12.4 分式方程+专题二 巧用分式方程的解求字母的值或取值范围-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

12.4分式 通基础MM 知识点1分式方程的概念 1.(石家庄裕华区月考)下列关于x的方程中，不 是分式方程的是() 6 C.3 2+35 D.2=4-t 1 2关于x的方程：0x2x®3十5上 Ax 2x-1 3 ③x-2x2=0:⑤7x2-1=0.其中是 分式方程的是() A.①②③ B.①② C.①③ D.①②④ 知识点2分式方程的解 3.(邢台襄都区期末)已知关于x的方程名十 十2=0的解为x=-1,则A处可能 1 为() A.1-x B.x-1C.2-xD.x-2 知识点3解分式方程 4.把分式方程、 =上转化为一元一次方程时， x十4x 方程两边需同乘() A.x B.2x C.x+4 D.x(x+4) 5.（石家庄辛集期末)解分式方程 x22 2一时，去分母正确的是( x一I A.x-2=x-1 B.x-2(x-2)=x-1 C.x-2(x-2)=-x-1 D.x-2(x-2)=-x+1 △八年级·上册·数学.J1H 方程（答案P5) 6,若关于x的分式方程2工十a=1的解是 x-4x-4 非负数，则a的取值范围是 ,小丽解分式方程1x3=时，出现了 2x+2x+1 错误，她的解题过程如下： 解：去分母，得2x十2-（x一3)=3x,第一步 解得x一2第二步 所以原分式方程的解是x一·第三步 (1)小丽的解题过程从第 步开始 出错. (2)小丽的解题过程缺少的步骤是 (3)请写出正确的解题过程. 8.运算能力解下列方程： 2 1 (1)z-4x+1 1一x1 (2) -2. x-22-x 17 知识点4分式方程的增根 9,若关于x的分式方程3 21m+3 x一2无解，则 m的值为 10.已知关于x的分式方程、1。十2 k一x Ex-3 Γ3-x (1)当k=4时，求该方程的解 (2)若方程有增根，求k的值. ←通能力 11.（保定曲阳期末)已知关于x的分式方程 2 m x-22-x 一4，要使该方程的解为正数，则 m不能取的值为() A.-1B.3 C.5 D.7 12.(石家庄新乐期末)题目：当a≠b时，定义一 a-6a>b). 种新运算：F(a,b)= 例：F(3, 2b b-a (a<b), 1)= 2 8 31=1,F(一1,4)=4十1=5·若 F(m,2)一F(2,m)=1,求m的值.嘉嘉的答 案是m专琪琪的答案是m-0,下列判断 正确的是( A.只有嘉嘉的正确 B.只有琪琪的正确 C.嘉嘉，琪琪的答案合在一起才正确 D.嘉嘉，琪琪的答案合在一起也不正确 13.小华想复习分式方程，由于印刷问题，题目中 有-个数？“看不洁楚：，”2十32 (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个 18 分式方程， (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是方程 的增根是x=2,原分式方程无解.”请你求出 原分式方程中“？”代表的数是多少. 通素养 14.探究拓展已知：①x十2=3可转化为工十 1X2=1十2，解得x1=1,x2=2: ②x十6=5可转化为r十2X3=2+3,解得 x x1=2,x2=3; ③x+ 2=7可转化为十3X4-3十4，解得 x1=3,x2=4… 根据以上规律，求关于x的方程x十”+” x-3 2n十4的解. 511154141445114144534 专题二巧用分式方程的解求字 类型1》利用方程解的定义求字母的值 1.若方程3=m TT-3 的根为x=6,则m的值 是( ) A.0 B.3 c D.1 2已知关于x的分式方程片彩 “2.xx-1 的解相同，求m2一2m的值. 类型2〉利用方程无解或有增根求字母的值 3.(秦皇岛昌黎期末)若关于x的分式方程 二子”无解则a的值是( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3 4.已知关于x的分式方程2 mx -2(x+1)(x-2) 3 x+1 (1)若方程的增根为x=2,求m的值. (2)若方程有增根，求m的值. (3)若方程无解，求m的值. △八年级·上册·数学.J小1 母的值或取值范围（答案P5) 类型3》利用方程解的范围求字母的值或范围 x+1 5.若关于x的不等式组 2≥x-2 有解且所 x-3>a-2 有的解都是正数，且关于y的分式方程2y十 y-1 a十2=0的解为整数，则符合条件的所有整数 1一y a的和为 6.已知关于x的方程2x。1=1的解为负数， x+2 求m的取值范围. 7.已知关于x的分式方程，2十3=2 1+m.x (1)若分式方程无解，求m的值. (2)若分式方程的解为正数，求m的取值范围. 19所以x≠1，x≠3， 1 所以当x=2时P=2-3=-1. 16.解：1)4十m(2)%+ma b+m b+m b (8)正明-吕-8网}88+ bm-am m(b-a) 6(6+m)b(b+m)' 因为m>0,b>a>0, 所以ba>≥0，b+m>0,即66+m)>0, 所以8十na、 b+m >0,所以十m、a b+mb 17.解：(1)② 2旧为分式千十 为“和谐分式”，且a为正 整数， 所以a=4或a=-4(舍)或a=5. (3)小强通分时，利用“和谐分式”找到了最简公 分母. 原式=4a-4a2+4ab Aab (a-b)b- (a-b)b2 (a-b)b Aa ab-b2· 12.4分式方程 1.D2.B3.B4.D5.D 6.a≤-4且a≠-8 7.解：(1)一(2)检验 x-33x (3)1-2x+2x+1' 去分母，得2x+2-(x-3)=6.x, 解得x=1,经检验，x=1是原方程的解， 所以原分式方程的解是x=1. 8.解：(1)方程两边同时乘(x一4)(x十1)，得 2(x十1)=x-4,解得x=-6, 把x=一6代入最简公分母(x一4)(x十1)，得 (x-4)(x+1)=(-6-4)(-6+1)=50≠0， 所以x=一6是原分式方程的解. (2)原方程可变为1一x=一1 x-2x-2-2, 方程两边同时乘(x一2)，得1一x=一1一2(x一2)， 解得x=2, 把x=2代入最简公分母x一2，得x一2=2-2=0， 所以原分式方程无解！ 9.3 10解：1当及=4时原方程为，3十2专 方程两边同乘(3-x),得一1十2(3-x)=4-x, 解得x=1,检验：当x=1时，3-x≠0， 所以x=1是原分式方程的解. 1 k一x )x-3+2=3-x, (2) 方程两边同乘(3-x),得一1十2(3一x)=k一x, 解得x=5-k. 因为方程有增根， 所以当x=5-k时，3-x=0,即3-(5-k)=0, 解得k=2. 11.D12.B 5 1 13.解：(1)分式方程为 x-2十3=2-x 方程两边同乘(x一2)，得5十3(x一2)=一1. 移项、合并同类项，得3.x=0.解得x=0. 经检验，x=0是原分式方程的解. (2)设“？”为m,方程两边同乘(x一2)， 得m+3(.x-2)=-1. 由于x=2是原分式方程的增根， 所以将x=2代入上面的整式方程， 得m+3×(2-2)=-1,解得m=-1. 所以原分式方程中“？”代表的数是一1. 14.解：根据题意将方程变形，得x一3+n(m十1) x一3 n+n+1, 可得x-3=n或x-3=n十1， 则方程的解为x1=n十3，x2=n十4. 专题二巧用分式方程的解求 字母的值或取值范围 1.C 3 1 2.解：由2x-1得3x-3=2x,解得x=3. 2 把x=3代人中 2m中，得3十4=3，解得n= 62 49 3.A 4.解：(1)去分母，得2(x十1)十1x=3(x-2), 所以(1一m)x=8,当x=2时， (1一m)×2=8,所以m=一3. (2)若原分式方程有增根，则(x十1)(x一2)=0， 所以x=2或x=一1， 当x=2时，(1一m)×2=8,所以m=-3: 当x=-1时，(1-m)×(-1)=8,所以m=9, 所以m的值为一3或9. (3)当方程无解时，当1-m=0时，(1-m)x=8无 解，所以m=1; 当方程有增根时，原方程也无解，即m=一3或m= 9时，方程无解. 所以当方程无解时，m=一3或m=9或m=1. 2解析：解不等式组2x2得a十1 x-3>a-2, x5. 因为不等式组所有的解都是正数， 所以0a十15，解得-1a4, 解分式方程2十十2=0，得y=“2 y-1 1-y 2 因为y≠1，所以a≠0. 因为方程的解为整数，所以a是2的倍数，所以a的 值为2. 所以符合条件的所有整数α的和为2. 6.解：关于x的方程2mx1 x+2 =1, 去分母，得2mx-1=x十2，则x=2m- 3 因为方程有解，且解为负数， 1 2m-1≠0， m≠2 3 所以2n-1<0, .1 解得m<2' 3 (2m-1≠-2， ≠一 1 4 1 4 厅以m的取值范围为m<,且m≠ 41 7.解：(1)去分母，得1十3(x一2)=一1一mx, 移项、合并同类项，得（十3）x=4, 因为分式方程无解， 所以①当方程有增根时，原方程无解，即x=2, 2(m十3)=4，解得m=-1; ②当m十3=0时，原方程无解，即m=-3, 综合①②，若分式方程无解，m的值为一1或-3. (2)由(1)可得(m+3)x=4, 因为原分式方程的解为正数， 所以x>0,x一2≠0， 所以m+3>0,且2(m+3)≠4， 所以m>-3且m≠-1. 12.5分式方程的应用 第1课时分式方程的应用之工程问题和行程问题 1.A 2.解：(1)设二号施工队单独施工需要x天. 根据题意，得01440-5-4=1 解得x=60. 经检验，x=60是原分式方程的解. 答：若由二号施工队单独施工，完成整个工程需要 60天。 (2)根据题意，得1÷（品+动）=24（天）。 答：若由一号、二号施工队同时进行施工，完成整个 工程需要24天 3.D 4.解：(1)江水的流速轮船以最大航速沿江顺流航行 110km所用时间（或轮船以最大航速逆流航行 90km所用时间) 11090 (2)选甲：50十x50一x 两边同乘(50+x)(50一x), 得110(50-x)=90(50+x), 解得x=5. 经检验，x=5是原方程的根，且符合题意. 答：江水的流速为5kmh. 10+90=50×2 选乙：y y 两边同乘y,得110+90=100y,解得y=2. 经检验，y=2是原方程的根，且符合题意. 10-50=5(kmh). 答：江水的流速为5kmh.(任选一个解答即可) 5.解：(1)设A采血点运送车辆的平均速度是xkmh, 则B采血点运送车辆的平均速度是1.2xkm/h. 依题意得+5=2，解得0、 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意. 1.2.x=36(kmh). 答：A采血点运送车辆的平均速度是30km/h,B采 血点运送车辆的平均速度是36km/h. (2)因为B采血点运送车辆的行驶时间为36÷36= 1(h), 2.5+1=3.5(h)<4(h), 所以B采血点采集的血液运送到中心血库后不会 变质. 6.解：(1)设完成这项工程的规定工期为x天，则甲队 单独完成这项工程需x天，乙队单独完成这项工程 需(x十7)天， 卜1】×6+7×(x=6)=1, x+7 解得x=42, 经检验，x=42是原分式方程的解. 答：完成这项工程的规定工期为42天 (2)如期完工，只有方案一和方案三符合条件， 方案一工程款：42×2.8=117.6（万元）， 方案三工程款：6×(2.8+2.1)+(42-6)×2.1= 6×4.9+36×2.1=29.4+75.6=105(万元)， 因为117.6>105， 所以选择方案三 答：选择方案三.理由如下：既节省了工程款且又能 如期完工. 第2课时分式方程的应用之营销 问题和其他问题 1.C 2.解：(1)设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x十 30)元. 由密在得20 x十30’ 解得x=90,