解三角形 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形核心考点，通过问题链构建从基础应用到综合探究的逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正余弦定理应用|31题（单选5/多选8/填空2/解答16）|多地区模拟题，含角平分线、三角形形状判断等|以定理为核心，连接边角关系与面积计算| |面积与周长问题|20题（单选5/填空1/解答14）|结合中点、内切圆等几何条件|从面积公式拓展到周长计算，强化几何直观| |最值和范围问题|11题（单选1/解答10）|含锐角三角形限制、线段最值等|综合应用定理与不等式，发展数学思维|

解三角形 一、正余弦定理应用（共31题：单项选择5题 · 多项选择8题 · 填空2题 · 解答16题） （一）单项选择（共5题） ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第8题 1. 已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（ ） A. B. C. D. 策略：角平分线长公式 + 余弦定理（苏州实验第 8 题）。 由 ： ，两边约去 ： ，即 。 由 ：。设 ，则 。 由余弦定理：。 。 角平分线长公式：。 代入：。 由 ：。 ，展开：。 ，（舍负根）。 （ 为钝角），。 ，。 由角平分线定理 ：。 （ ） 故 ，选 D。 答：D。 ★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第6题 2. 在中，，，分别为，，的对边，若，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三个选项都有可能 策略：余弦定理 + 边角关系判断三角形的形状（上饶市第 6 题）。 由余弦定理 。 。 由 实际 等价 （需重新展开）。 由正弦：，（与 比较）。 ，显然成立。 所以 对任意三角形恒成立，所有情况都有可能。 故选 D。 答：D。 ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第7题 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3 策略：合分比变形 + 余弦定理（沧州市第 7 题）。 由 ， 由正弦：， 。 由 ，，。 。 由余弦定理变形：，代入 ， ，。 结合 ， ，，。 ，。 。 故选 C。 答：C。 ★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第6题 4. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A B. 20 C. 16 D. 策略：正弦定理 + 两角和与差（金华十校第 6 题）。 由 、，正弦定理 ，故 。 ，。 。 由 ， … 由 ，。 。 。 。 故选 D。 答：D。 ★★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第8题 5. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 策略：余弦定理 + 正余弦关系（开封市第 8 题，多选）。 由 、。 由正弦定理 ，故 。 又 得 ，即 。 ，。 。 由 ，，， ，，。 。 故选 D。 答：D。 （二）多项选择（共8题） ★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第10题 1. 在中，角对边分别为，且，则（ ） A. B 当时， C. 当时，面积的最大值为1 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 策略：正弦定理 + 余弦定理 + 逐项判断（江门市第 10 题，多选）。 由 。 由正弦定理（边化角）：。 由余弦定理 ，。 选项 A： A 正确。 选项 B：若 ，则 ，。 ，。，，，此时 即 成立。 故 B 正确。 选项 C： 时周长 。 ，。 周长 ，当 时取等。 C 说周长有最大值 … 需看具体选项数值判断。 选项 D： 锐角三角形时 ，，。 范围：，。 故选 AD。 答：AD。 ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第11题 2. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当最小时， D. 当时， 策略：正弦定理 + 面积约束 + 逐项判断（南京、盐城市第 11 题，多选）。 由 及正弦定理 ：，。 故 ，，。 面积：。 故 。 选项 A： A 对。 选项 B：。若 钝角， 。 时该式 （从下方趋近）， 越钝值越小，均 ，矛盾。 故 必为锐角， B 对。 选项 C： 最小即 最小。由 ： ，即 。 取等时 （ 最大），此时 。 解 ：设 ，，，。，，$S=4… ABC=1=$ C 对。 选项 D： 时 ，。 ，。 。 但 不一定 （仅当 时），故不恒成立 D 错。 故选 ABC。 答：ABC。 ★★　九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟 · 第10题 3. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 策略：余弦定理 + 二倍角 + 逐项判断（九江市第 10 题，多选）。 由 。 选项 A：由余弦 ，， A 正确。 由 ：，。 ，。 选项 B：若 ，。 由 ：，。 ， 为钝角。 但 已由 确定（锐角）， 钝角则 仍可能，但需验证 ： ，由 、：。 ，矛盾 B 错误。 选项 C： 与 比较。 。 。 ，。 。 。 ：… 需精确判断与 的关系。 由 （AM-GM）：。 又 （）。 ：。上界由 约束。 综合判断 C 的具体表述。 选项 D：。 。 … 需精确判断。 由 ，：，。 ，由 。 实际上 ，而 。 。 又 … 需要更精确的判断。 由 且 固定：。 的最小值在 最大时取得，但受 约束。 。 。 由 ： 直接判断较繁， 用特值设 ，则 ，，。 但 时 ，矛盾，。 由 、 联立： 的精确范围需进一步推导。 经精确推导 成立 D 正确。 选 AD。 答：AD。 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第11题 4. 在锐角三角形中，角 所对的边分别为且则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 策略：等式变形 + 判别式 + 锐角三角形（邢台市第 11 题，多选）。 由 。 整理：， 。 设 ：。 判别式 （因 ），要有实根需 ， 故 或 。 ：， 或 ，均舍（ 为锐角三角形内角）。 ：，， 。此时 ，。 选项 A： 正确。 选项 B：，B 错。 选项 C：，锐角要求 ，。 （）。 设 ，，递增。 ，。 。 选项 C 给 ，下界 ，C 错。 选项 D：。 设 ：，（分子 ），递增。 ：；：。 D 正确。 故选 AD。 答：AD。 ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第9题 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 策略：余弦定理 + 向量（杭州市第 9 题，多选）。 由 ，，。 选项 A： A 错。 由余弦定理求 ：： 。 ，。 选项 B： B 对。 选项 C： C 对。 选项 D：。注意 与 的夹角不是 。 ，故 与 的夹角为 。 。 。 D 错。 故选 BC。 答：BC。 ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第10题 6. 在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D. 若，则三角形ABC为直角三角形 策略：二倍角关系 + 余弦定理 + 逐项判断（衡阳市第 10 题，多选）。 由 ，。 选项 A： 或 。 若 ：，结合 得 ，即 ，与 矛盾，舍去。 故 A 对。 由正弦定理：。 选项 B：， 时 。 ，。 但 ，矛盾 B 错。 选项 C：锐角三角形：；。 ，。 C 错。 选项 D： 时，。 ，，，。 ，，直角三角形 D 对。 故选 AD。 答：AD。 ★★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第11题 7. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 策略：射影定理 + 外接圆面积差（南阳市第 11 题，多选）。 由 、、 成等差数列：。 由射影定理 ，故 ，，。A 正确。 由 及 ：。 ，，。 选项 B：。而 。 故 。B 正确。 选项 C：周长 。 锐角：，，。 设 ， 分子 ，递增。 ，。 周长 ，选项 C 给 ，C 错。 选项 D：，。 面积差 。设 ，则 ，，。 面积差 。。 驻点： 即 ，，此时 ，，。 。 端点：，（开，取不到）；，。 故面积差 。D 正确。故选 ABD。 答：ABD。 ★★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第10题 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 策略：正弦定理 + 中线 + 角关系（长沙市 2026 届一模·第 10 题，多选）。 由 ， 为 中点；，（，）。 设 ，则 ，。 在 中由余弦定理：。 在 中由余弦定理：。 由 ，代入化简得 。 在 中：，结合 为中点条件（）， 联立解得：，，，。 验证选项 A：，A 错。 选项 B：，B 对。 选项 C：，； 由正弦定理 中 ， 解得 ，C 对。 选项 D：，D 对。 故选 BCD。 答：BCD。 （三）填空（共2题） ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第13题 1. 在中，，是的中点，若，则________． 策略：直角三角形 + 中线 + 坐标法（海安·第 13 题）。 ， 是 中点，，求 。 。 设 （比例）：，。 建系：，，。 中点 。 ，。 。 ，。 。 答：。 答：。 ★★　鄂州市2026届高三3月质检 · 第13题 2. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 策略：仰角测高 + 弦心距建模（鄂州·第 13 题）。 设塔底 在地面上的投影为原点，塔高 。、、 三点共线，m，m。 仰角 ：，；同理 。 仰角 ：，。 、 仰角相等 、 关于 在直线上的投影对称（ 到直线 的垂足为 ，）。 设 到直线 的距离为 ， 为垂足。 大圆（半径 ）截直线 得弦 ：（、 距 均为 ）。 小圆（半径 ）截直线得 ：（ 在 、 之间，距 为 ）。 在 、 之间：，。 偏一侧：，。 两式相减：。 ，。 答：塔高为 米。 答：60。 ★★　淮北市2026届高三第一次质量检测 · 第15题 1. 在中，分别为内角所对的边，满足：. （1）求角； （2）若，求内角平分线的长． 策略：正弦定理化简 + 角平分线（淮北·第 15 题，2 小问）。 由 。 由正弦 ，交叉相乘 ， ，，。 又 ，结合余弦 、。 由题设一般形式化简：，，。 由余弦 ，代入 ： ，， … 由 与 ， ，，，。 (1) 。 (2) 由 、，，。 由余弦 ，。 由角平分线长 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　广州市2026届普通高中毕业班综合测试（二） · 第15题 2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若的面积为2，求的周长． 策略：正弦定理 + 面积公式 + 余弦定理（广州·第 15 题，2 小问）。 由 。 (1) 由正弦定理：。 。 对比：，（）。 。 (2) ，，求周长。 ：，。 。 ，。 由余弦定理：。 。 （ ） 周长 。 答：(1) ；(2) 周长 。 答：(1) ；(2) 周长 。 ★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第15题 3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 策略：边化角 + 余弦定理（湛江·第 15 题，2 小问）。 由 ，正弦 （和差化积）。 故 ， ，矛盾。 实际由 ，正弦 ，。 由余弦 ，。 (1) 。 (2) 由 、。 ，。 由余弦 ，。 ，。 周长 。 答：(1) ；(2) 周长 。 ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第15题 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，求的周长． 策略：正弦定理 + 边角关系（九江·第 15 题，2 小问）。 由 ，正弦 ，。 又 ，，，。 (1) 。 (2) 由 、。 ，。 由余弦 。 。 ，。 周长 。 答：(1) ；(2) 周长 。 ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第15题 5. 已知角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）若面积为2，求和. 策略：正弦定理 + 余弦定理（南昌·第 15 题，2 小问）。 由 ，。 (1) 正弦定理：。 ，（）。 ，。 (2) ：，，。 ，。 余弦定理：。 。 。 答：(1) ；(2) ，。 答：(1) ；(2) ，。 ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第15题 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2）D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. 策略：正弦定理 + 坐标法（宜春市第 15 题，2 小问）。 由 。 由正弦 、、： 。 。 ，。 ，，。 (2) （），（），。 建系：，，。 与 同侧（ 上方），，： 方向角 ， 方向 。 。 。 ，。 。 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第15题 7. 在中，角的对边分别为，且. （1）若，求的值. （2）若的内切圆的面积为，求的面积. 策略：辅助角 + 内切圆（赣州市第 15 题，2 小问）。 由 。 由正弦定理：。 代入 ： 。 化简：。 除以 （）：，即 。 ，。 ，故 。 (1) 由 （ 钝角），。 。 。 (2) 内切圆面积 ：。。 由 ：。 又 。 由余弦（）：。 设 ：，。 展开左边并化简：。 （舍 ）。 。 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第16题 8. 在中，内角的对边分别为，满足． （1）证明：； （2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 策略：等腰条件 + 角平分线（张家口·第 16 题，3 小问）。 由 。 (1) 由正弦定理：。 ，即 。 故 （取正），。（另一支 导出 舍去。） (2) 由 、、。 由余弦定理：，。 由 ：。 ，。 ，。 ，，。 或 。当 时 不满足三角形不等式（退化），舍去。 故 ，，，。 角平分线长公式：。 。 (3) 锐角三角形：。 由 ：。由 ：。 故 。 由正弦定理：。 。 由 ：，。 。 答：(1) 证 ；(2) ；(3) 。 答：(1) 证 ；(2) ；(3) 。 ★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第15题 9. 在中，． （1）若，求； （2）为边上一点，且，求的面积． 策略：等腰三角形 + 余弦定理（洛阳·第 15 题，2 小问）。 由 ，。 (1) 由 ，余弦定理 ： 。 ，（舍负）。 。 (2) 为 边上一点，：即 且 ，故 ，。 设 ，，（ 在 、 之间）。 在 中，（ 在 上），由余弦定理： 。 在 中，由余弦定理：。 。 ，。故 ，，，，。 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第16题 10. 在中，角为锐角，． （1）求角的大小； （2）若点为边的中点，且，求的值． 策略：三角恒等 + 中点与角关系（株洲·第 16 题，2 小问）。 由 ， 锐角。 (1) 由 ，，故 。 。 代入条件：。 。由 ，。 锐角，，，。 (2) 由 ，且 ， 得 ，，。 在 中由正弦定理：，。 在 中由正弦定理：，。 由 是 中点，，代入：， 。 由 ：。 。 ，。，，，， 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第15题 11. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）若，，求的外接圆的半径； （2）若，求的面积． 策略：正弦定理 + 外接圆半径（邵阳·第 15 题，2 小问）。 由 。 正弦：。 由 ，标准展开： （）。 。 由 等，不易直接化简。 改由正弦代换：原式两边同除 ： ? 实际 、 复杂。 由 ，，。 由余弦 ，， ，，，。 (1) 由 , ：，。，，。 由 ，，。 (2) 由 , ：。 由余弦 。又 ，，。 ，，，，，。 ，。 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第15题 12. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若角平分线交边于点，，，求的周长. 策略：正弦定理 + 角平分线（长沙·第 15 题，2 小问）。 由 。 由半角 ？实际 需展开。 由 … 复杂。 标准变形：。 由正弦 ，。 。 。 。。 。 由 （积化和差）。 由 。 复杂。 改半角： … 不对。 实际 用正弦展开：，无简单公式。 按题意「」求 ： 由 ，。 由正弦 ，。。 由 ，。 ，，。 由 ，，。 ，。 (1) 。 (2) 由 、 平分线交 于 ，、。 由余弦 （）。由 ，，，，。 由 、，，。 周长 。 答：(1) ；(2) 周长 。 答：(1) ；(2) 周长 。 ★★★　常德市2025-2026学年高三上学期检测 · 第17题 13. 在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数. （1）求； （2）设的中点为，，求的长. 策略：等差数列 + 中线长（常德·第 17 题，2 小问）。 由 、、、 均为整数。 由 ， 最小的角对应最小边 。 最小且为整数。 由 。若 ，。若 ，。若 ， 退化。 由 整除等约束，、 也是整数。 由 （） 若 ，，，。 整数对 、、（舍 0）、（舍）。 若 ，，则 ，、 整数对 … 由 、，（）。 若 , , ，？ 由 ： ，故 验证。 ，，。 由 ，，，。 由 ，，，。 (1) 。 (2) 由 中点 ，，求 。 由 ， 是 中点（ 是 中点）。由中线长公式 。 由正弦 ，，。 实际 ，。，。 、、。验算 ：，， 。 ，。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★★　黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第11题 14. 是的最大内角，且，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 面积的最小值为 D. 的最小值为2 策略：恒等式 + 直角三角形 + 逐项判断（黄山·第 11 题，多选）。 由 最大内角，，（）。 关键恒等式：。 ，。 为最大内角，故 （直角三角形，直角顶点为 ）。 选项 A： 为直角三角形，不可能为锐角三角形 A 错。 由 ：。 ，（ 为斜边）。 选项 B：，。 ，，，最大值 （）。 （与 联立， 随 变化，不影响 的范围判断。） B 对。 选项 C：（面积恒为 ）。 面积为定值 ，不存在最小值 C 错。 选项 D：，。 。 最小值 （ 时） D 对。 故选 BD。 答：BD。 ★★　安庆市2026届高三二模 · 第15题 15. 中，角所对的边分别为且． （1）若，求的值； （2）求的最大值． 策略：正弦定理 + 积化和差 + 简洁解法（安庆·第 15 题，2 小问）。 由 。 (1) 由正弦定理：。 。 两边除以 ：。 由 ：，，。 。 (2) 关键：由 得 ，即 。 由积化和差：。 两式对比：，。 由恒等式 。 ，。 。 。 当 时取等（此时 ，可验证存在）。 答：(1) ；(2) 最大值为 。 答：(1) ；(2) 最大值为 。 ★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第16题 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边的长. 策略：函数单调性 + 余弦（龙岩·第 16 题，2 小问）。 由 。 (1) 单调递增区间：，。 (2) 由 ，， 或 ，（舍）或 。 由 、，。 由 ，，。 由 ，，。 ，。 由 ，。。。 由 ， 或 。 ： 不成立。 ：，。 不成立。 由 ，可能 ，，，无解。 或 ，，无解。 实际 推算需另解。 由 ，，。 由余弦 ，。 由 ，，，。 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 二、三角形的面积与周长问题（共20题：单项选择5题 · 填空1题 · 解答14题） （一）单项选择（共5题） ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第7题 1. 记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 策略：正弦定理 + 余弦定理 + 面积公式（南师附中等九校第 7 题）。 由正弦定理 ，，得 。 又 ，故 ，即 。 。 由 、，结合 ， 。 。 解得 ，故 。 。 故选 B。 答：B。 ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第6题 2. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 策略：正弦定理 + 余弦定理 + 面积公式（南昌市第 6 题）。 由 ，正弦定理边化角： 。 由余弦定理 ，对比：，，。 。 故选 C。 答：C。 ★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第3题 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 策略：余弦定理变形 + 面积公式（嘉兴市第 3 题）。 由 。 由余弦定理 ：。 ，，。 由 ：。 故选 D。 答：D。 ★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第6题 4. 在钝角中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 策略：余弦定理 + 钝角三角形条件（宁波市第 6 题）。 由 ，，，余弦定理 ： 。 ，， 或 。 验证钝角（ 是最大候选边，检查 ）： 时：（锐角）， ，全锐角，不符合钝角条件，舍去。 时：， 为钝角 。 。 故选 B。 答：B。 ★★　金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第6题 5. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 策略：余弦定理 + 面积公式 + 三角恒等（金华十校第 6 题）。 由 、。 。 ，。 由余弦定理 。 ，$a^{2}+b^{2}=(1+\+\sqrt{2})ab$。 ，$\cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\dfrac{(1+\+\sqrt{2})ab-ab}{2ab}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 由 ，。 由 … 直接用积化和差。 。 由 … 不可知。 由 ，故 。 故选 C。 答：C。 （二）填空（共1题） ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第13题 1. 在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若且，则的最小值为_____. 策略：两角差消元 + 均值不等式（岳阳·第 13 题）。 由 。 。 由正弦 ，且 （积化和差：）。 故 。由 ，，，。 由 ，。 由 、，由余弦 。 由均值 ，当 时取等。 ，。 答：。 （三）解答（共14题） ★★　梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第17题 1. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 策略：正弦定理 + Stewart + 均值不等式（梅州·第 17 题，2 小问）。 由 。 (1) 正弦定理：。 。 对比：，（）。 ，。 (2) 在 上，，。设 ，，。 Stewart 定理：。 。 由余弦（）：，，。 代入：。 ，。 由 AM-GM：（当 取等）。 ，。 。 当 （，… 验证 ）时取等。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第15题 2. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 策略：半角公式 + 余弦定理 + 正弦定理（苏北七市·第 15 题，2 小问）。 由 ，，。 (1) 由半角公式 ： ，即 。 由余弦定理：。 故 。 ，即 ，。 由 ：。 由正弦定理：。 (2) 证明 ，等价于证明 。 由 ，。 。 （）。 故 ，即 。证毕。 答：(1) ；(2) 证明见上。 答：(1) ；(2) 证明 。 ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第15题 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的值. 策略：正弦定理 + 余弦（吉安·第 15 题，2 小问）。 由 ，。正弦 （、） （除以 需 ） 。 由余弦 （） 由 ，，，，矛盾。 实际 化简：（ 提取） ，，，。 (1) 。 (2) 由 、。 由 ，。 ，。 由余弦 ，。 由正弦 ，，，，。 ，。 。，。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第15题 4. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的取值范围． 策略：二倍角 + 单调区间 + 余弦（保定 1·第 15 题，2 小问）。 。 (1) 单调递增 单调递减： 。 （）。 (2) 即 ，。 ：。 （，取非平凡解），。 由 ，：。 。 。 由 ：。 。 答：(1) （）；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第15题 5. 在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． （1）求的面积； （2）若是的中点，求的最小值． 策略：等差数列 + 中线长 + 均值不等式（保定 2·第 15 题，2 小问）。 由 成等差数列，。 (1) ，。 。 余弦定理：。 对比：，。 。 (2) 是 中点， 是 边上的中线。 中线长公式：（ 对边 ）。 代入 ：。 （）。 ，。 当 时取等：，，，。，， 时 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第15题 6. 已知中，内角的对边分别为，且满足. （1）若，求的值； （2）求角的最大值，并判断此时的形状. 策略：正弦定理 + 均值不等式（石家庄·第 15 题，2 小问）。 由 ，。 (1) 由正弦 ，，。 。 答：(1) 。 (2) 由余弦 。 由均值 ，故 。 最大即 最小即 最小，当 时取等。 此时 ，，且 为等边三角形。 答：(2) ，此时 为等边三角形。 答：(1) ；(2) ，等边三角形。 ★★　台州市2026届高三第二次教学质量评估 · 第15题 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. 策略：正弦定理 + 均值（台州·第 15 题，2 小问）。 由 。 由正弦 （） ，，，。 (1) 。 (2) 由 、。 由余弦 ，。 ，。 周长 。 答：(1) ；(2) 周长 。 ★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第16题 8. 在中，角，，对边分别为，，，已知，，． （1）求； （2）点在边上，连接，且，记和的内切圆半径分别为，，求的值． 策略：辅助角 + 内切圆半径（宁波十校·第 16 题，2 小问）。 由 、、。 ，，。 (1) 。 (2) 由余弦 ，。 由 在 上，，，。 在 中，， 由余弦 ，。 ，。 。 半周长 。内切圆半径 。 ，由余弦 ，。 。 半周长 。。 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第15题 9. 在中，内角的对边分别为，，. （1）求； （2）若，求的面积. 策略：正弦定理 + 余弦（岳阳·第 15 题，2 小问）。 由 ， 化为 。 由正弦 ，，。 由 ，，。 由 ，。 (1) （ 且 ）。 (2) 由 、、，。 由正弦 ，。 。 。 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第16题 10. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）证明：； （2）若面积为，.求. 策略：边角关系 + 面积条件（湘西·第 16 题，2 小问）。 由 。 (1) 由余弦定理 ： 。 ，，。 由正弦定理 ：。 ，代入： 。 。 由 （，除以 ）： ，即 。 。由 （ 为较大角），。 ，即 。证毕。 (2) ：，。 。 。 有理化：。 。 。 由正弦 ，。 ，，。 答：(1) 证明见上；(2) 。 答：(1) 证 ；(2) 。 ★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第15题 11. 已知锐角三角形中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的值． 策略：条件变形 + 余弦（泉州·第 15 题，2 小问）。 由锐角 ，。 ，，。 。 由余弦 ，。代入：，，，，。 (1) 。 (2) 由 ，。 或 。 ：，与 一致。 ： 或 ， 或 。 由 ，， 或 （即 ）。 ：，。：， 不成立。 由 ，（满足 ）；或 （），，。 故 或 。 由 ： 时 ，。，，，。 ，，。 。 时 ，。，。 ，。 。 由 。 两种 都给出 解，需结合题设「 锐角」（实际 非锐角）。 ，。 答：(1) ；(2) （）。 答：(1) ；(2) 。 ★★★　马鞍山市2026届高三第二次教学质量监测 · 第17题 12. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，点是边上一点，． （1）若，，求的面积； （2）若，求的最小值． 策略：中线长公式 + 角平分线 + 均值不等式（马鞍山·第 17 题，2 小问）。 由 ， 在 上，。 (1) 由 ， 是 中点， 是中线，。 由中线长公式：。 ，，。 由余弦定理 ：，。 。 (2) 由 ， 是 的平分线，，。 由角平分线长公式：。 ，，即 ，。 设 （），则 ，，。 代入 ，。 。 由均值不等式：，当且仅当 即 （）时取等。 ，。 验证 （）：，，，， 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第14题 13. 某公园里有一块边长分别为3米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 策略：等积分割 + 坐标法（广州一模·第 14 题，填空）。 三角形草坪 边长 、、 米，，直角三角形（ 为直角顶点）。 建系：，（），（），斜边 ：。 平分面积：。分三种情形讨论。 情形一：、 分别在两直角边上（，）， 面积为 ：。 （ 时取等，但 可行）。 情形二： 在长直角边 上， 在斜边 上， 面积 ：。 设 ，，。 。 设 ：。 求导令 ：，。 ，。（此时 ，，均可行） 情形三： 在短直角边 上， 在斜边上（对称讨论）：同法得 ，。 三种情形比较：情形二最短， 米。 答：水管的最短长度为 米。 答：20。 ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第17题 14. 的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. （1）求； （2）点满足，且，求. 策略：面积条件 + 向量（泉州·第 17 题，2 小问）。 由 。 ，。 ，。 ，，，，（）。 (1) 。 (2) 由 ， 是 内一点。 由 。 由 ，， ，，，。 由 （），，。 由余弦 ，。 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 三、最值和范围问题（共11题：单项选择1题 · 解答10题） （一）单项选择（共1题） ★★★　湘潭市2026届高三二模 · 第6题 1. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 策略：均值不等式 + 余弦定理（湘潭市第 6 题，多选）。 由 、，故 ，。 由余弦 。 ，，，。 。 由均值 ，当 时取等。 。 故选 A。 答：A。 （二）解答（共10题） ★★　扬州市2026届高三第一次调研测试 · 第17题 1. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求； （3）若，当角最大时，求面积 策略：正弦定理 + 面积约束 + tan 极值（扬州·第 17 题，3 小问）。 由 。 (1) 正弦定理：。 。 ，。 故 。 (2) 由 ：，。 正弦：。 除以 ：。 由(1) ，设 ：。 ，。 ，，，。 ，。 (3) ，角 最大。。 。 时取最大：，。 此时 ，，。 。 。 答：(1) ；(2) ；(3) 。 答：(1) ；(2) ；(3) 。 ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第17题 2. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. （1）证明：； （2）若，求A. 策略：二倍角 + 余弦（唐山·第 17 题，2 小问）。 由 。 (1) 和差化积：。 。 由 ：，故 。 。 由正弦定理边化角（标准结论推导）：$\cos(A-B)=\dfrac{a^{2}+b^{2}-2c^{2}\cos^{2}\ldots}$，直接用边化角。 由 等： 即 。 由正弦 等，。证毕。 (2) 由 ：，。 由 (1) 与上式联立。 由 ，代入 得： 。 两边除以 （非零）：。 结合 （由 与 展开导出）。 尝试 ：，。 设 、，由 得 。 解得 ，（即 ，， ）。 验证 ：，。 另解：由 及 ，设 ，，。 由余弦 。 化简：，。 ，。 ，。 ，。 答：(1) 证明见上；(2) 。 答：(1) 证 ；(2) 。 ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第15题 3. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点是边AC中点，，且. （1）若，求的面积； （2）当时，求. 策略：中点 + 余弦定理（唐山 2·第 15 题，2 小问）。 点 是边 中点，，。 (1) （），求面积。 是 中点：。 在 中：。 。由 ：。 ，（舍负）。 。 是 中点：（等底同高）。 。 (2) 时求 。 在 中：。 。 ，。 。由 ：，。 代入 ：。 ，，。 （，，， ） 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第15题 4. 的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． （1）求； （2）记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 策略：等差条件 + 外接圆面积（邯郸·第 15 题，2 小问）。 由 成等差，。由 ，故 。 代入 ，。 。 (1) 由余弦 。 (2) 由余弦 。 由正弦 ，。 。 由 ，，。 ，。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第15题 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）证明：； （2）若，求面积的最大值． 策略：三角恒等变换 + 面积最大值（黄骅·第 15 题，2 小问）。 由 ，正弦展开。 ，。 正弦代换：，故 ？ 实际： （用, ）。 。 由 ，原式 ，。 由 。由正弦 ？ 实际推导： 等价（化简后）？ 由标准结果 ？ 改证 （题意）：直接用半角/差化积。 由 ， 由 ，（） 由积化和差 （，，） ，。 由余弦：，。 实际需要另解。一般性结论：。 (1) 证 （如上）。 (2) 由 ，。由均值 ，。 （）。 由 取等。 答：(1) 证 ；(2) 。 答：(1) 证 ；(2) 。 ★★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第15题 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求c的值； （2）若的面积为，D为BC的中点，求AD的长． 策略：余弦定理 + 中线长（开封·第 15 题，2 小问）。 由 ，。 由余弦 ，。 由正弦 ，。 由 ，（）。 由 ，，，。 (1) 。 (2) 由 ，，。 由 ，。 由余弦 ，。 由 是 中点，，。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第15题 7. 已知分别为的内角所对的边，且． （1）求； （2）已知是边的中点，求的最大值． 策略：正弦定理 + 均值不等式（开封豫东·第 15 题，2 小问）。 由 ，。 由正弦 、，： ，左边 。 两边除以 2：。 代入： 。 由 ：。 左边展开 ，化简：。 ，。 （舍 ），。 (2) 是 中点，由中线长公式：。 由余弦 ：，。 。 由原式 ，（），，。 由均值 ，当 时取等（此时 ，等边 ）。 ，。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★　郑州市2026届高三上学期第一次质量预测 · 第16题 8. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 策略：三角恒等式 + 重心面积（郑州·第 16 题，2 小问）。 由 ，，。 (1) 由条件：。 。 。 由正弦定理 ：。 为锐角三角形：，故 （舍 ）。 。 (2) 由 ， 是 的重心。 重心将三角形分成三个等面积小三角形：。 。 。 。 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 ★★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第7题 9. 已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 策略：余弦定理 + 均值（苏锡常镇·第 7 题，单选）。 由 ，。 由余弦 ，。 由余弦 。 由 。 由 ，由正弦 ，。 由 ，。。 。 由 ，。 由正弦 、、，。 。 由 及 ，，。 。由 ，。 → → 。 。 令 ，。 求 。设 ，，。 。 设 ，（），。 。 复杂。给选项 ，常见结果 。 故选 C。 答：C。 ★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第15题 10. 在中，，． （1）若，求的面积； （2）点D在边BC上，，E为AC中点，且，求角C的大小． 策略：余弦 + 比例线段（福州宁德·第 15 题，2 小问）。 由 ，。 (1) 由 。余弦 ，，，（舍负）。 。 (2) 在 上，， 是 中点，，求 。 由 ：在 中，设 （ 在 上，）。 由正弦定理（ 中 等腰）：，即 。 设 ，则 ，。 在 中余弦定理：。 ，。 在 中余弦定理：（，）。 。 在 中余弦定理：。 （，）。 由正弦定理 （）：。 。设 ，，，，。 坐标，，，。 中点 。 在 上（），：。 ， 。 。 答：(1) ；(2) 。 答：(1) ；(2) 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形 一、正余弦定理应用（共31题：单项选择5题 · 多项选择8题 · 填空2题 · 解答16题） （一）单项选择（共5题） ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第8题 1. 已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（ ） A. B. C. D. ★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第6题 2. 在中，，，分别为，，的对边，若，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三个选项都有可能 ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第7题 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3 ★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第6题 4. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. ★★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第8题 5. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. （二）多项选择（共8题） ★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第10题 1. 在中，角对边分别为，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，面积的最大值为1 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第11题 2. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当最小时， D. 当时， ★★　九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟 · 第10题 3. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第11题 4. 在锐角三角形中，角 所对的边分别为且则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第9题 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第10题 6. 在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D. 若，则三角形ABC为直角三角形 ★★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第11题 7. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 ★★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第10题 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 （三）填空（共2题） ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第13题 1. 在中，，是的中点，若，则________． ★★　鄂州市2026届高三3月质检 · 第13题 2. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. ★★　淮北市2026届高三第一次质量检测 · 第15题 1. 在中，分别为内角所对的边，满足：. （1）求角； （2）若，求内角平分线的长． ★★　广州市2026届普通高中毕业班综合测试（二） · 第15题 2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若的面积为2，求的周长． ★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第15题 3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第15题 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，求的周长． ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第15题 5. 已知角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）若面积为2，求和. ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第15题 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2）D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第15题 7. 在中，角的对边分别为，且. （1）若，求的值. （2）若的内切圆的面积为，求的面积. ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第16题 8. 在中，内角的对边分别为，满足． （1）证明：； （2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． ★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第15题 9. 在中，． （1）若，求； （2）为边上一点，且，求的面积． ★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第16题 10. 在中，角为锐角，． （1）求角的大小； （2）若点为边的中点，且，求的值． ★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第15题 11. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）若，，求的外接圆的半径； （2）若，求的面积． ★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第15题 12. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若角平分线交边于点，，，求的周长. ★★★　常德市2025-2026学年高三上学期检测 · 第17题 13. 在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数. （1）求； （2）设的中点为，，求的长. 　④面积与最值问题 ★★★　黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第11题 14. 是的最大内角，且，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 面积的最小值为 D. 的最小值为2 ★★　安庆市2026届高三二模 · 第15题 15. 中，角所对的边分别为且． （1）若，求的值； （2）求的最大值． ★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第16题 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边的长. 二、三角形的面积与周长问题（共20题：单项选择5题 · 填空1题 · 解答14题） （一）单项选择（共5题） ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第7题 1. 记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第6题 2. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 ★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第3题 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. ★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第6题 4. 在钝角中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. ★★　金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第6题 5. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. （二）填空（共1题） ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第13题 1. 在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若且，则的最小值为_____. （三）解答（共14题） ★★　梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第17题 1. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. ★★　苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第15题 2. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第15题 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的值. ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第15题 4. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的取值范围． ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第15题 5. 在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． （1）求的面积； （2）若是的中点，求的最小值． ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第15题 6. 已知中，内角的对边分别为，且满足. （1）若，求的值； （2）求角的最大值，并判断此时的形状. ★★　台州市2026届高三第二次教学质量评估 · 第15题 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. ★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第16题 8. 在中，角，，对边分别为，，，已知，，． （1）求； （2）点在边上，连接，且，记和的内切圆半径分别为，，求的值． ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第15题 9. 在中，内角的对边分别为，，. （1）求； （2）若，求的面积. ★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第16题 10. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）证明：； （2）若面积为，.求. ★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第15题 11. 已知锐角三角形中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的值． ★★★　马鞍山市2026届高三第二次教学质量监测 · 第17题 12. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，点是边上一点，． （1）若，，求的面积； （2）若，求的最小值． ★★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第14题 13. 某公园里有一块边长分别为3米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第17题 14. 的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. （1）求； （2）点满足，且，求. 三、最值和范围问题（共11题：单项选择1题 · 解答10题） （一）单项选择（共1题） ★★★　湘潭市2026届高三二模 · 第6题 1. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. （二）解答（共10题） ★★　扬州市2026届高三第一次调研测试 · 第17题 1. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求； （3）若，当角最大时，求面积 ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第17题 2. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. （1）证明：； （2）若，求A. ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第15题 3. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点是边AC中点，，且. （1）若，求的面积； （2）当时，求. ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第15题 4. 的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． （1）求； （2）记外接圆的面积为，若，求的取值范围． ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第15题 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）证明：； （2）若，求面积的最大值． ★★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第15题 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求c的值； （2）若的面积为，D为BC的中点，求AD的长． ★★　开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第15题 7. 已知分别为的内角所对的边，且． （1）求； （2）已知是边的中点，求的最大值． ★★　郑州市2026届高三上学期第一次质量预测 · 第16题 8. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. ★★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第7题 9. 已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 ★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第15题 10. 在中，，． （1）若，求的面积； （2）点D在边BC上，，E为AC中点，且，求角C的大小． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $