[课时练69]　概率统计中的融合创新问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦概率统计与多模块融合创新，以现实情境为载体，系统覆盖线性回归、分布列、全概率公式、数列递推等核心考点，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线性回归与离散型随机变量|1题（2小问）|含数据表格分析，回归方程构建与超几何分布|从数据关系抽象到回归模型，再到随机变量分布规律推导| |条件概率与期望|1题（2小问）|结合分布列参数求解，全概率公式应用|以借阅情境为背景，串联概率计算与期望存在性论证| |概率与数列综合|1题（3小问）|操作概率递推，数列通项与期望计算|从单次操作概率到n次操作概率数列模型，体现概率与数列的转化| |频率分布与二项分布|1题（3小问）|直方图分层抽样，优秀率计算与概率最值|从样本频率估计总体概率，到二项分布概率最值分析，完成统计推断|

[课时精练69]　概率统计中的融合创新问题 1．2025年某市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个． (1)为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发投入x(单位：万元)和最终得分y(单位：分)，数据如下表： 研发投入x 20 30 40 50 60 最终得分y 66 69 76 79 84 请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程＝x＋； (2)从上述10个项目中随机抽取3个进行路演展示，记抽中的科技类项目个数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式与数据：＝，＝－，＝460，＝1 000. 2．某学校有甲、乙两个图书馆．假设同学们可以任意选择其中一个图书馆借阅，也可选择不借阅，一天最多借阅一次，一次只能选择一个图书馆．若同学们每次借阅选择去甲或乙图书馆的概率均为，每次选择相互独立．设王同学在某周的三天内去图书馆借阅的次数为X，已知X的分布列如下：(其中a>0，0<p<1) X 0 1 2 3 P a(1－p)2 a a (1)记事件Ai表示王同学在这三天内去图书馆借阅i次，事件B表示王同学在这三天内去甲图书馆借阅的次数大于去乙图书馆借阅的次数．当p＝时，试根据全概率公式求P的值； (2)是否存在实数p，使得E＝？若存在，求p的值；若不存在，请说明理由． 3．甲、乙两盒子中各有2枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄．称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记n次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为Pn. (1)求P1，P2的值； (2)求数列的通项公式，并求使不等式|Pn－|≤成立的n的最小值； (3)若随机变量X服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(i)＝i.记前n次(即从第1次到第n次交换)中甲、乙两盒中仍各有一红一黄棋子的次数为Y，求E(Y). 4．某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同．已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24(优秀：竞赛成绩∈，单位：分)，现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图． (1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E； (2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； (3)若从参与竞赛的学生中随机抽取n人，求n为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大． 参考答案 1．2025年某市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个． (1)为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发投入x(单位：万元)和最终得分y(单位：分)，数据如下表： 研发投入x 20 30 40 50 60 最终得分y 66 69 76 79 84 请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程＝x＋； (2)从上述10个项目中随机抽取3个进行路演展示，记抽中的科技类项目个数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式与数据：＝，＝－，＝460，＝1 000. 解：(1)＝＝40，＝＝74.8， 因为＝460，＝1 000， 所以＝＝＝0.46，＝74.8－0.46×40＝56.4， 所以回归直线方程为＝0.46x＋56.4. (2)由题意，X的可能取值为0，1，2，3. 则P＝＝，P＝＝， P＝＝，P＝＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以E＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2．某学校有甲、乙两个图书馆．假设同学们可以任意选择其中一个图书馆借阅，也可选择不借阅，一天最多借阅一次，一次只能选择一个图书馆．若同学们每次借阅选择去甲或乙图书馆的概率均为，每次选择相互独立．设王同学在某周的三天内去图书馆借阅的次数为X，已知X的分布列如下：(其中a>0，0<p<1) X 0 1 2 3 P a(1－p)2 a a (1)记事件Ai表示王同学在这三天内去图书馆借阅i次，事件B表示王同学在这三天内去甲图书馆借阅的次数大于去乙图书馆借阅的次数．当p＝时，试根据全概率公式求P的值； (2)是否存在实数p，使得E＝？若存在，求p的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)当p＝时，P＝，P(A1)＝2a，P＝a，P＝， 则＋2a＋a＋＝1，解得a＝， 由题意得P＝C×，P＝C，P＝C＋C， 由全概率公式，得P(B)＝P＝a＋C()2a＋[C＋C]×＝a＋＋＝a＝×＝. (2)由a(1－p)2＋＋a＋a(1－p)＝1， 得＝p2－3p＋＋3， 假设存在p，使E＝＋2a＋3a＝， 将上述两式左右分别相乘，得＋5－3p＝－5p＋＋5， 化简得5p3－6p2＋2＝0， 设h＝5p3－6p2＋2， 则h′＝15p2－12p＝3p， 由h′<0，得0<p<，由h′>0，得<p<1， 则h在上单调递减，在上单调递增， 所以h的最小值为h(p)min＝h＝>0， 所以不存在p0使得h＝0，即不存在p值，使得E＝. 3．甲、乙两盒子中各有2枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄．称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记n次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为Pn. (1)求P1，P2的值； (2)求数列的通项公式，并求使不等式|Pn－|≤成立的n的最小值； (3)若随机变量X服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(i)＝i.记前n次(即从第1次到第n次交换)中甲、乙两盒中仍各有一红一黄棋子的次数为Y，求E(Y). 解：(1)设事件A1为第1次操作时，从甲盒中取出的是红色棋子，事件B1第1次操作时，从乙盒中取出的是红色棋子， 则第一次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子可表示为A1B1＋11， 又P(A1)＝P(B1)＝，事件A1B1与事件11互为互斥事件，事件A1与事件B1独立， 则P1＝P(A1B1＋11)＝P(A1B1)＋P(11)＝P(A1)P(B1)＋P(1)P(1)＝×＋(1－)(1－)＝， 若第1次操作后甲、乙盒中各有一红一黄棋子， 则第二次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为， 若第1次操作后甲盒中为两个红色棋子，乙盒中为两个黄色棋子或甲盒中为两个黄色棋子，乙盒中为两个红色棋子，则第二次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为1，所以P2＝P1×＋(1－P1)×1＝. (2)依题意，Pn＋1＝Pn×＋(1－Pn)×1，则Pn＋1＝－Pn＋1，得Pn＋1－＝－(Pn－)， 又P1－＝－＝－，因此数列{Pn－}为首项为－，公比为－的等比数列， 于是Pn－＝(－)(－)n-1， 所以Pn＝＋·(－)n. 由|Pn－|≤，得|·(－)n|≤，则()n≤，2n≥104， 而213＝8 192，214＝16 384，函数y＝2x为增函数，所以n的最小值为14. (3)前n次(即从第1次到第n次交换)中甲、乙两盒中仍各有一红一黄棋子的次数为Yi，则Yi服从两点分布，P＝1－P＝Pi，i＝1，2，…，n， 因此E(Y)＝E(i)＝i＝[2＋(－)i]＝2＋(－)i]＝＋·＝－＋·(－)n. 4．某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同．已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24(优秀：竞赛成绩∈，单位：分)，现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图． (1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E； (2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； (3)若从参与竞赛的学生中随机抽取n人，求n为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大． 解：(1)由直方图可知，分数在中的学生有32人，分数在中的学生有16人，所以根据分层抽样，在中抽4人，在中抽2人， 则成绩优秀的学生人数X可取0，1，2， 所以P＝＝， P＝＝， P＝＝， 所以分布列为： X 0 1 2 p 则数学期望E＝0×＋1×＋2×＝1. (2)记事件A：成绩优秀的学生，事件B：高一年级的学生， 由已知条件可知，P(A|B)＝0.24＝，P(A|)＝＝，P(B)＝， 所以P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝. (3)记随机抽取n人中竞赛成绩优秀的人数为Y， 由题意可知Y～B， 所以P＝C， 令an＝C， 则＝＝， 令>1，则n<31，所以当n≤30时，an＋1>an， 令<1，则n>31，所以当n≥32时，an＋1<an， 令＝1，则n＝31，所以a32＝a31， 所以当n＝31或n＝32时，an最大，即n＝31或n＝32时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $