1.2.4绝对值 分层作业 2026-2027学年人教版七年级数学上册_

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“绝对值”知识点，分层设计从基础概念到综合探究，知识巩固路径清晰，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固篇|绝对值定义、性质、基本计算|以选择、填空为主，如数轴距离题（第5题），强化几何直观与抽象能力| |能力提优篇|性质应用、分类讨论、数形结合|含字母绝对值化简（第37题），培养推理意识与运算能力| |压轴拓展篇|跨情境综合应用、规律探究|实际问题统计（第41题）及数轴距离和规律（第42题），发展模型意识与创新意识|

人教版七年级上册 · 1.2.4 绝对值 人教版七年级上册 1.2.4 绝对值 分层作业 · 基础巩固篇 选择题 1.计算 |−12| 的结果是（ ） A．−12 B．12 C．0 D．±12 2.下列关于绝对值的说法正确的是（ ） A．绝对值就是一个数本身 B．绝对值是一个数的相反数 C．绝对值表示数轴上对应点到原点的距离 D．负数的绝对值是正数 3.若 a＞0，则 |−a| 等于（ ） A．−a B．a C．0 D．±a 4.若 |x|＝5，则 x 的值是（ ） A．5 B．−5 C．±5 D．0 5.如图，数轴上 A、B、C、D 四点中，所表示的数的绝对值最小的是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6.某潜水器位于海平面下 36 m，记作 −36 m。它到海平面的距离是（ ） A．−36 m B．36 m C．0 m D．72 m 7.若两个不相等的有理数绝对值相等，则这两个数一定（ ） A．互为相反数 B．同为正数 C．同为负数 D．互为倒数 8.下列各数中，绝对值最小的是（ ） A．−0.7 B． C．− D．0.8 填空题 9．计算：|9|＝________；|−3.4|＝________；| -/|＝________；|0|＝________。 10．若 |a|＝0，则 a＝________。 11.若 |x|＝−2.5，则满足条件的有理数 x ________（填“存在”或“不存在”）。 12.数轴上到原点的距离为 3.5 个单位长度的点所表示的数是________。 13.数轴上点 P 表示 −，则点 P 到原点的距离为________个单位长度。 14．比较大小：| -/| ________ |−0.75 |（填“＞”“＜”或“＝”）。 15.在 −2，−，0，0.4，3 中，绝对值小于 1 的数共有________个。 16.某地四个时刻相对 0℃ 的温度分别为＋5℃、−3℃、−1℃、0℃，其中离 0℃ 最远的温度是________。 解答题 17.求下列各数的绝对值：-15，4.2，-/，0，/。 18.在下面的数轴上表示 -3，-/，0，2，| -/|，并用“＜”把这五个数连接起来。 19.某仓库盘点时，以账面数量为基准，5 类物品的数量偏差分别记为＋4、−2、0、＋1、−5（单位：件）。 （1）分别写出这 5 个偏差的绝对值； （2）哪一类物品的实际数量与账面数量最接近？哪一类偏差最大？ 20.绝对值可以用数轴上的距离来解释。 （1）说明为什么 |−6|＝|6|； （2）若 |a|＝3，请在数轴意义下说明 a 的所有可能取值。 能力提优篇 选择题 21.下列说法中正确的有（ ）个：① |a|≥a；② 若 |a|＝−a，则 a＜0；③ |a|＝0 当且仅当 a＝0；④ |a−b|＝|b−a|。 A．1 B．2 C．3 D．4 22.若 a≠0，且 |a|＋a＝0，则 a 一定是（ ） A．正数 B．负数 C．0 D．非负数 23.已知 a < 0 < b，且 |a| < |b|，则下列结论一定正确的是（ ） A．a＋b＞0 B．a＋b＜0 C．a−b＞0 D．ab＞0 24.若 m 是绝对值最小的有理数，n 是最小的正整数，则 |m−n| 的值为（ ） A．0 B．1 C．−1 D．2 25.若 a < 0，则 |a|＋|−a | 的值等于（ ） A．0 B．2a C．−2a D．−a 26.在 x＝−4，-1，2，5 中，使 |x−1| 的值最小的 x 是（ ） A．−4 B．−1 C．2 D．5 27.数轴上一个点到 -5 与 3 两点的距离相等，则该点表示的数是（ ） A．−4 B．−1 C．1 D．4 28.若 1 < x < 4，则 |x−1|＋|x−4| 的值为（ ） A．2 B．3 C．2x−5 D．5−2x 填空题 29．若 |x＋2|＝5，则 x＝________。 30．已知 -5 < a＜−2，则 |a＋2|−|a＋5|＝________。 31．若 |m−1|＋|n＋3|＝0，则 m＋n＝________。 32．若 |a|＝4，且 |a−2|＝6，则 a＝________。 33.若 x 为整数，且 2 < |x| < 5，则所有符合条件的 x 的和为________。 34.数轴上 A、B 两点表示的数互为相反数，且 AB＝14，则 A、B 两点所表示的数是________。 35.若 |x−2| < 3，且 x 为整数，则 x 的最大值是________。 36.a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则 |a−b|＝________。 解答题 37． 已知 −5＜a＜−3，1＜b＜2，化简：|a＋3|＋|a−b|−|b−2|。 38． 已知 |x|＝3，|y−1|＝2，且 xy＜0。求 x＋y 的所有可能值，并写出分类过程。 39.如图，数轴上点 A、B 分别表示 −7 和 5，点 P 在线段 AB 上，且 PA∶PB＝1∶3。 （1）求点 P 表示的数； （2）点 Q 表示的数与点 P 表示的数互为相反数，求 PQ 的长度。 39． 判断下列说法，并按要求说明理由。 （1）甲同学说：“若 a＜b，则一定有 |a|＜|b|。”若错误，请举反例； （2）乙同学说：“若 a、b 互为相反数，则 |a−b|＝2|a|。”判断是否正确，并说明理由。 压轴拓展篇 综合探究题 40． 【质量检测中的绝对偏差与统计探究】 某实验室检测一批零件，标准长度为 50.00 mm，把“实际长度−标准长度”记为偏差 d（单位：mm）。抽取 12 个零件，记录为： ＋0.18，−0.12，＋0.05，−0.22，0，＋0.31，−0.08，＋0.16，−0.27，＋0.09，−0.14，＋0.24。 规定零件的“绝对偏差”为 |d|。 （1）写出绝对偏差最小和最大的偏差记录； （2）若 A 类为 |d|≤0.10，B 类为 0.10＜|d|≤0.20，C 类为 |d|＞0.20，分别统计三类零件的个数； （3）小亮认为：“偏差为负数的零件一定比偏差为正数的零件误差大。”请从数据中找出一组反例，并说明判断误差大小为什么应比较绝对值； （4）再检测第 13 个零件，其偏差为 x。加入后 A 类零件恰好比原来多 1 个，而 C 类个数不变。写出 x 应满足的条件； （5）若 x 必须是 0.01 mm 的非零整数倍，满足（4）的 x 共有多少种可能？ 42.【数轴距离和的规律、反例与推广】 数轴上有 5 个固定点 A₁、A₂、A₃、A₄、A₅，它们表示的数依次为 −6，−2，0，4，9。动点 P 表示的数为 x，记 P 到这 5 个固定点的距离之和为 S(x)＝|x＋6|＋|x＋2|＋|x|＋|x−4|＋|x−9|。 （1）分别计算 S(0) 和 S(1），比较大小； （2）不逐个代数值试算，判断 S(x) 在什么位置取得最小值，并求出最小值； （3）若去掉点 A₃，只保留表示 −6，−2，4，9 的 4 个点，设距离之和为 T(x）。探究当 −2≤x≤4 时 T(x) 的值有什么特点，并说明理由； （4）有同学猜想：“若有若干个固定点，动点到它们的距离之和最小时，动点一定在这些点所表示数的算术平均数处。”请利用本题中的 5 个固定点判断该猜想是否正确，并用计算构造反例； （5）把固定点推广为按从小到大排列的 n 个点。结合（2）（3）的发现，分别猜想 n 为奇数和 n 为偶数时，距离之和取得最小值的动点位置，并从“左右两侧距离成对变化”的角度说明理由。 参考答案与详解 一、基础巩固篇答案 选择题 1.B.|−12| 表示 −12 到原点的距离，这个距离是 12。 2.C.绝对值的几何意义是数轴上对应点到原点的距离，因此绝对值一定是非负数。 3.B.a＞0，所以 −a＜0，负数的绝对值等于它的相反数，故 |−a|＝a。 4.C.|x|＝5 表示 x 到原点的距离为 5，原点左右各有一个点，所以 x＝5 或 x＝−5，即 x＝±5。 5.B.A、B、C、D 分别表示 −4、−1、2、5，其绝对值依次为 4、1、2、5，最小的是 1。 6.B.−36 只表示方向在海平面下方，距离取非负值，所以到海平面的距离为 |−36|＝36 m。 7.A.绝对值相等表示到原点距离相等；两个数又不相等，因此它们分居原点两侧且关于原点对称，互为相反数。 8.B.四个数的绝对值依次为 0.7、2/3、3/4、0.8。2/3≈0.667，小于 0.7、0.75 和 0.8，因此选 B。 填空题 9.9;3.4;5/6;0.正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 10.0.绝对值表示到原点的距离，只有原点本身到原点的距离为 0。 11.不存在。任何有理数的绝对值都大于或等于 0，不可能等于负数 −2.5。 12.3.5 和 −3.5。数轴上到原点距离相等的两个点关于原点对称。 13.7/4.点 P 到原点的距离等于其所表示数的绝对值，即 |−7/4|＝7/4。 14．>.|−4/5|＝4/5＝0.8，|−0.75|＝0.75，而 0.8＞0.75。 15.3 个。各数的绝对值依次为 2、1/3、0、0.4、3，其中小于 1 的是 −1/3、0、0.4，共 3 个。 16.+5℃.四个温度到 0℃ 的距离分别是 5、3、1、0，最大为 5。 解答题 17．|−15|=15,|4.2|=4.2,|−7/3|=7/3,|0|=0,|5/2|=5/2. 18.先化简 |−5/2|＝5/2＝2.5。数轴上从左到右依次为 −3，−3/2，0，2，5/2，所以 −3＜−3/2＜0＜2＜|−5/2|。 19.（1）5 个偏差的绝对值依次为 4、2、0、1、5。 （2）绝对值越小，实际数量与账面数量越接近，因此偏差为 0 的物品最接近；绝对值最大为 5，因此偏差 −5 的物品偏差最大。 20.（1）−6 与 6 在原点两侧，且到原点的距离都为 6，所以 |−6|＝|6|＝6。 （2）|a|＝3 表示 a 对应的点到原点距离为 3，故该点可以在原点右侧 3 个单位处，也可以在左侧 3 个单位处，所以 a＝3 或 a＝−3。 二、能力提优篇答案 选择题 21.C.①正确，因为 |a|≥0 且当 a≥0 时 |a|＝a、当 a＜0 时 |a|＝−a＞a；②错误，a＝0 时也有 |a|＝−a；③正确；④正确。因此共有 3 个正确。 22.B.|a|＋a＝0 即 |a|＝−a。满足这一等式的 a≤0，又因 a≠0，所以 a＜0。 23.A.a＜0＜b 且 |a|＜|b|，即 −a＜b，所以 a＋b＞0。 24.B.绝对值最小的有理数 m＝0，最小的正整数 n＝1，所以 |m−n|＝|0−1|＝1。 25.C.a＜0，所以 |a|＝−a；同时 −a＞0，所以 |−a|＝−a。因此 |a|＋|−a|＝−a−a＝−2a。 26.C.代入计算：|−4−1|＝5，|−1−1|＝2，|2−1|＝1，|5−1|＝4，最小值在 x＝2 时取得。 27.B.到 −5 与 3 的距离相等的点是两点的中点，表示的数为 (−5＋3)÷2＝−1。 28．B.1＜x＜4 时，x−1＞0，x−4＜0，所以 |x−1|＋|x−4|＝(x−1)+(4−x)=3。 填空题 29.3 或 −7。由 |x＋2|＝5，得 x＋2＝5 或 x＋2＝−5，因此 x＝3 或 x＝−7。 30．−2a−7.由 −5＜a＜−2，得 a＋2＜0，a＋5＞0，所以 |a＋2|−|a＋5|＝−(a＋2)−(a＋5)=−2a−7。 31.−2.两个绝对值都非负，它们的和为 0，只能分别为 0。所以 m−1＝0，n＋3＝0，得 m＝1，n＝−3，m＋n＝−2。 32.−4.由 |a|＝4，先得 a＝4 或 a＝−4。检验第二个条件：a＝4 时 |a−2|＝2，不符合；a＝−4 时 |a−2|＝6，符合，所以 a＝−4。 33.0.2＜|x|＜5 且 x 为整数，所以 x＝−4、−3、3、4。这四个数两两互为相反数，和为 0。 34.−7 和 7。互为相反数的两点关于原点对称，设它们为 −t、t，则距离为 2t＝14，故 t＝7。 35.4.|x−2|＜3 表示 −3＜x−2＜3，即 −1＜x＜5。满足条件的整数最大为 4。 36.1.最大的负整数 a＝−1，绝对值最小的有理数 b＝0，所以 |a−b|＝|−1|＝1。 解答题 37.由 −5＜a＜−3，得 a＋3＜0；由 1＜b＜2，且 a＜−3，可得 a−b＜0、b−2＜0。 因此 |a＋3|＝−a−3，|a−b|＝−a＋b，|b−2|＝2−b。 原式＝(−a−3)+(−a+b)−(2−b)=−2a＋2b−5。 38.由 |x|＝3，得 x＝3 或 −3；由 |y−1|＝2，得 y＝3 或 −1。 又 xy＜0，x、y 必须异号，因此只有两种组合： ① x＝3，y＝−1，x＋y＝2； ② x＝−3，y＝3，x＋y＝0。 所以 x＋y 的所有可能值为 2 或 0。 39.（1）AB＝5−(−7)=12.PA∶PB＝1∶3，所以 PA 占 AB 的 1/4，即 PA＝3。P 在 A 的右侧，因此 P 表示 −7＋3＝−4。 （2）Q 与 P 互为相反数，所以 Q 表示 4。故 PQ＝|4−(−4)|＝8 个单位长度。 40.（1）错误。反例：取 a＝−5，b＝2，则 a＜b，但 |a|＝5＞2＝|b|。所以原数的大小不能直接推出绝对值的大小。 （2）正确。a、b 互为相反数，故 b＝−a。于是 |a−b|＝|a−(−a)|＝|2a|＝2|a|。从数轴看，两点关于原点对称，它们之间的距离正好是任一点到原点距离的 2 倍。 三、压轴拓展篇答案 41.（1）12 个绝对偏差依次为 0.18，0.12，0.05，0.22，0，0.31，0.08，0.16，0.27，0.09，0.14，0.24。最小绝对偏差为 0，对应偏差 0；最大绝对偏差为 0.31，对应偏差 ＋0.31。 （2）A 类：0.05、0、0.08、0.09，共 4 个；B 类：0.18、0.12、0.16、0.14，共 4 个；C 类：0.22、0.31、0.27、0.24，共 4 个。 （3）例如比较 −0.08 与 ＋0.18：虽然 −0.08 是负数，但其绝对偏差 0.08 小于 0.18，因此误差更小。偏差的正负值反映“偏长或偏短”，误差大小应看离标准值的距离，即比较 |d|。 （4）A 类恰好多 1 个，说明新零件必须属于 A 类，即 |x|≤0.10；这时它不属于 C 类，故 C 类个数不变。因此 −0.10≤x≤0.10。 （5）x 是 0.01 mm 的非零整数倍且 |x|≤0.10，可取 ±0.01、±0.02、±0.10，正负各 10 种，共 20 种。 42.（1）S(0)=6+2+0+4+9=21；S(1)=7+3+1+3+8=22，所以 S(0)＜S(1)。 （2）5 个固定点从小到大为 −6、−2、0、4、9，中间点为 0。动点位于 0 时，向任一方向移动，都会使较多一侧的总距离增加，故 S(x) 在 x＝0 处取得最小值，最小值为 21。 （3）当 −2≤x≤4 时，T(x)=(x+6)+(x+2)+(4−x)+(9−x)=21，因此 T(x) 在整个区间 [−2,4] 上恒为 21。几何上，P 在两个中间点之间移动时，到左侧两点的距离增加量与到右侧两点的距离减少量恰好抵消。 （4）5 个点的算术平均数为 (−6−2+0+4+9)÷5=1。若猜想正确，x＝1 应取最小值；但 S(1)=22，而 S(0)=21，所以猜想错误，x＝1 即为本题反例。 （5）一般地，n 为奇数时，在排序后的正中间那个固定点处取得最小值；n 为偶数时，在中间两个固定点之间的整个闭区间上都取得最小值。理由是：在中间位置附近，左右固定点可以成对考虑，动点移动一个单位时，一侧距离增加量与另一侧距离减少量抵消；越过中间位置后，一侧点数占多数，总距离开始增加。 分层作业 学科网（北京）股份有限公司 $