指数函数与对数函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数核心概念及性质，通过选择、多选、填空、解答题构建“概念生成-性质推导-综合应用”逻辑链条，融入指底对换法则等方法提炼，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|单选1/6/8、多选10/11|奇偶性判断、二分法原理|从函数定义出发，推导定义域、值域、单调性等性质，建立概念间内在联系| |运算应用|单选4/5、填空13|指底对换法则、对数运算技巧|以指数对数互化公式为基础，延伸至方程根关系及数值计算，强化运算推理能力| |综合问题|解答15/19|函数零点求法、不等式求解|整合函数性质与方程思想，通过证明与探究题实现知识迁移，提升综合应用意识|

高中数学人教A版必修一指数函数与对数函数 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A E B B B AD ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】选项A, ,所以选项A正确; 选项B, ,因为不确定,所以等式不恒成立, 选项B错误; 选项C, 当且仅当或,恒成立,根据题干条件无法得到或,所以选项C错误; 选项D,若,则,根据题干条件无法得到恒成立,所以选项D错误. 2．A 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 3．C 【详解】因为， 所以由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 4．A 【详解】因为， 所以． 5．E 【详解】 6．B 【详解】A选项，由，解得，定义域不关于原点对称，故函数不是奇函数； B选项，由，解得，定义域为， ， 又， 所以为奇函数； C选项，定义域为，因为，而，不为奇函数； D选项，对于函数，定义域为， ，且， 所以是偶函数，不是奇函数． 7．B 【分析】利用和作为中间量，比较的大小即可得解. 【详解】函数单调递增，又，所以，即； 函数单调递减，又，所以，即； 函数单调递增，又，所以，即，所以. 8．B 【分析】计算区间两端点处函数值，根据二分法定义判断. 【详解】，， 取区间，，计算， 取区间，计算， 取区间，，计算， 取区间，，因此零点在区间上，因此二分区间至少4次. 9．AD 【详解】∵，∴，∴. 10．ACD 【分析】A.求复合一次函数解析式，采用待定系数法，对比等式两边系数列方程组求解；B.对数函数的值域由真数的取值范围决定，当真数可取全体正实数时，对数值域为； C.抽象函数定义域抓住：括号内整体的取值范围不变；D.复合对数函数单调区间，优先求定义域，再利用 “同增异减”，结合二次函数单调性判断. 【详解】 选项A：设一次函数，则， 与对应系数相等，得，解得或，即或，A正确； 选项B：函数定义域满足，解得或，令， 则的取值范围是，在时值域为，不是，B错误； 选项C：的定义域为，即，得，即的定义域为， 对，需满足，，故的定义域为，C正确； 选项D：函数定义域满足，解得或，令，则是增函数， 根据复合函数“同增异减”，则需找的单调减区间，因为图象开口向上，对称轴为， 结合定义域，则在单调递减，所以函数的单调递减区间是，D正确. 11．ACD 【分析】根据不等式的性质、函数的定义以及对数函数的单调区间逐项判断即可. 【详解】对于A，由于，可知，而，所以，A正确； 对于B，若中有一个为0，那么不等式无意义，B错误； 对于C，函数的定义域为，而的定义域为， 且表达式相同，所以与表示同一个函数，C正确； 对于D，要使函数有意义，则， 即，解得或， 要求的单调递减区间，即求函数的单调递增区间， 根据抛物线的性质可知，的单调递增区间为， 结合对数函数的定义域可得函数的单调减区间为，D正确. 12． 【详解】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 13．4 【分析】将方程问题转化为函数交点问题，借助于反函数的性质即可求出答案. 【详解】分别作出函数的图象，相交于点，可知， 而与互为反函数，直线与直线互相垂直， 所以点与关于直线对称， 因此．所以． 14．/ 【分析】先判断的图象关于成中心对称，再判断函数的单调性，从而可得，结合基本不等式可求最大值. 【详解】因为， 故， 故而知的图象关于成中心对称， 而， 因为为上的增函数，故也为上的增函数， 而为上的增函数，故为上的增函数， 而，故， 故即， 又 当且仅当时上式取等，故的最大值为． 15．(1)因为，且在R上单调递增，所以， 因为，且在R上单调递增，所以， 故． (2) 【详解】（1）略 （2）由，得；由，得， 两式相乘得， 又在R上单调递增，所以． 16．(1)存在，0 (2)存在，1 【详解】（1）令，解得， 所以函数存在零点，且零点为0. （2）当时，令，解得； 当时，令，解得（舍去）， 所以函数存在零点，且零点为1. 17．（1）1；（2）12 【详解】（1）因为，所以. （2）是方程的两个实根， 所以，， 令，原方程为， 所以，是方程的两个根， 所以，， 所以. 18． 【详解】 19．(1)偶函数；对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 即， 所以， 所以函数是偶函数； (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数运算性质证明； （2）分析函数在上的单调性，由偶函数的性质将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）令，由题意可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）偶函数；略； （2）因为， 令，任取、，且，则， ，则， 所以 ，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为外层函数为上的增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，所以， 即，整理可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）函数与图象有个公共点， 由可得， 可得，即， 因为，则， 设，则，又在上单调递增， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，，解得. 即的取值范围为. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一指数函数与对数函数 一、单选题 1．已知，且，则下列式子恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．不存在 4．指底对换法则： ，则． （   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 5．的值为（    ） A． B． C．1 D．2 E．4 6．下列函数中的奇函数是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 8．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．(多选)已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 10．下列说法，正确的有（     ） A．已知是一次函数，若，则的解析式为或 B．函数的值域是 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的单调递减区间是 11．下列命题正确的有（     ） A．若，则 B．若，则 C．与表示同一个函数 D．函数的单调减区间是 三、填空题 12．已知，则不等式的解集为________． 13．设分别是关于的方程和的根，则________． 14．已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 四、解答题 15．已知实数，满足． (1)证明：； (2)求的值． 16．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)； (2). 17．（1）设，求的值； （2） 若是方程的两个实根，求的值. 18． 化简下式：. 19．已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $