12.4 分式方程 课时作业 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学 八年级上册 12.4分式方程 同步练。分层设计清晰，从基础达标到拓展探究，覆盖分式方程概念、解法及含参问题，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|分式方程概念、基本解法与检验|选择填空辨析概念，解答题规范去分母步骤，夯实抽象能力| |B组能力提升|含参分式方程增根及无解问题|结合增根原因分析参数取值，培养逻辑推理意识| |C组拓展探究|综合应用与探究|通过阅读思考深化检验必要性，设计开放探究题发展创新意识|

冀教版八年级数学（上） 第十二章 分式和分式方程 12.4 分式方程 12.4 分式方程 课时作业 冀教版·八年级数学（上册） 第十二章 分式和分式方程 一、课时学习目标 1. 理解分式方程的概念，能正确区分分式方程与整式方程。 2. 掌握解分式方程的一般步骤，会把分式方程化为整式方程求解。 3. 理解增根产生的原因，知道解分式方程必须检验，会判断分式方程无解的情况。 4. 会解含有字母系数的简单分式方程问题（求增根、求参数的值或取值范围）。 二、知识梳理 知识点 1 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 例如 + 1 = 3、 = 都是分式方程；而 - 1 = 0、 = 的分母中都不含未知数，它们是整式方程。 易错提醒：判断的唯一标准是分母中是否含有未知数，与方程中有没有分数线无关。 知识点 2 解分式方程的基本思路与步骤 基本思路：去分母，把分式方程转化为整式方程（“化分为整”的转化思想）。 具体步骤：①确定最简公分母；②方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解这个整式方程；④检验（把求得的解代入最简公分母，若不为 0 则是原方程的解，若为 0 则是增根，必须舍去）；⑤写出结论。 知识点 3 增根 （1）定义：在解分式方程时，使最简公分母为 0 的根叫做原方程的增根。 （2）产生原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母可能为 0，这样的变形不一定是同解变形，因此可能产生不适合原方程的根。 （3）检验的必要性：增根不是原分式方程的解，所以解分式方程必须检验，这是本节最重要的一步。 检验的两种方法：①把解代入最简公分母，看是否为 0（最常用、最简便）；②把解代入原方程的每个分母，看是否为 0。 知识点 4 分式方程无解的两种情形 （1）去分母后所得整式方程的解恰好是增根（使最简公分母为 0），此时原分式方程无解； （2）去分母后所得的整式方程本身无解（如化为 0·x = 3 的形式），此时原分式方程也无解。 这两种情形在“含字母系数的分式方程无解”问题中都要考虑。 三、典例精析 例 1 下列方程中，属于分式方程的是（ ） A. + = 1 B. - 1 = 0 C. = 2 D. = 【解答】选 B。只有 B 的分母中含有未知数 x。 例 2 解方程： = 。 【解答】最简公分母为 x(x - 1)。方程两边都乘 x(x - 1)，得 2x = 3(x - 1)，解得 x = 3。 检验：当 x = 3 时，x(x - 1) = 3 × 2 = 6 ≠ 0，所以 x = 3 是原方程的解。 【方法归纳】去分母时，方程每一项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项。 例 3 解方程： - 1 = 。 【解答】最简公分母为 (x - 1)(x + 2)。两边都乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3， 整理得 + 2x - ( + x - 2) = 3，即 x + 2 = 3，解得 x = 1。 检验：当 x = 1 时，(x - 1)(x + 2) = 0，所以 x = 1 是增根，应舍去。 所以原方程无解。 【方法归纳】“解出来了”不等于“有解”，检验是解分式方程不可省略的一步。 例 4 解方程： + = 1。 【解答】因为 - 4 = (x + 2)(x - 2)，最简公分母为 (x + 2)(x - 2)。两边都乘 (x + 2)(x - 2)，得 x(x - 2) + 4 = (x + 2)(x - 2)， 即 - 2x + 4 = - 4，解得 x = 4。 检验：当 x = 4 时，(x + 2)(x - 2) = 6 × 2 = 12 ≠ 0，所以 x = 4 是原方程的解。 例 5 若关于 x 的方程 + = 1 有增根，求 m 的值。 【解答】因为 1 - x = -(x - 1)，原方程可化为 - = 1。 两边都乘 (x - 1)，得 m - 3 = x - 1，即 x = m - 2。 因为方程有增根，而最简公分母为 x - 1，所以增根为 x = 1，把 x = 1 代入 x = m - 2，得 m = 3。 【方法归纳】“有增根”问题的通法：①由最简公分母为 0 求出可能的增根；②把增根代入去分母后的整式方程，求出字母的值。 例 6 若关于 x 的方程 = + 1 无解，求 m 的值。 【解答】两边都乘 (x - 2)，得 3 = m + (x - 2)，即 x = 5 - m。 方程无解，即所求得的根是增根 x = 2，所以 5 - m = 2，解得 m = 3。 【方法归纳】本题中去分母后的整式方程一定有解，因此“无解”只可能是产生了增根。 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1. 下列方程中，是分式方程的是（ ） A. - 1 = 0 B. + 1 = 3 C. = x D. + = 1 2. 方程 = 的解是（ ） A. x = 2 B. x = -2 C. x = 1 D. 无解 3. 方程 = 的解是（ ） A. x = 1 B. x = -1 C. x = 3 D. x = -3 4. 方程 - 2 = 的解的情况是（ ） A. x = 3 B. x = -3 C. 无解 D. x = 0 5. 下列关于增根的说法中，正确的是（ ） A. 增根是原分式方程的解 B. 增根是去分母后所得整式方程的解，但不是原分式方程的解 C. 只要解出了根，就一定是原方程的解 D. 分式方程一定有增根 6. 解分式方程时，必须检验的原因是（ ） A. 计算容易出错 B. 去分母时两边同乘的整式可能为 0 C. 分式方程一定无解 D. 检验可以简化计算 （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7. 方程 = 的解是 x = ＿＿＿＿。 8. 方程 = 0 的解是 x = ＿＿＿＿。 9. 解方程 = 时，最简公分母是 ＿＿＿＿＿＿＿＿，去分母后得到的整式方程是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 10. 若关于 x 的方程 = 1 的解是 x = 5，则 m = ＿＿＿＿。 11. 若分式方程 = 有增根，则这个增根是 x = ＿＿＿＿。 12. 方程 = + 1 的解是 x = ＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 8 分，共 24 分） 13. 解下列分式方程（要求写出检验过程）： （1） = ；（2） = 。 14. 解下列分式方程： （1） - 1 = ；（2） + = 1。 15. 解下列分式方程： （1） + = 4；（2） = + 2。 B 组 能力提升 （一）选择题（每小题 4 分，共 12 分） 16. 若关于 x 的分式方程 = + 2 无解，则 m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -3 17. 若分式方程 = + 1 有增根，则 a 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 18. 方程 + = 的解是（ ） A. x = B. x = 1 C. x = -1 D. 无解 （二）填空题（每小题 4 分，共 12 分） 19. 若关于 x 的方程 = 的解是 x = ＿＿＿＿。 20. 若关于 x 的分式方程 = 2 的解是正数，则 m 的取值范围是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 21. 关于 x 的方程 = + 3 无解，则 a = ＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 10 分，共 20 分） 22. 解下列分式方程（写出完整的解题过程与检验）： （1） + = ；（2） = 。 23. 已知关于 x 的分式方程 + = 1。 （1）当 m = 0 时，解这个方程； （2）若这个方程有增根，求 m 的值。 C 组 拓展探究 24. 阅读与思考：小明在解方程 = + 1 时，得到 x = 2，他认为 x = 2 就是方程的解。 （1）请你判断小明的结论是否正确，并说明理由； （2）请写出这个方程去分母后得到的整式方程，并说明为什么会产生这样的根； （3）请你用一句话总结解分式方程时最容易出错的地方。 25. 探究与思考：已知关于 x 的分式方程 + = 1。 （1）当 m = 5 时，求这个方程的解； （2）若这个方程有增根，求 m 的值； （3）若这个方程的解是正数，求 m 的取值范围。 五、参考答案与解析 A 组 基础达标 1. B。解析：只有 B 的分母中含有未知数 x，其余各方程的分母都是常数，属于整式方程。 2. B。解析：两边都乘 x(x - 1)，得 2(x - 1) = 3x，即 2x - 2 = 3x，解得 x = -2。检验：x(x - 1) = (-2) × (-3) = 6 ≠ 0，所以 x = -2 是原方程的解。 3. C。解析：两边都乘 (x - 1)(x + 1)，得 x + 1 = 2(x - 1)，解得 x = 3。检验：(3 - 1)(3 + 1) = 8 ≠ 0，故 x = 3。 4. C。解析：两边都乘 (x - 3)，得 x - 2(x - 3) = 3，即 -x + 6 = 3，解得 x = 3。检验：x - 3 = 0，x = 3 是增根，应舍去，所以原方程无解。 5. B。解析：增根是去分母后所得整式方程的根，但它使原分式方程的分母为 0，所以不是原方程的解。并非每个分式方程都有增根。 6. B。解析：去分母时方程两边同乘的最简公分母中含有未知数，它有可能为 0，这样的变形可能扩大解的范围，因此必须检验。 7. 1。解析：两边都乘 x(x + 1)，得 x + 1 = 2x，解得 x = 1。检验：1 × 2 = 2 ≠ 0。 8. 3。解析：分式的值为零，需分子 x - 3 = 0 且分母 x ≠ 0，所以 x = 3。 9. 最简公分母是 x(x - 2)；整式方程是 x = 3(x - 2)。 10. 3。解析：把 x = 5 代入得 = 1，所以 m = 3。 11. 3。解析：增根使最简公分母 x - 3 = 0，所以增根为 x = 3。 12. 。解析：因为 3x + 3 = 3(x + 1)，最简公分母为 3(x + 1)。两边都乘 3(x + 1)，得 3x = 2x + 3(x + 1)，即 3x = 5x + 3，解得 x = 。检验：3(x + 1) = 3 × = ≠ 0，符合要求。 13. （1）最简公分母为 x(x + 1)。两边同乘 x(x + 1)，得 2(x + 1) = 3x，解得 x = 2。检验：2 × 3 = 6 ≠ 0，所以 x = 2 是原方程的解。 （2）因为 - 4 = (x + 2)(x - 2)，最简公分母为 (x + 2)(x - 2)。两边同乘 (x + 2)(x - 2)，得 x + 2 = 4，解得 x = 2。检验：当 x = 2 时，(x + 2)(x - 2) = 0，x = 2 是增根，故原方程无解。 14. （1）最简公分母为 (x + 1)(x - 1)。两边同乘，得 x(x + 1) - ( - 1) = 4，即 x + 1 = 4，解得 x = 3。检验：4 × 2 = 8 ≠ 0，故 x = 3 是原方程的解。 （2）最简公分母为 (x + 2)(x - 2)。两边同乘，得 x(x - 2) + 4 = - 4，即 -2x + 4 = -4，解得 x = 4。检验：6 × 2 = 12 ≠ 0，故 x = 4 是原方程的解。 15. （1）因为 2 - x = -(x - 2)，原方程化为 - = 4，即 = 4。两边同乘 (x - 2)，得 2 = 4(x - 2)，解得 x = 。检验：x - 2 = ≠ 0，故它是原方程的解。 （2）两边同乘 (x - 3)，得 x = 3 + 2(x - 3)，即 x = 2x - 3，解得 x = 3。检验：x - 3 = 0，x = 3 是增根，所以原方程无解。 B 组 能力提升 16. C。解析：两边同乘 (x - 1)，得 3 = m + 2(x - 1)，即 2x = 5 - m，x = 。方程无解只能是产生了增根，增根为 x = 1，所以 = 1，解得 m = 3，故选 C。 17. C。解析：两边同乘 (x - 2)，得 x = a + (x - 2)，整理得 a = 2。此时去分母后的整式方程对任何 x 都成立，增根 x = 2 也是它的根，符合“有增根”的条件，故选 C。 18. A。解析：最简公分母为 (x + 1)(x - 1)。两边同乘，得 (x + 1) + 2(x - 1) = 4，即 3x - 1 = 4，解得 x = 。检验：( + 1)( - 1) = × = ≠ 0，所以 x = 。 19. 5。解析：两边同乘 (x + 3)(x - 1)，得 2(x - 1) = x + 3，即 2x - 2 = x + 3，解得 x = 5。检验：8 × 4 = 32 ≠ 0。 20. m > -2 且 m ≠ 0。解析：两边同乘 (x - 1)，得 m = 2(x - 1)，即 x = 。解为正数需 > 0，即 m > -2；又解不能是增根 x = 1，即 ≠ 1，得 m ≠ 0。 21. 4。解析：两边同乘 (x - 4)，得 x = a + 3(x - 4)，即 2x = 12 - a，x = 。无解即出现增根 x = 4，所以 = 4，解得 a = 4。 22. （1）最简公分母为 (x + 1)(x - 1)。两边同乘，得 3 + (x - 1) = 2(x + 1)，即 x + 2 = 2x + 2，解得 x = 0。检验：当 x = 0 时，(x + 1)(x - 1) = -1 ≠ 0，所以 x = 0 是原方程的解。 （2）最简公分母为 (x + 2)(x - 2)。两边同乘，得 (x - 1)(x - 2) = x(x + 2)，即 - 3x + 2 = + 2x，-5x = -2，解得 x = 。检验：( + 2)( - 2) ≠ 0，所以 x = 是原方程的解。 23. （1）当 m = 0 时，原方程为 + = 1。因为 2 - x = -(x - 2)，化为 - = 1。两边同乘 (x - 2)，得 3 - x = x - 2，解得 x = 。检验：x - 2 = ≠ 0，所以 x = 。 （2）原方程化为 - = 1，两边同乘 (x - 2)，得 3 - (x + m) = x - 2，即 2x = 5 - m，x = 。增根为 x = 2，所以 = 2，解得 m = 1。 C 组 拓展探究 24. （1）小明的结论不正确。因为 x = 2 使原方程中分母 x - 2 = 0，此时分式没有意义，所以 x = 2 不是原方程的解，它是增根，原方程无解。 （2）两边同乘 (x - 2)，得整式方程 x = 2 + (x - 2)，即 x = x，它对任何 x 都成立；但原分式方程要求 x ≠ 2，所以除 x = 2 外的任何数都能使原方程成立。产生这一现象的原因是：去分母时两边同乘的 (x - 2) 可能为 0，这一步不是同解变形。 （3）总结：解分式方程时最容易出错的地方是忘记检验，凡是使最简公分母为 0 的根都必须舍去。 25. （1）当 m = 5 时，原方程为 + = 1，因为 2 - x = -(x - 2)，化为 - = 1，即 = 1，两边同乘 (x - 2)，得 2 = x - 2，解得 x = 4。检验：x - 2 = 2 ≠ 0，所以 x = 4。 （2）一般地，原方程化为 - = 1，两边同乘 (x - 2)，得 m - 3 = x - 2，即 x = m - 1。增根为 x = 2，所以 m - 1 = 2，得 m = 3。 （3）解为正数即 x = m - 1 > 0，得 m > 1；又解不能是增根，即 m - 1 ≠ 2，得 m ≠ 3。所以 m > 1 且 m ≠ 3。 解析：含参分式方程问题的通法是：先用字母表示出方程的解，再根据“有增根”“无解”“解为正数”等条件列出关于字母的方程或不等式，最后不要忘记排除增根对应的取值。 六、课时小结 1. 概念辨析：分母中含未知数的方程才是分式方程。 2. 解题流程：定最简公分母 → 去分母化为整式方程 → 解整式方程 → 检验 → 结论。 3. 增根：使最简公分母为 0 的根，必须舍去；解分式方程必须检验。 4. 含参问题：先解出用字母表示的根，再由“增根”“无解”“解为正”等条件求字母的值或范围，注意排除使分母为零的情形。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $