试说明； （2）如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； （3）如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：结论：是等腰三角形， 理由：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）4 【解析】 【分析】（1）利用折叠性质得到，结合直角推导出一组夹角相等，再匹配两组对应边相等，用证明全等； （2）先由等腰直角三角形求出，借助第（1）问的全等转移角，然后通过三角形内角和计算，得到两角相等，判定等腰三角形； （3）倍长中线构造平行四边形，转化边与角的关系，然后证明是等腰三角形的角平分线，由三线合一得到垂直平分线，完成线段等量代换，最后利用（1）的全等，把转化成求出长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长到，使得，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $