精品解析：四川省达州市外国语学校2026-2027学年八年级上学期学情自测数学试题

四川省达州市外国语学校2026-2027学年八年级上学期开学考试数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1，2， 4. 如图，直线，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天会有太阳 B. 买一张电影票，座位号是偶数号 C. 小丽到达公交车站台时，108路公交车正在驶来 D. 一只袋子中装有3个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 6. 下列各式中，正确的是（　　） A. ＝4 B. ＝﹣2 C. ＝±4 D. ±＝2 7. 如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，为的中线，平分，平分，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：_______1（填“”“”或“”）． 10. 小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是___________． 11. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为______，这个正数为______． 12. 已知，，则的值为______． 13. 如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量，，计算仅仅少走了____________步．(假设米为步) 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在中，于点D，，，． （1）求的值； （2）判断的形状，并说明理由． 17. 如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA． （1）求证：△AED是等边三角形； （2）若△CDE是直角三角形，求α的度数． 18. （1）如图1，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△绕点逆时针旋转90后，得到△，连接. （1）试说明：△≌△； （2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；　 （3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长. B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知：y为实数，且y＜4，则|y－4|－的化简结果为__． 20. 如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 21. 要使多项式为一个完全平方式，则常数________． 22. 如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则______． 23. 如图，已知正方形的边长为6，点在上，且，点，分别是边，上的动点（均不与顶点重合），则四边形周长的最小值是______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 小丽和爸爸从自家出发沿相同的路线去外婆家，途中要路过一个核酸检测点，小丽骑车速度为15km/h，小丽比爸爸晚出发5分钟，小丽骑自行车直接去外婆家，爸爸骑摩托车先到核酸检测点做核酸检测再以原速度去外婆家．图中的线段和折线分别表示小丽和爸爸从自家到外婆家过程中离自家的路程（千米）与离自家时间（分钟）的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． （1）小丽到外婆家的距离是多少千米； （2）爸爸做核酸检测用了多少分钟； （3）如果小丽和爸爸以原速度同时出发，并且爸爸做核酸检测的时间不变，当小丽到了外婆家后发现爸爸还未到，立即返回去接爸爸，4分钟后与爸爸相遇，问：爸爸做完核酸检测后到外婆家的速度是多少km/h． 25. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是____； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 26. 综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． （1）【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； （2）【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； （3）【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市外国语学校2026-2027学年八年级上学期开学考试数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式，单项式与单项式相乘，积的乘方，平方差公式依次计算判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查多项式除以单项式，单项式与单项式相乘，积的乘方，平方差公式，熟练掌握运用各个运算法则是解题关键． 3. 下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1，2， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可． 【详解】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故符合题意； B、32+42＝52，能构成直角三角形，故不符合题意； C、52+122＝132，能构成直角三角形，故不符合题意； D、12+（）2＝22，能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形,解题关键是熟练运用勾股定理逆定理进行判断． 4. 如图，直线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，然后根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天会有太阳 B. 买一张电影票，座位号是偶数号 C. 小丽到达公交车站台时，108路公交车正在驶来 D. 一只袋子中装有3个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件：一定发生的事件，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、明天可能有太阳或没有太阳，是随机事件，故不符合题意； B、买一张电影票，座位号是偶数号或奇数号，是随机事件，故不符合题意； C、小丽到达公交车站台时，108路公交车正在驶来或已驶离，是随机事件，故不符合题意； D、一只袋子中装有3个红球和1个白球，从中摸出2个球，至少有一个红球，即其中有红球，是必然事件，故符合题意； 故选：D． 6. 下列各式中，正确的是（　　） A. ＝4 B. ＝﹣2 C. ＝±4 D. ±＝2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，分别化简四个选项判断正误即可得到答案． 【详解】解：A、=4，正确，该选项符合题意； B、没有意义，该选项不符合题意； C、=4，原计算错误，该选项不符合题意； D、±=±2，原计算错误，该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 7. 如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，构造直角三角形ABC ∵两棵树的高度差为AC=（米），间距为AB=米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC（米）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 8. 如图，为的中线，平分，平分，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合角平分线以及平角，得到，接着证明，进一步证明，，最后利用全等三角形的对应角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：_______1（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 10. 小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是___________． 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】所求的概率等于阴影部分的面积与总面积的商． 【详解】阴影的面积为，总面积为16， 所以飞镖落在阴影区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的应用，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键． 11. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为______，这个正数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和等于0，可得：，据此求出的值是多少，进而求出这个正数是多少即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得， 这个正数是：． 故答案为：，81． 12. 已知，，则的值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，熟练完全平方公式是解题的关键． 由完全平方公式可求得的值，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：13． 13. 如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量，，计算仅仅少走了____________步．(假设米为步) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求出路长，即三角形的斜边长，再求两直角边的和与斜边的差即可求解．正确应用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：，，， ∴， ∴少走的距离是：， ∵米为步， ∴米为步， ∴仅仅少走了步． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ； 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式先去中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据整式的除法法则将原式化简后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，在中，于点D，，，． （1）求的值； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， ∴ 5， ∵， ∴是直角三角形，且． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出． （2）先求出，再利用勾股定理逆定理求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴AD； 【小问2详解】 解：略； 17. 如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA． （1）求证：△AED是等边三角形； （2）若△CDE是直角三角形，求α的度数． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）150°或80° 【解析】 【分析】（1）先根据，，可得，，，得出，由是等边三角形，得出即可； （2）根据是等边三角形，得出，由，∠BDA＝α，可求，，得出．根据是直角三角形，．分两种情况讨论，当时， ，当，，解方程即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵是等边三角形， ∴， ∵，∠BDA＝α， ∴，， ． ∵是直角三角形，． 当时， ， ∴， 当，， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查三角形全等性质，等边三角形判定与性质，周角性质，三角形内角和，直角三角形，分类思想的应用，解一元一次方程，掌握三角形全等性质，等边三角形判定与性质，周角性质，三角形内角和，直角三角形，分类思想的应用，解一元一次方程是解题关键． 18. （1）如图1，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△绕点逆时针旋转90后，得到△，连接. （1）试说明：△≌△； （2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；　 （3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长. 【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130 【解析】 【分析】由 得到 因为所以，可得，即， 从而得到 由△得到，再证明利用勾股定理即可得出结论. 过点作于,根据等腰三角形三线合一得， 或求出的长，即可求得. 【详解】 即 在和中， 设 解得： 故 过点作于,根据等腰三角形三线合一得， 或 或 或 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知：y为实数，且y＜4，则|y－4|－的化简结果为__． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据绝对值和二次根式的性质结合题意化简即可． 【详解】∵y＜4， ∴y-4<0，y-5<0， |y－4|－=4-y-（5-y）=-1， 故答案为-1． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握绝对值和二次根式的性质是解答此题的关键． 20. 如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据勾股定理，求得，接着利用折叠可得，，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】解：， ∴， ∴由翻折得，，， ∴，，， ∴， v即， 解得． 21. 要使多项式为一个完全平方式，则常数________． 【答案】196 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开得出原式=（x2-5x+4）（x2-5x-24）+m，设x2-5x=y，则上式=y2-20y-96+m，再根据完全平方式得出答案即可． 【详解】解：（x-1）（x+3）（x-4）（x-8）+m =（x-1）（x-4）（x+3）（x-8）+m =（x2-5x+4）（x2-5x-24）+m， 把x2-5x看成一个整体，设x2-5x=y， 则上式=（y+4）（y-24）+m =y2-20y-96+m， ∵多项式（x-1）（x+3）（x-4）（x-8）+m为一个完全平方式， ∴-96+m=102， 解得：m=196， 故答案为：196． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则和完全平方式，能选择适当的方法展开是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2-2ab+b2． 22. 如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】由及，得是等边三角形，则，得，设，则，从而求得及，再由，即可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的意义等知识，掌握这些知识是关键． 23. 如图，已知正方形的边长为6，点在上，且，点，分别是边，上的动点（均不与顶点重合），则四边形周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称结合图形周长最小问题，勾股定理，解题的关键是利用轴对称确定动点的位置．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则：，进而得到，进而得到四点共线时，最小，此时四边形周长最小，勾股定理求出的长，再加上的长即可得解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则：， ∴， ∴四点共线时，最小， 此时四边形的周长最小为， ∵正方形的边长为6，， ∴， 由对称性可知：， ∴， ∴， ∴四边形周长最小的最小值为：； 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 小丽和爸爸从自家出发沿相同的路线去外婆家，途中要路过一个核酸检测点，小丽骑车速度为15km/h，小丽比爸爸晚出发5分钟，小丽骑自行车直接去外婆家，爸爸骑摩托车先到核酸检测点做核酸检测再以原速度去外婆家．图中的线段和折线分别表示小丽和爸爸从自家到外婆家过程中离自家的路程（千米）与离自家时间（分钟）的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． （1）小丽到外婆家的距离是多少千米； （2）爸爸做核酸检测用了多少分钟； （3）如果小丽和爸爸以原速度同时出发，并且爸爸做核酸检测的时间不变，当小丽到了外婆家后发现爸爸还未到，立即返回去接爸爸，4分钟后与爸爸相遇，问：爸爸做完核酸检测后到外婆家的速度是多少km/h． 【答案】（1）10km （2）30分钟 （3）37.5km/h 【解析】 【分析】（1）根据小丽的速度和时间计算即可． （2）先求B的横坐标，再求时间． （3）根据路程和速度关系求解． 【小问1详解】 小丽到外婆家的距离： 【小问2详解】 爸爸骑摩托车的速度为： 10÷40=0.25（小时）， 0.25×60=15（分钟）， ∴爸爸做核酸检测的时间为：45-15=30（分钟）． 【小问3详解】 设小丽爸爸核酸检测后骑摩托车的速度为x km/h，小丽骑车到外婆家需要40分钟，再返回接她爸爸用了4分钟，共44分钟． 由题意得： ∴x=37.5． ∴小丽爸爸核酸检测后骑摩托车的速度为37.5km/h． 【点睛】本题考查了函数图象，从图中提取有效信息是求解本题的关键． 25. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是____； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，进而估算出的范围，即可得其整数部分； （2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可； （3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是； 故答案为：，； 【小问2详解】 ， ， 的小数部分为，即， ， ， 的整数部分为，即， ； 【小问3详解】 ， ， ， ，其中是整数，且， ，， ， 的平方根为． 26. 综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． （1）【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； （2）【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； （3）【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 【答案】（1）1.5 （2）2或3 （3） 证明：如图，过点作，交延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与为积等三角形． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中线的性质即可解决问题 （2）证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． （3）过点作，交延长线于点H，先证明，则，，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【小问1详解】 如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与不全等与为积等三角形， ∴．， ∴． 当时，与为积等三角形． 【小问2详解】 如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $