河北省保定市定州市八年级数学上学期课时作业（人教版第十六章第三节第一课时）

该初中数学作业设计方案针对人教版八年级平方差公式，立足学情分学困生、中等生、优等生设计三层作业，基础必做夯实公式运用，能力提升训练变式综合，素养提优拓展巧算思维，控制总时长25分钟，适配分层教学需求。 通过多样化练习提升学习效果，基础题第6题结合长方形面积情境培养几何直观，素养提优第14题借换元法阅读题发展模型意识与运算能力。评价采用分层等级标准，含错题分析与总结，帮助学生明确薄弱点，教师可针对性讲评，有效落实核心素养。

人教版八年级上册16.3.1平方差公式 课时作业设计 应用场景：课后巩固、分层课时练习、随堂检测、家庭作业 适用地区：定州市 作品基础信息 项目 内容 作品名称 【平方差公式】 学段学科 【初中】【数学】 适用年级 【八年级】 教材版本 【人教版】 对应内容 【第十六单元第三节第一课时平方差公式】 作业类型 【当堂作业/课后作业】 完成时长 总时长25分钟 设计者 【吴会哲】 教材解读 平方差公式是多项式乘法中具有特殊结构的一类算式的归纳总结，是从一般多项式乘法走向特殊乘法公式的转折点。本节既是对整式乘法知识的巩固与提升，又是后续完全平方公式、因式分解、分式化简、二次根式运算的重要基础，在整个初中代数运算体系中起到承上启下的作用。教材借助图形面积解释公式，实现代数运算与几何直观结合，落实了数形结合思想。 课程标准要求 1.掌握平方差公式的结构特征，能识别公式中的相同项与相反项； 2.会正向、逆向运用平方差公式进行整式运算、简便运算； 3.能借助几何图形理解乘法公式的意义，发展几何直观； 4.感悟符号运算、整体代换的思想，提升代数运算能力。 学情分析 八年级学生已经具备一定观察、归纳能力，但抽象概括能力参差不齐。很多学生学习乘法公式习惯于机械记忆公式，不理解公式的结构本质，做题只看表面形式，不会辨别 “相同项、相反项”。 （1）学困生 - 能够完成普通多项式乘法，但是符号处理容易出错； - 只会直接套用标准形式(x + y)(x - y)，当式子带负号、顺序调换时，无法识别平方差结构； - 几乎不会逆用公式，整体代换难以理解； - 学习目标：记住公式，会标准题型计算，规避符号错误。 （2）中等生 - 可以识别标准形式，简单变式可以完成； - 遇到负号、项的顺序颠倒容易混淆相同项、相反项，符号出错是高频错点； - 正向使用公式较熟练，逆用公式求值存在困难； - 整体代换需要提示引导，独立完成综合题有一定难度。 （3）优等生 - 能快速识别平方差结构，正向、逆向运用公式； - 具备一定整体代换意识，能够处理连续多次使用公式的题型； - 可以接受新概念、阅读材料类题型，有能力完成拓展巧算。 常见易错预判（用于指导分层作业命题） 1. 分不清相同项与相反项，乱套公式； 2. 符号错误：负号、括号处理不当； 3. 只会正向用公式，不会逆用平方差求值； 4. 忽略公式中的a、b可以代表单项式，不会整体代换； 5. 混合运算中，平方差与其他运算混淆。 作业设计理念 本课时作业依据新课标，立足平方差公式课时重难点，分为基础必做、能力提升选做、素养提优弹性选做三层。基础题立足教材例题、练习改编+原创题，夯实公式正向、逆向运用；能力提升侧重变式、新概念情境，训练综合运算；素养提优设置连乘运算、阅读换元题型，拓展思维。坚持弹性、选择性，控制作业总量，落实双减。满足学困生夯实基础，中等生提升能力，优等生拓展思维的差异化需求。 作业设计特色 1.立足教材改编+原创命题：大部分习题源自教材例题、练习变式，搭配原创题、新概念阅读题，既回归课本，又适度创新。 2.分层弹性清晰：必做、选做、弹性选做三层，学生拥有选择权，适配不同层次学生，严格控制作业时长。 3.能力梯度递进：从正向用公式→逆用公式→连续多次使用平方差→整体换元巧算，梯度由浅入深。 4.情境类型丰富：包含几何实际情境、新概念迁移、阅读换元题型，训练获取信息、知识迁移能力，落实数学核心素养。 5.实用性强：作业设计适配当地学情，解析详尽，便于直接打印使用。 作业目标 （一）知识技能目标 1. 理解平方差公式 的结构特征，识别公式中相同项与相反项，清楚公式中的a、b可以代表数、单项式、多项式。 2. 会直接运用平方差公式进行整式乘法运算，会逆用平方差公式进行求值、简便计算。 3. 能辨析不满足平方差公式结构的算式，掌握连续使用平方差、整体换元的解题方法。 （二）过程方法目标 1. 通过辨析、计算、求值训练，提升代数运算、观察辨别、整体代换推理能力。 2. 通过材料阅读、新概念、新情境习题，培养获取信息、迁移运用新知识的能力。 3. 体会数形结合、整体换元、逆向思维等数学思想。 （三）核心素养目标 1. 发展数感与运算能力，养成规范书写解题步骤的习惯。 2. 通过弹性分层设置，让不同层次学生获得成功体验，增强数学学习信心。 3. 体会数学公式的工具价值，感受数学知识迁移拓展的魅力。 作业实施建议 1.分层完成要求 -学困生：完成基础性必做题 1‑7，弄懂公式正向、逆向基本用法，不强制完成选做题；错题做好订正，标注错误原因（分不清相同项相反项、符号错误、不会逆用公式等）。 -中等生：完成基础必做题，至少选做能力提升中3道题目，训练变式、整体代换。 -优等生：完成基础 + 能力提升全部题目，自主完成素养提优第13题，锻炼巧算、阅读换元的思维能力。 2.时间实施 基础作业可课堂部分完成，整体全部作业合计不超过25分钟，不加重课业负担。 3.书写规范 解答计算题必须写出关键步骤，不能只写最后结果；材料阅读题要体现换元的过程。 4.订正反馈 学生自主对照答案解析订正，整理错题；教师批改后针对共性易错点课堂集中讲评，个性问题个别辅导。 作业内容 16.3.1平方差公式 基础题（1-6题，每小题4分，第7题8分，共32分；15分钟完成） 1.（原创）(a+2)(a-2)的计算结果为（ ） A. a2+2 B. a2-2 C. a2+4 D. a2-4 2.(教材P112例1（2）改编)计算（-x+2y）(-x-2y)的结果为（ ） A. x2-2y2 B. -x2-4y2 C. 4y2- x2 D. x2-4y2 3.(教材P113练习1变式)下列式子中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4, (原创)已知m、n同时满足2m+n=5, 2m-n=3,则4m2-n2的值是 . 5.（第4题改编）若9a2-4b2=18,3a+2=6,则3a-2= . 6.(原创）一个长方形，把它的宽边增加3 cm,长边减少3 cm,就得到一个边长是2x cm的正方形,长方形的面积是 . 7.（教材P113例2（3）、P117习题1（5）改编）利用平方差公式计算： （1）103×97； （2）9.5×10.5． 能力提升（每小题4分，共20分；10分钟完成） 8.（原创）(15x+5y)(3x-y)的计算结果是 . 9.（原创）对于任意正整数n，能整除式子（3n+1）(3n-1) - (3-n) (3+n)的整数可以是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 10 10. (教材P112例2（1）改编)计算:（x-1）(x+1)(x2+1)(x2-1)的结果是 . 11.( 新概念)我们知道，任意实数的平方都不等于-1，若假设存在“虚数i2=-1,且实数与i进行四则运算时原运算法则仍成立”，则= . 12.(原创)已知a2-b2=-1, 则(ａ＋ｂ)2026(b - a)2026＝ . 素养提优（每小题5分，共10分，仅计入附加分；10分钟完成） 13.计算： 14.（材料阅读）阅读下列材料： 已知实数x、y满足（4x2+2y2+3）（4x2+2y2-3）=27,求2x2+y2的值. 解：设4x2+2y2=t (t≥0) ,∴(t+3)(t-3)=27, ∴ t2-9=27,即t2=36, ∴ t=6，即4x2+2y2=6，∴2x2+y2=3. 这种方法称为“换元法”.换元法是常用的一种数学解题方法，在结构较复杂的数式运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数m、n满足（2m2+n2）(2m2+n2+2）= 80,试求2m2+n2-1的值. 答案与解析 1.【答案】D 　解析：直接运用平方差公式，(a+2)(a-2) = a2-22 = a2 - 4. 2【答案】D 　解析：相同项是-x，相反项是2y与-2y，(-x+2y）(-x-2y) = (-x)2-(2y)2 = x2 - 4y2. 3.【答案】C 　点拨：运用平方差公式需要找到相同项和相反项. 　解析：A.（x+2）(x-2) = x2-22; B. (-a-2) (a-2) = (-2-a) (-2+a) = (-2)2 - a2; D. (3a+4b) (3a-4b) = (3a)2 - (4b)2; C选项不满足两个数的和与两个数的差相乘，所以不能使用平方差公式计算. 4.【答案】15 　解析：∵（2m+n）（2m-n）= 4m2 - n2，∴4m2 - n2=（2m+n）（2m-n）=53=15. 5.【答案】3 　解析：∵ (3a+2b) (3a-2b) = 9a2 - 4b2, ∴3a-2 = (9a2-4b2) ÷ (3a+2) = 18÷6 = 3. 6.【答案】 　解析：长方形的长边是,宽边是,面积等于,即. 7.【答案】（1）9991；（2）99.75. 　解析：（1）103×97 =（100+3）（100-3）= 1002-32 = 10000 - 9 = 9991. （2）9.5×10.5 =（10-0.5）（10+0.5）= 102 - 0.52 = 100 - 0.25 = 99.75. 8.【答案】45x2-5y2 　解析：(15x+5y) (3x-y) = 5 (3x+y) (3x-y) = 5 (9x2-y2) =45x2-5y2. 9.【答案】D 　解析：（3n+1）(3n-1)-(3-n)(3+n) = 9n2-1-9+n2 = 10 n2-10 = 10(n2-1). ∵n是正整数，∴n2也是正整数，n2-1是整数，10(n2-1)含有因数10，∴能整除原式的整数是10. 10.【答案】 　解析：== = 11.【答案】-5 　　解析：(i+2) (i-2) = i2- 4=-1- 4 = -5. 12.【答案】1 　　解析：(ａ＋ｂ)2026(b - a)2026　=（a + b）2026(a - b)2026　=2026 = (a 2- b2)2026, ∵a2-b2=-1, ∴原式=（-1）2026　=1. 13.【答案】216 　　点拨：原式前面乘(2-1)，值不变. 　　解析：原式= = = = = =. 14.【答案】7 　　点拨：2m2+n2与2m2+n2+2相差２. 　　解析：设2m2+n2+1 = t,( t≥1 ),则原式变为(t+1) (t-1) = 80,整理得t2 – 1 = 80,即t2 = 81,t = 9( t≥1 ). ∴2m2 + n2 + 1 = 9,∴2m2 + n2 = 8, 2m2 + n2 – 1 = 7. 作业评价表 作业评价 学生自我评价 教师综合评价 评价等级 优秀□良好□合格□待提升□ 等级： 评语： 评价 已掌握题目：题号 需加强题目：题号 错题题号 错因分析 错题订正 总结与思考 1. 总结 平方差公式的结构特征： 2. 思考：运用平方差公式应该注意的问题是什么？ 作业评价标准 分层等级评价 -合格：基础必做题得分≥20 分，错题订正到位，基本掌握平方差公式。 -良好：基础必做题得分≥24 分，选做至少3道能力提升题，步骤规范。 -优秀：基础、能力提升全部完成，正确率高；自主完成素养提优题，思路清晰。 学科网（北京）股份有限公司 $