第五单元 平行四边形和梯形 单元精品讲义（思维导图+知识点卡+考点讲练+易错专练+分层闯关 共54题）-2026-2027学年数学四年级上册人教版

该小学数学讲义通过单元知识结构图和表格系统梳理平行与垂直、平行四边形与梯形等核心概念，用思维导图呈现四边形关系等知识脉络，突出画垂线、点到直线距离等重难点，构建清晰的空间几何知识体系。 亮点在于“考点讲练+易错专练+分层闯关”三维设计，典例导学通过画长5厘米宽3厘米长方形培养几何直观，易错专练针对“只看眼下没相交判平行”等误区强化推理意识，分层闯关含基础达标10题、能力提升8题、思维拓展4题满足不同学生需求，解析版提供详细步骤，助力教师精准教学与学生自主复习。

人教版（2024新教材）·四年级上册·第五单元 平行四边形和梯形 单元精品讲义 第五单元 平行四边形和梯形 单元精品讲义（思维导图+知识点卡+考点讲练+易错专练+分层闯关 共54题）2026-2027学年四年级数学上册人教版（新教材） 人教版（2024新教材）·四年级上册·第五单元　平行四边形和梯形　｜　单元知识结构 · 知识梳理 · 考点讲练 · 易错专练 · 分层闯关 · 参考答案与解析 资料简介 讲什么：覆盖本单元全部内容——相交与互相平行、互相垂直（垂线、垂足）、画垂线与画平行线、画长方形和正方形、点到直线的距离、平行四边形与梯形的特征、四边形之间的关系与剪拼。 怎么练：6个考点各1道典例导学（题干＋【分析】＋【解答】＋【方法小结】，原卷版正文里就带完整解答）＋3道举一反三，4个易错点各配错例诊断与2道对症专练，再用基础达标10题、能力提升8题、思维拓展4题闯关，全书共54题，每题题号后标出【层级·考点】，另配21幅几何示意图与1幅单元知识结构图。 怎么用：原卷版留足答题与作图空间，可直接打印；解析版逐题给出【答案】【解析】，计算题写完整算式，作图题给出可批改的要点。 人教版·2024新教材 | 单元精品讲义 | 原卷版＋解析版 　单元知识结构图 　目　录 一、知识梳理 2 知识点1　平行与垂直 2 知识点2　画垂线、画平行线和画长方形 3 知识点3　点到直线的距离 3 知识点4　平行四边形 4 知识点5　梯形 5 知识点6　四边形之间的关系 5 二、考点讲练 6 考点1　相交、平行与垂直的判断和符号表示 6 考点2　用三角尺画垂线、画平行线和画长方形 8 考点3　点到直线的距离与“最短”问题 9 考点4　平行四边形的特征与周长 11 考点5　梯形各部分的名称与等腰梯形、直角梯形 12 考点6　四边形之间的关系与图形的剪拼 13 三、易错专练 14 易错点1　只看“眼下没碰上”就判两条直线互相平行 14 易错点2　把“垂线”当成某一条直线单独的名字 15 易错点3　判断等腰梯形时不去比两条腰 16 易错点4　已知平行四边形的周长求邻边，忘了先除以 2 16 四、分层闯关 17 第一关　基础达标（共10题） 17 第二关　能力提升（共8题） 18 第三关　思维拓展（共4题） 21 五、参考答案与解析 21 　一、知识梳理 　知识点1　平行与垂直 核心概念 在同一个平面内，两条直线要么相交，要么永远不相交。永远不相交的两条直线叫作平行线；相交并且交出直角的两条直线互相垂直。 关系式 互相平行：同一平面内＋ 无论怎样延长都没有交点＝ 互相平行，记作a∥b，读作a平行于b 互相垂直：有交点＋ 交出的角是直角＝ 互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b 垂线与垂足：互相垂直时，两条直线互为对方的垂线；相交处的那个点取名叫垂足 判断顺序：先找交点 → 再量交点处的角，垂直是相交里最特殊的一种 典型示例 两条铁轨怎样延长都碰不到一起 → 互相平行 黑板相邻的两条边交出直角 → 互相垂直 易错提醒 直线能向两端无限延伸，只截下来的一小段没碰上，说明不了任何问题。 左：两条直线互相平行；右：两条直线相交成直角，交点 O 是它们的垂足。 　知识点2　画垂线、画平行线和画长方形 核心概念 画垂线靠三角尺上那个现成的直角；画平行线靠三角尺贴着直尺整体移动。两件工具，两套固定动作。 关系式 画垂线四步：直角边压住已知直线 → 整体移动到另一条直角边碰上那个点 → 描线 → 补直角标记 画平行线：三角尺一条边贴住已知直线 → 直尺紧靠三角尺另一条边 → 三角尺沿直尺滑到指定的点 → 画线 画长方形：先画出一个直角 → 在直角的两条边上量出长和宽 → 过两个端点各作一条垂线 → 围起来 画正方形：按长方形的画法做，只是把长和宽量成同样长 典型示例 画长6 cm、宽4 cm的长方形：先画6 cm的一条边，过两个端点各作垂线，各量4 cm后连起来 画边长3 cm的正方形：同样的四步，四条边都量3 cm 易错提醒 画完不补直角标记，别人看不出你画的到底是不是垂线，作图题会被扣分。 　知识点3　点到直线的距离 核心概念 直线外的一点，可以向这条直线连出许多条线段。其中与直线垂直的只有一条，而它偏偏是最短的。把这条线段量一量，量出的长度就取名叫作这点到这条直线的距离。 关系式 垂直线段最短：直线外一点与直线之间连出的线段里，与直线成直角的那一条最短 点到直线的距离＝ 那条垂直线段的长度（量斜着的连线都会量大） 平行线之间：两端分别落在两条平行线上、又与它们垂直的线段，量出来一样长 由垂直推平行：都与同一条直线垂直的两条直线互相平行；都与同一条直线平行的两条直线也互相平行 典型示例 过马路时沿垂直于马路的方向走，走的路最少 两条互相平行的车道之间，处处宽窄相同 易错提醒 求最短路线、最近距离时随手画一条斜的连线，量出的结果一定偏大。 从点 P 向直线 m 画了三条线段，中间那条（带颜色、垂足处标着直角的）与 m 垂直，也最短。 　知识点4　平行四边形 核心概念 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。它的对边相等，对角也相等。 关系式 认定条件：两组对边都平行＝ 平行四边形（缺一组就不是） 边：AB ＝ DC，AD ＝ BC（对边相等，邻边不一定相等） 角：把四个角依次记作∠1、∠2、∠3、∠4，则∠1 ＝ ∠3，∠2 ＝ ∠4（对角相等） 周长＝（一组邻边的和）× 2；反过来，一组邻边的和＝ 周长÷ 2 典型示例 邻边9 cm和6 cm：周长＝（9 ＋ 6）× 2 ＝ 30（cm） 周长30 cm、一条边9 cm：邻边＝ 30 ÷ 2 － 9 ＝ 6（cm） 易错提醒 平行四边形只保证对边相等，四条边并不都一样长。 平行四边形 ABCD：AB 与 DC 互相平行，AD 与 BC 互相平行；对边相等，∠1 与 ∠3 相等，∠2 与 ∠4 相等。 　知识点5　梯形 核心概念 只有一组对边平行的四边形叫作梯形。互相平行的那一组对边取名上底和下底，剩下不平行的一组对边取名腰。 关系式 认定条件：一组对边平行＋ 另一组对边不平行＝ 梯形 取名规则：平行的一组 → 上底和下底；不平行的一组 → 两条腰 等腰梯形：两条腰一样长的梯形，它的两个底角也一样大 直角梯形：有直角的梯形；这时总有一条腰同时与上底、下底垂直 周长＝ 上底＋ 下底＋ 腰＋ 腰 典型示例 上底5 cm、下底8 cm、两腰都是4 cm：周长＝ 5 ＋ 8 ＋ 4 ＋ 4 ＝ 21（cm） 一条腰与两条底都垂直 → 直角梯形 易错提醒 等腰只管两条腰是不是一样长，跟两条底相差多少毫无关系。 梯形：互相平行的一组对边是上底和下底，不平行的一组对边是腰。 　知识点6　四边形之间的关系 核心概念 把四边形按对边是否平行分类：两组对边分别平行的归入平行四边形，只有一组对边平行的归入梯形，两组对边都不平行的是一般的四边形。 关系式 分类标准只看一条：平行的对边有几组 按这个标准，长方形、正方形都归在平行四边形这一类里 梯形与平行四边形并列，互不包含 等腰梯形、直角梯形是梯形里两个更小的类 典型示例 范围从大到小：四边形 ＞ 平行四边形 ＞ 长方形 ＞ 正方形 两条底平行、两条腰不平行 → 归入梯形，不再归入平行四边形 易错提醒 包含关系是单向的：小类里的图形一定属于大类，大类里的图形不一定属于小类。 四边形按对边是否平行分类：平行四边形与梯形并列；长方形在平行四边形里面，正方形又在长方形里面；直角梯形、等腰梯形都在梯形里面。 　二、考点讲练 　考点1　相交、平行与垂直的判断和符号表示 【典例导学】 1．（填空）【基础·平行与垂直的判断】下图是画在方格纸上的四边形ABCD。看图填空：①AD与BC这一组对边的位置关系是互相（　　），用符号写出来是（　　）；②AB与AD相交成直角，用符号写出来是（　　）；③AB与AD的交点A叫作（　　）。 【分析】方格纸上判断两条边的位置关系，先比方向：方向相同的一组对边不会相交；再看交角：交出直角的两条边互相垂直。 【解答】①AD与BC都沿着方格的横线方向，向两端怎样延长都碰不到一起，所以互相平行，记作AD∥BC。②AB沿方格竖线方向，与AD交出的角是直角，所以互相垂直，记作AB⊥AD。③互相垂直的两条边的交点有专门的名称，这里的交点是A，它就是垂足。 【方法小结】∥ 表示平行、⊥ 表示垂直；在方格纸上先比方向定平行，再看交角定垂直，最后按“前一条＋符号＋后一条”的顺序写记法。（下图供对照） 画在方格纸上的四边形 ABCD。 【答案】①平行；AD∥BC　②AB⊥AD　③垂足 【解析】AD与BC沿同一方向，向两端延长都不相交，故AD∥BC；AB与AD交成直角，故AB⊥AD；交点A就是垂足。 【举一反三】 2．（填空）【基础·平行的符号记法】在同一个平面内，直线m与直线n无论向两端怎样延长都碰不到一起，那么m与n互相（　　），可以记作（　　），读作（　　）。 3．（判断）【基础·垂直与四个角】两条直线相交，交点处会出现4个角。只要量出其中的一个角是90°，另外三个角也都是90°。（　　） 两条直线相交，交点处有 4 个角；量得 ∠1 是直角（图中已标出直角标记）。 4．（选择）【提升·位置关系的辨析】下面四句话说的都是同一个平面内的两条直线，其中正确的是（　　）。 A．同一个平面内的两条直线，不是相交就是互相垂直 B．两条直线只要相交，就一定互相垂直 C．两条直线互相垂直时，它们一定有一个交点 D．互相平行的两条直线，延长以后可以交于一点 　考点2　用三角尺画垂线、画平行线和画长方形 【典例导学】 5．（解决问题）【基础·画垂线与画平行线】下图的方格纸上画着直线a和直线外的点P。请用三角尺完成两件事：①过点P画出直线a的垂线，把交点记作O，并在交点处标上直角标记；②过点P再画一条直线n，使n与直线a怎样延长都不相交，并在n旁边用符号写出n与a的位置关系。 【分析】①画垂线，用三角尺上现成的直角；②画平行线，靠三角尺贴着直尺整体移动。 【解答】①三角尺的一条直角边与a重合，移动到另一条直角边经过点P，沿边画线，交点记作O，补上直角标记。②三角尺一条边贴住a，直尺紧靠三角尺的另一条边，三角尺沿直尺滑到经过点P，沿边画出直线n，旁边写上n∥a。 【方法小结】画垂线取三角尺的直角，画完补直角标记；画平行线让三角尺沿直尺移动，画完写出 ∥ 记法，两套动作不能互换。（下图供对照，可照着画一遍） 直线 a 和它外面的点 P（在图上直接画）。 【答案】①经过点P的那条线与a交成直角，交点记作O并画有直角标记；②经过点P的直线n与a之间间隔处处相同，旁边写着n∥a。 【解析】①三角尺的直角边贴住a，移到另一条直角边过点P后画线，补直角标记；②三角尺贴住a、直尺顶住三角尺，滑到过点P后画线，记作n∥a。 【举一反三】 6．（填空）【基础·画垂线的第一步】过直线外一点画这条直线的垂线时，先让三角尺的一条直角边与已知直线（　　），再移动三角尺，使另一条直角边正好经过这一点，然后沿着这条边画线。 7．（选择）【提升·过一点画平行线的条数】在直线a外面点了一个点A，要画一条经过A又与a互相平行的直线，能画出的这样的直线（　　）。 A．只能画1条 B．可以画2条 C．可以画无数条 D．一条也画不出来 8．（解决问题）【提升·画指定长宽的长方形】用三角尺和直尺在下面的空白处画一个长5厘米、宽3厘米的长方形，画好以后在它的一个顶点处标上直角标记。 　考点3　点到直线的距离与“最短”问题 【典例导学】 9．（解决问题）【基础·最短路线与距离】下图中直线m表示一条笔直的铁路，点B表示阳光村。现在要从阳光村铺一条最短的小路，通到铁路边上。①在图中画出这条小路，并在它与铁路相交的地方标上直角标记；②这条小路的长度，在数学上有一个专门的名称，是什么？ 【分析】从点B向m能画很多条线段，只有与m垂直的那一条最短，“最短”两个字就定下了画法。 【解答】①三角尺的一条直角边与铁路m重合，移动到另一条直角边经过点B，沿边画到m上，得到的线段就是最短的小路，垂足处补上直角标记。②这条垂直线段的长度，叫作点B到直线m的距离。 【方法小结】问“最近”“最短”，答案都落在那条垂直线段上；量出它的长度就是点到直线的距离。（下图供对照，可照着画一遍） 铁路 m 与阳光村 B 的位置（在图上直接画）。 【答案】①图中从点B向铁路m画出的那条与m垂直的线段，垂足处标着直角标记；②它的长度叫作点B到直线m的距离。 【解析】从点B向m画出的线段中，与m垂直的那条最短，画出它并在垂足补直角标记；它的长度就是点B到直线m的距离。 【举一反三】 10．（判断）【基础·距离的量法】体育课上测跳远成绩，只要从落点向起跳线随便量一量，量出多少就算多少。（　　） 11．（选择）【提升·平行线间的垂直线段】如图，直线a与直线b互相平行，①②③是从直线a上的三个点分别向直线b画出的垂直线段。关于它们的长短，下面说法正确的是（　　）。 A．①最长　　B．③最长　　C．长短无法比较　　D．①②③一样长 直线 a 与直线 b 互相平行，①②③都与它们垂直。 12．（解决问题）【提升·比较两点到直线的距离】小敏家和小杰家都在同一条笔直的公路旁边。工人师傅从小敏家门口向公路量了两条线段，长分别是52米和40米，其中与公路垂直的是40米的那一条；从小杰家门口向公路垂直地量，量得65米。（1）小敏家到这条公路的距离是多少米？（2）谁家离这条公路近一些？近多少米？ 小敏家、小杰家与同一条笔直公路的位置（带颜色的两条线段与公路垂直）。 　考点4　平行四边形的特征与周长 【典例导学】 13．（填空）【基础·平行四边形的边与角】一块平行四边形的地砖EFGH（见下图），四条边合起来长56厘米，其中EF边长17厘米，∠1 ＝ 65°。那么与EF相邻的FG边长（　　）厘米，∠3是（　　）°。 【分析】平行四边形的对边相等，四条边合起来的长里正好装着两条EF和两条FG，先求一组邻边的和，再减去EF；∠1与∠3是一组对角，用对角相等直接得到。 【解答】一组邻边的和：56 ÷ 2 ＝ 28（厘米）；FG边长：28 － 17 ＝ 11（厘米）。∠1与∠3是一组对角，平行四边形的对角相等，所以∠3 ＝ 65°。答：FG边长11厘米，∠3是65°。 【方法小结】由四条边的总长求一条边，第一步永远是先除以2求出一组邻边的和；求角就先认清是不是一组对角。 平行四边形的地砖 EFGH：EF 边长 17 厘米，∠1 ＝ 65°，FG 边长待求。 【答案】11；65 【解析】56 ÷ 2 ＝ 28（厘米），28 － 17 ＝ 11（厘米）；∠1与∠3是一组对角，对角相等，所以∠3 ＝ 65°。 【举一反三】 14．（填空）【基础·对边相等与对角相等】一个平行四边形的四个顶点依次是A、B、C、D，四个角依次记作∠1、∠2、∠3、∠4。四条边中与AB长度相等的是（　　）边；四个角中与∠2度数相等的是（　　）。 15．（判断）【基础·对边互相平行】把平行四边形的一组对边分别向两端延长，它们仍然碰不到一起。（　　） 16．（选择）【提升·由对角相等作判断】在一个平行四边形中，∠1与∠3是一组对角。已知∠1 ＝ 120°，根据“平行四边形的对角相等”，下面说法正确的是（　　）。 A．∠3 ＝ 60° B．∠3 ＝ 120° C．∠3比∠1大60° D．∠1与∠3的度数和是180° 　考点5　梯形各部分的名称与等腰梯形、直角梯形 【典例导学】 17．（填空）【基础·梯形的识别与命名】下图是画在方格纸上的三个四边形。（1）其中是梯形的有（　　）（填序号）。（2）图形①中互相平行的一组对边分别叫作它的（　　）和（　　），不平行的一组对边叫作（　　）。（3）图形②左边那条腰同时与上底、下底垂直，它是（　　）梯形。 【分析】认梯形只数一件事：互相平行的对边有几组。恰好一组的是梯形，两组都平行的是平行四边形。 【解答】（1）①②都只有上下一组对边互相平行，是梯形；③两组对边都平行，是平行四边形，所以是梯形的有①②。（2）互相平行的一组对边叫上底和下底，不平行的一组叫腰。（3）②左边那条腰同时与上底、下底垂直，出现了直角，是直角梯形。 【方法小结】先数平行的对边组数定类别，再按“平行的叫底、不平行的叫腰”取名；上底下底只认平行，不认画在上面还是下面。（下图供对照） 画在方格纸上的三个四边形①②③。 【答案】（1）①②　（2）上底；下底；腰　（3）直角 【解析】①②各只有一组对边平行，是梯形；③两组对边都平行，是平行四边形。平行的一组对边叫上底和下底，另一组叫腰；②中有腰与两条底垂直，是直角梯形。 【举一反三】 18．（计算）【基础·梯形的周长】王师傅要做一个梯形的木框，它的两条底边分别长8分米和14分米，两条腰同样长，各是7分米。做这个木框一共要用多长的木条？ 19．（判断）【提升·直角梯形的前提】一个四边形里只要出现了直角，它就一定是直角梯形。（　　） 20．（选择）【提升·梯形特征的辨析】关于梯形，下面的判断正确的是（　　）。 A．梯形的两条腰一定相等 B．梯形的四条边一定都不相等 C．直角梯形中只有一个角是直角 D．一个梯形的两条腰可能相等，也可能不相等 　考点6　四边形之间的关系与图形的剪拼 【典例导学】 21．（解决问题）【基础·在图形里画线段分割】下图中左边是一个平行四边形，右边是一个梯形，梯形的上底4厘米、下底8厘米、左边那条腰长5厘米。（1）在平行四边形里画一条线段，把它分成两个平行四边形；（2）在梯形里画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形，并写出分出的这个平行四边形相邻两条边各长多少厘米。 【分析】想分出平行四边形，就要凑齐“两组对边分别平行”：所画线段必须与原图形的某条边平行。 【解答】（1）在上面那条边上任取一点，画一条与左右两条边平行的线段到下面那条边上；分成的两块上下、左右两组对边都分别平行，都是平行四边形。（2）从上底右端点画一条与左腰平行的线段到下底上：靠左的一块两组对边分别平行，是平行四边形；靠右的一块只有三条边，是三角形。这个平行四边形的相邻两条边，一条是上底4厘米，另一条与左腰平行且相等，是5厘米。答：分别长4厘米和5厘米。 【方法小结】分割题只盯一句话——所画线段与谁平行：与一组对边平行就多一组平行对边，得到平行四边形；与谁都不平行，就只剩一组平行对边，得到梯形。（下图供对照，可照着画一遍） 左边是一个平行四边形，右边是一个梯形（在图上直接画线段）。 【答案】（1）所画线段与左右两条边平行，分成的两块都是平行四边形；（2）从上底右端点画一条与左腰平行的线段到下底上，分出的平行四边形相邻两条边分别长4厘米和5厘米。 【解析】（1）所画线段与左右两条边平行时，两块都凑齐了两组平行的对边；（2）从上底右端点画一条与左腰平行的线段，分出的平行四边形的邻边就是上底4厘米与左腰5厘米。 【举一反三】 22．（判断）【基础·梯形的判定边界】只要在一个四边形中能找出互相平行的一组对边，这个四边形就一定是梯形。（　　） 23．（选择）【提升·四边形的归类】在下面4句关于图形归类的话里，说错了的一句是（　　）。 A．正方形一定是长方形 B．平行四边形一定是长方形 C．长方形一定是平行四边形 D．正方形一定是平行四边形 24．（解决问题）【提升·长方形剪一刀】把一张长方形纸剪一刀，剪痕从一个顶点出发，一直剪到与这个顶点不相邻的一条边上（落点不是顶点）。剪成的两个图形分别是什么图形？ 　三、易错专练 　易错点1　只看“眼下没碰上”就判两条直线互相平行 【错例诊断】 原　题　如图，在同一个平面内画着两条直线a和b，图上画出的这两段没有碰到一起。a与b互相平行吗？ 同一个平面内的两条直线 a 和 b，图上画出的这两段没有碰到一起。 常见错解（错误示例）　有同学看到图上两条线没有碰在一起，就写下“a与b互相平行”。 错在哪里　直线可以向两端无限延伸，画在纸上的只是它的一段。把a和b都向两端画长以后，它们就交到了一起，说明这两条直线并不平行。 正确解答　先把两条直线分别向两端画长，再看有没有交点：画长以后交到一起的，是相交的两条直线；画长以后仍然碰不上的，才是互相平行。图中a与b画长后相交，所以它们不平行。 【对症专练】 25．（填空）【基础·平行的判断方法】小华在纸上画了两条直线，画出来的这两段没有碰在一起。要弄清它们到底是不是互相平行，他应该先把这两条直线分别向两端（　　），再看它们有没有（　　）。 26．（解决问题）【提升·画平行线与相交线】如图，方格纸上画着直线a。（1）再画一条直线b，使b与a互相平行；（2）另画一条直线c，使c与a相交，但不垂直。 方格纸上的直线 a（在图上直接画 b 和 c）。 　易错点2　把“垂线”当成某一条直线单独的名字 【错例诊断】 原　题　直线m与直线n相交成直角。怎样说明直线m的位置关系才算准确？ 常见错解（错误示例）　有同学在本子上记下“直线m是垂线”，把“垂线”当成了直线m单独的名字。 错在哪里　垂线讲的是两条直线之间的关系，不是一条直线自己的名字。离开了“另一条直线”，垂线两个字就没有着落了。 正确解答　应该说：直线m是直线n的垂线，同时直线n也是直线m的垂线，可以记作m⊥n；它们的交点叫作垂足。 【对症专练】 27．（填空）【基础·垂线与垂足】直线m与直线n互相垂直。填一填：m是n的（　　），n也是m的（　　），它们的交点叫作（　　）。 28．（选择）【提升·垂线概念的辨析】关于垂线和垂足，下面的说法正确的是（　　）。 A．一条直线可以单独叫作垂线 B．两条直线互相垂直时，只有其中一条是另一条的垂线 C．两条直线互相垂直时，它们的交点叫作垂足 D．两条直线的交点都可以叫作垂足 　易错点3　判断等腰梯形时不去比两条腰 【错例诊断】 原　题　一个梯形的上底是5厘米，下底是9厘米，两条腰分别是6厘米和4厘米。它是等腰梯形吗？ 常见错解（错误示例）　有同学看到这个梯形画出来左右看着差不多，就写下“它是等腰梯形”。 错在哪里　等腰梯形的条件是两条腰一样长，跟两条底相差多少、画出来像不像对称都没有关系。这个梯形的两条腰是6厘米和4厘米，并不一样长。 正确解答　判断时只把两条腰拿来比：6厘米与4厘米不相等，所以它是一个普通的梯形，不是等腰梯形。 【对症专练】 29．（判断）【基础·等腰梯形的判定】只要梯形的两条腰看上去差不多长，就可以判定它是等腰梯形。（　　） 30．（计算）【提升·由周长求梯形的腰】小张用一条40厘米长的丝带，正好沿着一张等腰梯形卡片的边围了一圈。已知这张卡片互相平行的两条边分别是7厘米和13厘米，它的一条腰长多少厘米？ 　易错点4　已知平行四边形的周长求邻边，忘了先除以 2 【错例诊断】 原　题　一个平行四边形的周长是46厘米，其中一条边长15厘米。与这条边相邻的另一条边长多少厘米？ 常见错解（错误示例）　有同学直接用周长减去已知的那条边，写下“另一条边长31厘米”。 错在哪里　平行四边形有四条边，两组对边分别相等，周长里装着两条15厘米的边和两条要求的边。用周长减去一条边，减掉的只是四条边中的一条，剩下的是另外三条边的和，并不是一条边的长度。 正确解答　先求一组邻边的和：46 ÷ 2 ＝ 23（厘米）；再减去已知的那条边：23 － 15 ＝ 8（厘米）。与它相邻的另一条边长8厘米。 【对症专练】 31．（填空）【基础·由周长求邻边】小明沿着一块平行四边形空地的边走了整整一圈，一共走了64米。这块空地相邻两条边中，长的一条是19米，短的一条长（　　）米。 32．（判断）【提升·周长与邻边的关系】小周给一块平行四边形的展板包边框，用去80分米铝条正好围满一圈。量得展板较长的一条边是30分米，那么较短的一条边是10分米。（　　） 　四、分层闯关 　第一关　基础达标（共10题） 33．（填空）【基础·生活中的平行与垂直】钢琴上一排琴键的上下两条边，无论怎样延长都碰不到一起，它们互相（　　）；黑板相邻的两条边交出直角，它们互相（　　）。 34．（填空）【基础·垂直的记法与垂足】直线AB与直线CD相交于点O，交点处的一个角是直角。AB与CD的位置关系可以记作（　　），点O叫作（　　）。 35．（填空）【基础·图形之间的包含关系】正方形比长方形多了“四条边都相等”这一条，所以正方形是特殊的长方形；而长方形的两组对边分别互相平行，所以长方形又是特殊的（　　）。（填一种图形的名称） 36．（填空）【基础·点到直线的距离】小刚要从家门口走到笔直的马路边，他沿着与马路（　　）的方向走，路最近；这段路的长就是他家到马路的（　　）。 37．（判断）【基础·长方形的边】一个长方形里，既有互相垂直的边，也有互相平行的边。（　　） 38．（判断）【基础·由垂直推平行】在同一个平面内，直线a与直线c互相垂直，直线b与直线c也互相垂直，那么a与b互相垂直。（　　） 39．（选择）【基础·平行现象的辨认】生活里有许多平行与垂直的现象。下面四种里，两条线互相平行的是（　　）。 A．张开的剪刀的两个刀刃 B．铁路上的两条钢轨 C．钟面上3时的时针和分针 D．红领巾相邻的两条边 40．（选择）【基础·平行四边形的范围】下面四个图形里，有一个不能归入平行四边形这一类，它是（　　）。 A．等腰梯形　　B．长方形　　C．正方形　　D．推斜以后的长方形 41．（计算）【基础·两种图形的周长比较】用同样粗的铁丝围两个图形：围平行四边形时，两条邻边分别用去24厘米和16厘米；围梯形时，四条边依次用去24厘米、16厘米、9厘米和11厘米。围这两个图形用的铁丝相差多少厘米？ 42．（计算）【基础·周长与余料】小明有一根长1米的铁丝，他剪下一段正好围成一个平行四边形，这个平行四边形相邻两条边分别长32厘米和13厘米。剩下的铁丝还有多长？ 　第二关　能力提升（共8题） 43．（解决问题）【提升·画垂线并量距离】如图，方格纸上画着直线c和它外面的点M、点N（每小格的边长表示1厘米）。（1）分别过点M、点N画出直线c的垂线，并在垂足处标上直角标记；（2）量一量或数一数，点M到直线c的距离是几厘米？点N到直线c的距离呢？ 直线 c 和它外面的点 M、点 N，每小格的边长表示 1 厘米（本图按 1∶1 印制）。 44．（解决问题）【提升·平行线间线段的长度】如图，两条互相平行的直线a、b之间画着三条垂直线段AA′、BB′、CC′。方格纸上每小格的边长表示5毫米，AA′ 正好跨过4格。（1）AA′ 长多少毫米？（2）BB′ 和CC′ 各长多少毫米？ 直线 a 与直线 b 互相平行，每小格的边长表示 5 毫米。 45．（解决问题）【提升·两条线分割长方形】小林在一张长方形的卡纸上横着画一条线、竖着画一条线，两条线互相垂直，并且都把卡纸从一边通到另一边。（1）这两条线把卡纸分成了几块？（2）每一块分别是什么图形？ 46．（解决问题）【提升·画两组平行线围图形】如图，直线EF与直线GH相交于点O，点K在这两条直线外面。（1）过点K分别画出EF的平行线和GH的平行线；（2）新画的两条线与EF、GH围成一个四边形，这个四边形一定是什么图形？它的两组对边各有什么共同的特点？ 直线 EF 与直线 GH 相交于点 O，点 K 在这两条直线外面。 47．（解决问题）【提升·纸条重叠部分的形状】如图，小林把两条纸条斜着交叉搭在桌面上，每条纸条的两条长边都互相平行，中间重叠的部分是一个四边形。（1）重叠的部分一定是什么图形？（2）如果转动其中一条纸条，使两条纸条交成直角，重叠的部分又一定是什么图形？ 纸条①与纸条②交叉搭在一起，中间重叠的部分是一个四边形。 48．（解决问题）【提升·分割后图形的判断】如图，在平行四边形ABCD中画了一条线段EF，点E在AD上，点F在BC上，EF与AB不平行。（1）四边形ABFE和四边形EFCD各是什么图形？（2）如果把线段EF改画成与AB平行（E、F仍分别在AD、BC上），这两个四边形又分别变成什么图形？ 平行四边形 ABCD 中画了一条线段 EF，E 在 AD 上，F 在 BC 上。 49．（解决问题）【提升·由特征说出图形名称】有一个四边形，量得它只有一组对边互相平行。（1）它是什么图形？（2）如果它其中一条不平行的边与那组平行的对边都垂直，它又是什么图形？ 50．（解决问题）【提升·周长与总价】妈妈用花边沿着一块平行四边形桌布的边围了一圈。这块桌布相邻两条边分别长120厘米和80厘米，花边每米售价3元。（1）围一圈用了多少厘米花边？合多少米？（2）买这些花边一共要花多少钱？ 　第三关　思维拓展（共4题） 51．（解决问题）【拓展·四边形四个角的度数和】小丽画了形状很不一样的三个四边形，量出它们的四个角：第一个是85°、100°、75°和100°；第二个是60°、120°、110°和70°；第三个是90°、90°、90°和90°。（1）分别算出这三个四边形四个角的度数和。（2）填一填：任意一个四边形，四个角的度数和都是（　　）°。（3）她又画了一个四边形，量出其中三个角分别是55°、130°和90°，第四个角是多少度？ 52．（解决问题）【拓展·拼成图形的周长】把两个完全相同的等腰梯形沿着一条腰拼在一起，正好拼成一个平行四边形。已知每个等腰梯形的上底是6厘米、下底是10厘米，腰长5厘米。拼成的这个平行四边形的周长是多少厘米？ 53．（解决问题）【拓展·已知和与差求邻边】把一根72厘米长的细绳不剪断，正好绕着一块平行四边形木板的边贴了一圈。木板相邻两条边中，长的那条比短的那条多6厘米。这两条边分别是多少厘米？ 54．（解决问题）【拓展·四边形的分类整理】下面是5个四边形：①长方形　②正方形　③直角梯形　④等腰梯形　⑤两组对边分别互相平行、四个角都不是直角的四边形。（1）其中属于平行四边形的有哪几个？（2）属于梯形的有哪几个？（3）如果把平行四边形看作一个大类，①②⑤都在这个大类里，那么③④在不在这个大类里？在括号里填“在”或“不在”：（　　）。 　五、参考答案与解析 1．【答案】①平行；AD∥BC　②AB⊥AD　③垂足 【解析】AD与BC沿同一方向，向两端延长都不相交，故AD∥BC；AB与AD交成直角，故AB⊥AD；交点A就是垂足。 2．【答案】平行；m∥n；m平行于n 【解析】同一个平面内、怎样延长都没有交点，符合平行线的条件。 记法写作m∥n，读的时候把符号读成“平行于”。 3．【答案】√ 【解析】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 此时四个角是由这两条互相垂直的直线交出来的，四个角的大小完全一样，都是直角。 4．【答案】C 【解析】A漏掉了“不相交”这种情况，同一平面内还可能互相平行。 B把普通的相交都当成了垂直，只有交角是直角才算。 D说反了，平行线怎样延长都没有交点。 C正确：垂直本来就是相交里的一种，一定有交点，这个交点就是垂足。 5．【答案】①经过点P的那条线与a交成直角，交点记作O并画有直角标记；②经过点P的直线n与a之间间隔处处相同，旁边写着n∥a。 【解析】①三角尺的直角边贴住a，移到另一条直角边过点P后画线，补直角标记；②三角尺贴住a、直尺顶住三角尺，滑到过点P后画线，记作n∥a。 6．【答案】重合 【解析】画垂线的第一步是让三角尺的直角边压在已知直线上，两者完全重合，画出来的线才与已知直线成直角。 7．【答案】A 【解析】三角尺沿直尺移动到经过点A时位置唯一，只能停在这一处。 所以过直线外一点画已知直线的平行线，画法唯一，只能画出1条。 8．【答案】所画长方形量得长5厘米、宽3厘米，四个角都是直角，其中一个顶点处画着直角标记。 【解析】先用三角尺画出一个直角，在直角的两条边上分别量出5厘米和3厘米。 再过这两个端点各作一条垂线，两条垂线相交，围成的就是所要画的长方形；最后在任选的一个顶点处补上直角标记。 9．【答案】①图中从点B向铁路m画出的那条与m垂直的线段，垂足处标着直角标记；②它的长度叫作点B到直线m的距离。 【解析】从点B向m画出的线段中，与m垂直的那条最短，画出它并在垂足补直角标记；它的长度就是点B到直线m的距离。 10．【答案】× 【解析】随便量出来的多半是一条斜着的线段，越斜量得越长，成绩就被量大了。 应当从落点向起跳线垂直地量，量出的那一段才是真正的成绩，所以这句话错。 11．【答案】D 【解析】①②③的两个端点分别落在a和b上，并且都与这两条直线垂直。 这样的线段不管画在哪个位置，量出来的长度都一样，所以选D。 12．【答案】（1）40米　（2）小敏家近一些，近25米 【解析】（1）点到直线的距离要量那条垂直的线段，与公路垂直的是40米的那一条，所以距离是40米。 （2）小杰家到公路的距离是65米，比40米远：65 － 40 ＝ 25（米）。 答：小敏家到公路的距离是40米；小敏家近一些，近25米。 13．【答案】11；65 【解析】56 ÷ 2 ＝ 28（厘米），28 － 17 ＝ 11（厘米）；∠1与∠3是一组对角，对角相等，所以∠3 ＝ 65°。 14．【答案】DC（或CD）；∠4 【解析】AB与DC是一组对边，平行四边形的对边相等，所以AB ＝ DC。 按顺序记角时，∠2与∠4是一组对角，平行四边形的对角相等，所以∠2 ＝ ∠4。 15．【答案】√ 【解析】平行四边形的两组对边分别互相平行。 互相平行的两条边所在的直线怎样延长都没有交点，所以碰不到一起。 16．【答案】B 【解析】对角相等：∠3 ＝ ∠1 ＝ 120°，所以选B。 A把∠3说成了60°，C说∠3比∠1大，都与“两个角相等”矛盾；D说两个角的和是180°，而实际是120 ＋ 120 ＝ 240（°），也不对。 17．【答案】（1）①②　（2）上底；下底；腰　（3）直角 【解析】①②各只有一组对边平行，是梯形；③两组对边都平行，是平行四边形。平行的一组对边叫上底和下底，另一组叫腰；②中有腰与两条底垂直，是直角梯形。 18．【答案】36分米 【解析】木条的总长就是这个梯形的周长，把四条边加起来。 8 ＋ 14 ＋ 7 ＋ 7 ＝ 36（分米）。 答：一共要用36分米长的木条。 19．【答案】× 【解析】长方形、正方形都有直角，可它们不是梯形。 直角梯形的前提是它先得是梯形（只有一组对边平行），再加上有一个直角。 20．【答案】D 【解析】A说得太满，只有等腰梯形的两条腰才相等。 B也不对，等腰梯形的两条腰就是相等的。 C不对，直角梯形里有一条腰同时与上底、下底垂直，直角有两个。 D正确：两腰相等的是等腰梯形，不相等的是普通梯形，两种情况都存在。 21．【答案】（1）所画线段与左右两条边平行，分成的两块都是平行四边形；（2）从上底右端点画一条与左腰平行的线段到下底上，分出的平行四边形相邻两条边分别长4厘米和5厘米。 【解析】（1）所画线段与左右两条边平行时，两块都凑齐了两组平行的对边；（2）从上底右端点画一条与左腰平行的线段，分出的平行四边形的邻边就是上底4厘米与左腰5厘米。 22．【答案】× 【解析】梯形的条件有两条：一组对边平行，并且另一组对边不平行。 平行四边形也有一组对边互相平行，可它的另一组对边同样平行，并不是梯形，所以这句话错。 23．【答案】B 【解析】正方形四个角都是直角，符合长方形的要求，A对；正方形、长方形的两组对边都分别平行，C、D也对。 B反了：平行四边形不要求有直角，把它推斜以后就不是长方形了，所以B错误。 24．【答案】一个是三角形，另一个是直角梯形。 【解析】剪痕的一端落在顶点上，那一侧只剩三条边围成的图形，是三角形。 另一侧还剩四条边：原来的两条对边中还留着一段，它们互相平行，另外两条边不平行，是梯形； 又因为长方形的角是直角，这个梯形有直角，所以是直角梯形。 25．【答案】延长（画长）；交点 【解析】纸上画出的只是直线的一段，凭这一段看不出两条直线会不会碰上。 把两条直线分别向两端延长以后再观察：出现交点的是相交，仍然没有交点的才互相平行。 26．【答案】（1）b与a之间隔着的格数处处相同，向两端画长也碰不上（可沿另一条方格横线画）；（2）c与a有一个交点，交点处的角明显不是直角，不能画直角标记。 【解析】（1）沿着另一条方格横线画b，它与a之间处处隔着同样多的格，怎样延长都碰不到一起。 （2）画一条斜着穿过a的直线c，它与a交出的角一大一小，都不是直角，所以相交但不垂直。 27．【答案】垂线；垂线；垂足 【解析】互相垂直是双向的：两条直线互为对方的垂线，所以前两空都填垂线。 第三空考的是交点的名称，交成直角时的交点叫作垂足。 28．【答案】C 【解析】A漏掉了对象，必须说清是“谁的”垂线。 B说少了，互相垂直是双向的，两条直线互为对方的垂线。 D说多了，只有交成直角时那个交点才叫垂足。 29．【答案】× 【解析】看上去差不多不等于一样长，必须量一量再下结论。 只有量出两条腰的长度完全相等，才能判定是等腰梯形。 30．【答案】10厘米 【解析】丝带的长就是这张卡片的周长。先去掉互相平行的那两条边：40 － 7 － 13 ＝ 20（厘米），剩下的是两条腰的和。 等腰梯形的两条腰一样长：20 ÷ 2 ＝ 10（厘米）。 答：它的一条腰长10厘米。 31．【答案】13 【解析】走一圈的路程就是这块空地的周长，一组邻边的和是64 ÷ 2 ＝ 32（米）。 32 － 19 ＝ 13（米），所以短的一条边长13米。 32．【答案】√ 【解析】四条边里两组对边分别相等，先求一组邻边的和：80 ÷ 2 ＝ 40（分米）。 再从这个和里减去已知的一条边：40 － 30 ＝ 10（分米），所以这句话对。注意不能用80 － 30，那样减掉的只是四条边中的一条。 33．【答案】平行；垂直 【解析】同一平面内怎样延长都没有交点，是互相平行。 两条边交出的角是直角，是互相垂直。 34．【答案】AB⊥CD；垂足 【解析】相交并且交出直角，就是互相垂直，用符号 ⊥ 连接两条直线。 互相垂直的两条直线的交点叫作垂足。 35．【答案】平行四边形 【解析】两组对边分别互相平行，正是这一类图形的认定条件。 长方形满足这个条件，所以它属于这一类，是其中比较特殊的一种。 36．【答案】垂直；距离 【解析】从一点向直线画的所有线段中，垂直的那一条最短。 这条垂直线段的长度叫作这一点到直线的距离。 37．【答案】√ 【解析】长方形四个角都是直角，相邻两条边交出直角，所以互相垂直。 长方形的两组对边怎样延长都碰不到一起，所以分别互相平行。 38．【答案】× 【解析】a和b都与c交出直角，它们的方向是一样的。 把a、b向两端画长也碰不到一起，所以a与b互相平行，而不是互相垂直。 39．【答案】B 【解析】A的两个刀刃交在轴上，是相交；C的时针与分针交出直角，是互相垂直；D的两条边交在顶点上。 B的两条钢轨一直往前铺也碰不到一起，是互相平行。 40．【答案】A 【解析】长方形、正方形的两组对边都分别平行；把长方形推斜，两组对边仍然分别平行。B、C、D都属于平行四边形。 等腰梯形只有一组对边平行，属于梯形，不属于平行四边形，所以选A。 41．【答案】20厘米 【解析】围平行四边形用去的铁丝就是它的周长：（24 ＋ 16）× 2 ＝ 80（厘米）。 围梯形用去的铁丝：24 ＋ 16 ＋ 9 ＋ 11 ＝ 60（厘米）。 80 － 60 ＝ 20（厘米）。 答：围这两个图形用的铁丝相差20厘米。 42．【答案】10厘米 【解析】围成平行四边形用去的铁丝就是它的周长：（32 ＋ 13）× 2 ＝ 90（厘米）。 1米＝ 100厘米，100 － 90 ＝ 10（厘米）。 答：剩下的铁丝还有10厘米。 43．【答案】（1）两条垂线都与c交成直角，垂足处标着直角标记；（2）点M到直线c的距离是3厘米，点N到直线c的距离是5厘米。 【解析】（1）三角尺的一条直角边贴住c，移动到另一条直角边分别经过M、N，各画一条线到c上，补上直角标记。 （2）沿方格竖着数：M到c隔着3格，N到c隔着5格；每小格的边长是1厘米，用尺子量也是3厘米和5厘米。 44．【答案】（1）20毫米　（2）BB′ 和CC′ 也都是20毫米 【解析】（1）4格，每格5毫米：5 × 4 ＝ 20（毫米）。 （2）AA′、BB′、CC′ 的两端分别落在两条平行线上，并且都与它们垂直，这样的线段长度处处相同，所以BB′ 和CC′ 也都是20毫米。 45．【答案】（1）4块　（2）每一块都是长方形。 【解析】（1）横竖各一条线，把卡纸横着切一次、竖着切一次，一共分成2 × 2 ＝ 4（块）。 （2）每一块的四条边中，两条来自原来的长方形边，两条来自所画的线；所画的两条线互相垂直，又分别与原来的边垂直，所以每一块的四个角都是直角，都是长方形。 46．【答案】（1）过点K画出的两条线分别与EF、GH怎样延长都碰不到一起；（2）一定是平行四边形，它的两组对边分别互相平行。 【解析】（1）用三角尺贴住EF、沿着直尺移动到经过点K画一条线；再贴住GH、移动到经过点K画另一条线。 （2）围成的四边形中，一组对边是EF和过K与EF平行的那条线，另一组对边是GH和过K与GH平行的那条线，两组对边分别互相平行，所以一定是平行四边形。 47．【答案】（1）一定是平行四边形　（2）一定是长方形 【解析】（1）重叠部分的一组对边落在纸条①的两条长边上，这两条长边互相平行；另一组对边落在纸条②的两条长边上，同样互相平行。两组对边分别平行，所以是平行四边形。 （2）两条纸条交成直角时，重叠部分相邻的两条边分别落在互相垂直的两条长边上，四个角都成了直角，所以这时重叠的部分是长方形。 48．【答案】（1）两个都是梯形　（2）两个都变成平行四边形 【解析】（1）四边形ABFE中，AE与BF分别落在互相平行的AD、BC上，是平行的一组对边；另一组对边AB与EF不平行，只有一组对边平行，所以是梯形。四边形EFCD同理也是梯形。 （2）改画后EF与AB平行，四边形ABFE的两组对边就都分别平行了，变成平行四边形；EF与DC也平行，四边形EFCD同样变成平行四边形。 49．【答案】（1）梯形　（2）直角梯形 【解析】（1）只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 （2）不平行的那组对边是腰；一条腰与上底、下底都垂直，这个梯形就有了直角，是直角梯形。 50．【答案】（1）400厘米，合4米　（2）12元 【解析】（1）围一圈用的花边长就是桌布的周长：（120 ＋ 80）× 2 ＝ 400（厘米）；400厘米＝ 4米。 （2）4 × 3 ＝ 12（元）。 答：围一圈用了400厘米花边，合4米；买花边一共要花12元。 51．【答案】（1）都是360°　（2）360　（3）85° 【解析】（1）85 ＋ 100 ＋ 75 ＋ 100 ＝ 360；60 ＋ 120 ＋ 110 ＋ 70 ＝ 360；90 ＋ 90 ＋ 90 ＋ 90 ＝ 360。三个形状不同的四边形，算出的结果都是360°。 （2）三个差别很大的四边形结果都一样，可以填360。 （3）360 － 55 － 130 － 90 ＝ 85，第四个角是85°。 答：三个四边形四个角的度数和都是360°；第四个角是85°。 52．【答案】42厘米 【解析】把其中一个梯形绕着那条腰的中点转半圈再拼上去，拼成图形的一组对边由上底和下底接成：6 ＋ 10 ＝ 16（厘米）。 另一组对边就是两个梯形剩下的那条腰，各长5厘米。 （16 ＋ 5）× 2 ＝ 42（厘米）。 答：拼成的平行四边形的周长是42厘米。 53．【答案】长的一条21厘米，短的一条15厘米 【解析】绳子的长就是木板的周长，一组邻边的和是72 ÷ 2 ＝ 36（厘米）。 长的那条：（36 ＋ 6）÷ 2 ＝ 21（厘米）；短的那条：36 － 21 ＝ 15（厘米）。 检验：（21 ＋ 15）× 2 ＝ 72（厘米），21 － 15 ＝ 6（厘米），与题意相符。 答：这两条边分别是21厘米和15厘米。 54．【答案】（1）①②⑤　（2）③④　（3）不在 【解析】（1）①②⑤的两组对边都分别互相平行，都属于平行四边形。 （2）③④都只有一组对边平行，属于梯形。 （3）梯形与平行四边形是并排的两类，谁也不包含谁，所以③④不在平行四边形这个大类里。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $